Dodécagone

La relation entre le côté c du dodécagone et le rayon r de son cercle circonscrit est donnée par

${\displaystyle c=2r\sin(\pi /12)=r\,{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}.}$

L'apothème a (ou rayon du cercle inscrit) est

${\displaystyle a={\frac {c}{2}}\cot(\pi /12)=c\,\left(1+{{\sqrt {3}} \over 2}\right).}$

On en déduit un encadrement de π :

${\displaystyle 3,105<3\,{\sqrt {2}}\,\left({\sqrt {3}}-1\right)<\pi <12\,\left(2-{\sqrt {3}}\right)<3{,}216.}$

L'aire A du dodécagone régulier de côté c est donnée par :

${\displaystyle A=3\,c^{2}\cot {\frac {\pi }{12}}=3\,c^{2}\left(2+{\sqrt {3}}\right)\simeq 11{,}1962\ c^{2}.}$

Alternativement,

${\displaystyle A=3\,r^{2}.}$

Un dodécagone régulier peut être construit à l'aide d'un compas et d'une règle. L'animation ci-dessous montre une manière en 23 étapes pour y parvenir. Le rayon du compas n'est pas modifié entre les étapes 8 à 11.

Construction à l'aide d'un compas

• 
  pavage hexagonal tronqué
• 
  pavage grand rhombitrihexagonal
• 
  pavage semi-régulier :
  3.3.4.12 & 3.3.3.3.3.3

Un découpage astucieux d'un dodécagone régulier en six figures géométriques (pentagones ou triangles) permet par réassemblage des pièces, de construire un carré.

D'autres découpages en huit, dix ou douze pièces permettent de reconstruire un triangle équilatéral, un pentagone, un décagone[1]. La possibilité de tels découpages est une conséquence du théorème de Wallace-Bolyai-Gerwien.