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Histoire du calcul de la date de PĂąques

Le calcul de la date de Pùques permet de déterminer le jour de Pùques et donc celui des célébrations qui s'y réfÚrent (comme l'Ascension, trente-neuf jours aprÚs Pùques, et la PentecÎte, quarante-neuf jours aprÚs Pùques). La définition précise du jour de Pùques fut établie en 325 par le concile de Nicée. Les PÚres du concile réunis par l'empereur Constantin la fixÚrent ainsi :

« Pùques est le dimanche qui suit le 14e jour de la Lune qui atteint cet ùge le 21 mars ou immédiatement aprÚs. »

Cette dĂ©finition pose des problĂšmes redoutables de calcul astronomique et mathĂ©matique auxquels les savants s'attelĂšrent du IVe siĂšcle au XXe siĂšcle : il fallut attendre le VIe siĂšcle pour qu'une mĂ©thode de calcul prĂ©cise, Ă©laborĂ©e, selon la tradition, par le moine byzantin Denys le Petit, soit progressivement adoptĂ©e par les Églises. Elle dut ĂȘtre modifiĂ©e lors de l'adoption du calendrier grĂ©gorien en 1582. Au XVIIIe siĂšcle, les mathĂ©maticiens cherchĂšrent des procĂ©dĂ©s plus simples que les mĂ©thodes canoniques tout en respectant rigoureusement la dĂ©finition du concile de NicĂ©e.

Toutes les méthodes de calcul de la date de Pùques se fondent sur une Lune théorique et non sur la Lune réellement observée. De plus, les grandeurs astronomiques y sont supposées indéfiniment constantes. Or celles-ci (comme la durée du jour solaire ou celle du mois lunaire) varient sur le long terme. Les extrapolations du calcul de la date de Pùques sur plusieurs milliers d'années sont donc purement théoriques.

Dates de PĂąques
2000-2040
Calendrier grégorien
Année Occident Orient
2000 23 avril30 avril
2001 15 avril
2002 31 mars5 mai
2003 20 avril27 avril
2004 11 avril
2005 27 mars1er mai
2006 16 avril23 avril
2007 8 avril
2008 23 mars27 avril
2009 12 avril19 avril
2010 4 avril
2011 24 avril
2012 8 avril15 avril
2013 31 mars5 mai
2014 20 avril
2015 5 avril12 avril
2016 27 mars1er mai
2017 16 avril
2018 1er avril8 avril
2019 21 avril28 avril
2020 12 avril19 avril
2021 4 avril2 mai
2022 17 avril24 avril
2023 9 avril16 avril
2024 31 mars5 mai
2025 20 avril
2026 5 avril12 avril
2027 28 mars2 mai
2028 16 avril
2029 1er avril8 avril
2030 21 avril28 avril
2031 13 avril
2032 28 mars2 mai
2033 17 avril24 avril
2034 9 avril
2035 25 mars29 avril
2036 13 avril20 avril
2037 5 avril
2038 25 avril
2039 10 avril17 avril
2040 1er avril6 mai

Historique de la date de PĂąques

De la Pùque juive aux Pùques chrétiennes

La résurrection du Christ, Lucas Cranach, 1558
La résurrection du Christ ; Lucas Cranach le Jeune, 1558.

PĂąques est la premiĂšre fĂȘte cĂ©lĂ©brĂ©e dans les calendriers liturgiques chrĂ©tiens ; elle est attestĂ©e dĂšs le IIe siĂšcle. Elle commĂ©more la CĂšne, la Passion et la RĂ©surrection du Christ[1], Ă©vĂ©nements dont les quatre Ă©vangiles situent le dĂ©roulement lors des festivitĂ©s de la PĂąque juive Ă  JĂ©rusalem, le 14 Nissan du calendrier juif.

La fĂȘte de PĂąques[Note 1] Ă©tait cĂ©lĂ©brĂ©e de façon diverse par les Églises chrĂ©tiennes primitives. Certaines des premiĂšres Églises continuaient Ă  cĂ©lĂ©brer la CĂšne le jour de la PĂąque juive, en particulier les Églises syriaques attachĂ©es Ă  la tradition johannique qui identifiait le sacrifice du Christ Ă  l'offrande pascale[2]. D'autres, telles l’Église de Rome, fĂȘtaient PĂąques le dimanche suivant la PĂąque juive, mettant ainsi l'accent sur la RĂ©surrection au lendemain du Shabbat[3].

