Dodécaèdre adouci

Le dodécaèdre peut être engendré en prenant les douze faces pentagonales du dodécaèdre, en les tirant de telle façon qu'aucune ne se touchent, puis en leur donnant toutes une petite rotation de leurs centres (toutes en sens horaire (Sh) ou toutes en sens anti-horaire (Sah)) jusqu'à ce que l'espace entre elles puisse être rempli par des triangles équilatéraux.

Les coordonnées cartésiennes pour les sommets d'un dodécaèdre adouci sont toutes les permutations paires de

${\displaystyle (\pm 2\alpha ,\pm 2,\pm 2\beta )\,}$,

${\displaystyle \left(\pm \left(\alpha +{\frac {\beta }{\varphi }}+\varphi \right),\pm \left(-\alpha \varphi +\beta +{\frac {1}{\varphi }}\right),\pm \left({\frac {\alpha }{\varphi }}+\beta \varphi -1\right)\right)}$,

${\displaystyle \left(\pm \left(-{\frac {\alpha }{\varphi }}+\beta \varphi +1\right),\pm \left(-\alpha +{\frac {\beta }{\varphi }}-\varphi \right),\pm \left(\alpha \varphi +\beta -{\frac {1}{\varphi }}\right)\right)}$,

${\displaystyle \left(\pm \left(-{\frac {\alpha }{\varphi }}+\beta \varphi -1\right),\pm \left(\alpha -{\frac {\beta }{\varphi }}-\varphi \right),\pm \left(\alpha \varphi +\beta +{\frac {1}{\varphi }}\right)\right)}$ et

${\displaystyle \left(\pm \left(\alpha +{\frac {\beta }{\varphi }}-\varphi \right),\pm \left(\alpha \varphi -\beta +{\frac {1}{\varphi }}\right),\pm \left({\frac {\alpha }{\varphi }}+\beta \varphi +1\right)\right)}$,

avec un nombre pair de signes plus, où

${\displaystyle \alpha =\xi -{\frac {1}{\xi }}}$

et

${\displaystyle \beta =\xi \varphi +\varphi ^{2}+{\frac {\varphi }{\xi }}}$,

où ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ est le nombre d'or et ${\displaystyle \xi \,}$ est la solution réelle de ${\displaystyle \xi ^{3}-2\xi =\varphi \,}$, qui est le nombre

${\displaystyle \xi ={\sqrt[{3}]{{\frac {\varphi }{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\varphi -{\frac {5}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {\varphi }{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\varphi -{\frac {5}{27}}}}}}}$

ou approximativement 1,7155615.

On notera que, parmi les 6 permutations de 3 coordonnées, les permutations paires sont les 3 permutations circulaires.

Prendre les permutations impaires des coordonnées ci-dessus, ou les mêmes permutations avec un nombre impair de signes plus, donne une autre forme, l'énantiomorphe de celle-ci.

Patron (géométrie).

dont la seule référence était (en) Robert Williams, The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, 1979 (ISBN 0-486-23729-X).