Polygone circonscriptible

Un polygone convexe possède un cercle inscrit si et seulement si et seulement les bissectrices de ses angles sont concourantes. Le point de concours est alors le centre du centre inscrit[1].

Pentagone circonscriptible. ${\displaystyle A_{i}A_{i+1}=a_{i}=x_{i}+x_{i+1}}$. ${\displaystyle 2x_{1}=a_{1}-a_{2}+a_{3}-a_{4}+a_{5}}$, etc.

Si ${\displaystyle a_{1},\cdots ,a_{n}}$ sont les longueurs successives des côtés d'un polygone, Il existe un polygone circonscriptible de n côtés de longueurs respectives ${\displaystyle a_{1},\cdots ,a_{n}}$ si et seulement si le système d'équations linéaires (S)

${\displaystyle x_{1}+x_{2}=a_{1},\quad x_{2}+x_{3}=a_{2},\quad \ldots ,\quad x_{n}+x_{1}=a_{n}}$

possède une solution réelle ${\displaystyle (x_{1},\cdots ,x_{n})}$ [2].

Si une telle solution existe, alors ${\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n}}$ sont les distances de contact du polygone (les distances entre les sommets du polygone et les points de contact avec le cercle).

Lorsque n est impair, le système (S) possède une solution unique et il existe un polygone correspondant, unique à isométrie près.

La solution du système est donnée par ${\displaystyle 2x_{1}=a_{1}-a_{2}+a_{3}-\cdots +a_{n}}$, les autres étant obtenues par permutation des indices.

Losanges de cotés de longueurs données avec leur cercle inscrit

Théorème de Pitot généralisé :

Lorsque n est pair, le système (S) possède une solution si et seulement si la somme alternée des ${\displaystyle a_{i}}$ est nulle, c'est-à-dire si ${\displaystyle a_{1}+a_{3}+\cdots +a_{n-1}=a_{2}+a_{4}+\cdots +a_{n}}$, par exemple si ${\displaystyle a_{i}=a_{i+1}}$; le système est alors indéterminé d'ordre 1, et il y a une infinité de polygones circonscriptibles non isométriques avec ces longueurs de côtés[3]^{:p. 389}. On peut remarquer par exemple que pour n = 4, tous les losanges de côtés de longueurs ${\displaystyle a_{1}=a_{2}=a_{3}=a_{4}=a}$ sont circonscriptibles.

Dans un hexagone circonscriptible ABCDEF, les trois diagonales [AD] , [BE] et [CF] sont concourantes ; c'est un cas particulier du théorème de Brianchon.