Le calendrier hébreu étant lunisolaire, tous les mois commencent à la Nouvelle Lune ; le 14 du mois de Nissan correspond donc à la Pleine Lune[Note 2]. L'année du calendrier juif compte 12 ou 13 mois lunaires ; pour que Nissan reste le premier mois du printemps, l'intercalation d'un mois complémentaire était décidée par le Sanhédrin quand c'était nécessaire pour respecter le rythme des saisons[4].

DĂšs la fin du IIe siĂšcle, l'Ă©vĂȘque de Rome Victor Ier suscita plusieurs synodes en Palestine et en Syrie pour fixer Ă  cette cĂ©lĂ©bration une date commune Ă  tous les chrĂ©tiens[5] - [6]. Le premier savant qui ait rĂ©digĂ© ses rĂ©flexions sur la dĂ©termination de la date de PĂąques est Anatole de LaodicĂ©e (Saint Anatole), nĂ© Ă  Alexandrie en 230, sacrĂ© Ă©vĂȘque en 270, qui publia ses travaux dans le Canon Paschal [7] - [8] ; il utilisait deux cycles de 19 ans dĂ©calĂ©s de 3 ans. IrĂ©nĂ©e de Lyon[9] et Hippolyte de Rome[10] - [8], entre autres, suggĂ©rĂšrent aussi des solutions pour fixer la date de PĂąques, fondĂ©es sur un cycle de 16 ans. En 314, le concile d'Arles dĂ©clara Ă©galement que « la PĂąque du Seigneur sera observĂ©e le mĂȘme jour par tous » et demanda que la date en soit fixĂ©e par le pape Sylvestre. Cette dĂ©cision ne fut guĂšre suivie d'effets[3].

La définition du concile de Nicée

L'empereur Constantin (au centre), avec les Ă©vĂȘques du concile de NicĂ©e (325), tenant anachroniquement le texte du « Symbole de NicĂ©e-Constantinople » dans sa forme liturgique grecque[11], fondĂ©e sur le texte adoptĂ© au premier concile de Constantinople (381)[12]

En 325, Constantin le Grand convoqua le concile de Nicée, pour mettre d'accord entre eux, sur l'orthodoxie de la foi, les trois cent dix-huit représentants du Christianisme. Ceux-ci clarifiÚrent la situation en s'accordant sur la définition suivante[13] - [14] :

« Pùques est le dimanche qui suit le 14e jour de la Lune qui atteint cet ùge le 21 mars ou immédiatement aprÚs. »

Cette dĂ©finition doit ĂȘtre assortie de quelques prĂ©cisions : la date du est fixe et ne dĂ©pend pas de l'Ă©quinoxe de printemps, lequel peut tomber, selon les annĂ©es, parfois le 19 et plus frĂ©quemment le 20 ou le .

L'histoire est en rĂ©alitĂ© trĂšs complexe. D'une part, le cycle de MĂ©ton selon lequel il y a 19 annĂ©es terrestres en 235 lunaisons jouissait encore du prestige qu'il avait acquis dans l'AntiquitĂ© pour laquelle il s'agissait d'une dĂ©couverte majeure des vĂ©ritĂ©s naturelles ; d'autre part les Églises d'Occident utilisaient des cycles divers dont on Ă©tait bien conscient qu'il s'agissait de procĂ©dĂ©s pratiques mais sans vĂ©ritable fondement naturel[Note 3]. Les Églises d'Orient, sous l'influence de la puissante Église d'Alexandrie s'Ă©taient accordĂ©es sur le cycle de 19 ans. Les PĂšres du concile confiĂšrent Ă  l'Ă©vĂȘque d'Alexandrie le soin de fournir une rĂšgle selon certaines prescriptions, fondĂ©es en particulier sur la date du printemps et l'aspect de la Lune. C'est donc une mĂ©thode proche de celle en vigueur alors Ă  Alexandrie et fondĂ©e sur un cycle de 19 ans qui s'imposa. Si la dĂ©finition du calcul de la date de PĂąques entĂ©rinĂ©e par l'usage se fonde sur la date fixe du , c'est par souci de simplification, mais il Ă©tait bien dans l'esprit du concile de prendre comme repĂšre principal la date du printemps[Note 4]. Le quatorziĂšme jour de la Lune signifie le treiziĂšme jour qui suit la Nouvelle Lune[Note 5] ; le terme Lune ne signifie pas ici la Lune rĂ©elle observĂ©e mais une Lune fictive, approchant assez bien la Lune rĂ©elle, appelĂ©e Lune pascale ou Lune ecclĂ©siastique et dĂ©terminĂ©e Ă  l'aide du cycle de MĂ©ton.

La dĂ©cision des PĂšres, influencĂ©e par les croyances du temps, ne fut pourtant pas motivĂ©e par des raisons astronomiques, historiques ou thĂ©ologiques, mais par des raisons politiques et pratiques : il fallait que PĂąques ne tombe pas en mĂȘme temps que la PĂąque juive, non plus que les PĂąques des QuartodĂ©cimains et autres mouvements hĂ©rĂ©tiques. Cela est soulignĂ© par une lettre encyclique de Constantin aux Églises[15] : « La fĂȘte de PĂąques des chrĂ©tiens doit ĂȘtre cĂ©lĂ©brĂ©e le mĂȘme jour par tous ; et pour le calcul de la date, il ne faut faire aucune rĂ©fĂ©rence aux Juifs. Ce serait humiliant et de plus il est possible pour eux d’avoir deux PĂąques une mĂȘme annĂ©e. En consĂ©quence, les Églises doivent se conformer aux pratiques suivies par Rome, l’Afrique, l’Italie, les Gaules, la Brittonie, la Libye, la GrĂšce, l’Asie, le Pont et la Cilicie. »

Il fut suggĂ©rĂ© de prendre pour rĂ©fĂ©rence l'observation de la Lune pascale Ă  JĂ©rusalem[16] - [17], mais les temps de communication entre les Églises des diverses provinces de l'Empire auraient rendu impossible une cĂ©lĂ©bration commune ; de plus, fixer la source de la cĂ©lĂ©bration de PĂąques Ă  JĂ©rusalem Ă©tait contraire Ă  l'esprit ƓcumĂ©nique de l'Église[Note 6]. Il fut donc dĂ©cidĂ© de se rapporter Ă  une Lune thĂ©orique identique en tout lieu.

Des méthodes de calcul encore diverses

Les Ă©vĂȘques revinrent donc du concile de NicĂ©e avec une dĂ©finition claire de la date de PĂąques, mais sans mĂ©thode prĂ©cise pour la calculer. Chaque Église utilisa alors sa solution particuliĂšre[18].

Pour dĂ©terminer la date de PĂąques selon la dĂ©finition du concile, les Alexandrins[19] se servaient du cycle de MĂ©ton (19 annĂ©es terrestres font 235 mois lunaires) dans les tables de l'Ă©vĂȘque d'Alexandrie ThĂ©ophile (370-412) (tables allant de 380 Ă  480), puis dans celles de son neveu et successeur Cyrille (376-444) (tables allant 436 Ă  531). À Rome[19], aprĂšs avoir utilisĂ© au IIIe siĂšcle une table pascale Ă©laborĂ©e par saint Hippolyte (fondĂ©e sur un cycle de 16 ans)[20], on utilisa un cycle de 84 ans (4 cycles de MĂ©ton de 19 ans plus un cycle octaĂ©ride de 8 ans) connu sous le nom de « cycle d'Augustalis »[21] auquel on devait toutefois ajouter pĂ©riodiquement un mois complĂ©mentaire lorsque l'Ă©cart entre la Lune et le Soleil atteignait 34 jours[22]. Les dates entre lesquelles la date de PĂąques pouvait tomber Ă©taient fixĂ©es pour la Lune entre les 14e et 20e jour du mois lunaire et, pour le Soleil, entre le et le [23]. DĂšs 280, l'alexandrin Anatole de LaodicĂ©e avait Ă©tabli un cycle de 19 ans (cycle alexandrin), plus court et plus exact. La question fut rĂ©solue entre Rome et l’Orient par l’adoption du cycle oriental de 19 ans aprĂšs qu’en 526, le pape Jean Ier eut chargĂ© son primicier Boniface d’étudier le problĂšme[22]. Convaincu de la justesse du cycle de 19 ans par Denys le Petit, moine byzantin qui vivait Ă  Rome, le pape Boniface II promut le cycle alexandrin ; celui-ci mit longtemps Ă  ĂȘtre adoptĂ© pas les Églises d'Occident[24]. On utilisa Ă©galement un cycle de 95 ans (soit 5 fois 19 ans - voir ci-dessous la table pascale universelle de PĂ©rigueux)[25].

À partir de 457, Victorius d'Aquitaine fit adopter une nouvelle mĂ©thode fondĂ©e sur le « cycle de MĂ©ton » de 19 ans et sur le cycle solaire de 28 ans, crĂ©ant ainsi le Computus Paschalis de (19 × 28 =) 532 ans[26]. Ce cycle fut en vigueur dans la Gaule mĂ©rovingienne Ă  partir du concile d'OrlĂ©ans de 541[3].

L'Ă©tablissement du calendrier liturgique

Le calendrier liturgique se constitua progressivement Ă  partir du IVe siĂšcle autour de la date de cĂ©lĂ©bration de PĂąques. C'est tout d'abord le triduum, trois jours prĂ©cĂ©dant PĂąques, qui devint un temps de jeĂ»ne puis la cĂ©lĂ©bration s'Ă©tendit Ă  la semaine sainte dĂšs 389[27]. À partir de la fin du IVe siĂšcle, elle fut prĂ©cĂ©dĂ©e des 40 jours de jeĂ»ne du carĂȘme[27]. Le temps pascal fut Ă©galement Ă©tendu jusqu'Ă  la PentecĂŽte, sept semaines aprĂšs PĂąques.

Le cycle des fĂȘtes Ă  dates fixes liĂ© Ă  NoĂ«l ne fut instaurĂ© qu'au Ve siĂšcle, aprĂšs que cette fĂȘte eut Ă©tĂ© fixĂ©e au pour remplacer la fĂȘte impĂ©riale de Sol Invictus[27].

La date de PĂąques fixe encore de nos jours un grand nombre de fĂȘtes et cĂ©lĂ©brations liturgiques qui lui sont liĂ©es par un nombre dĂ©terminĂ© de jours, et sont par consĂ©quent des fĂȘtes mobiles. Les plus connues en Occident sont le Mardi Gras, le Mercredi des Cendres, la Mi-carĂȘme, le Vendredi saint et le Samedi saint, l'Ascension, la PentecĂŽte. En calendrier orthodoxe, les fĂȘtes importantes sont le dimanche du Pardon, le dimanche du Jugement dernier et le lundi pur qui inaugure le grand carĂȘme.

La méthode canonique attribuée à Denys le Petit

Au milieu du VIe siĂšcle, les diverses Églises chrĂ©tiennes adoptĂšrent progressivement une mĂ©thode de calcul de la date de PĂąques Ă©laborĂ©e, selon la tradition[Note 7] - [28] par le moine byzantin Denys le Petit (env. 470 - env. 540) qui travaillait Ă  Rome dans l'entourage du pape. Cette mĂ©thode est compliquĂ©e mais exacte, car elle respecte exactement la dĂ©finition du concile de NicĂ©e. Elle prit le statut de « mĂ©thode canonique » mais mit fort longtemps Ă  ĂȘtre comprise et appliquĂ©e localement.

Au VIIe siĂšcle, en Grande-Bretagne, le sud de l'Ăźle suivait la pratique de Rome, tandis que les pays celtes — Irlandais, Gallois et Écossais — continuaient de suivre les coutumes celtiques. Oswiu de Northumbrie convoqua Ă  l’abbaye de Whitby, en 663 et 664, un concile avec pour objet d'accorder les diverses Églises celtiques sur des problĂšmes de doctrine et de rite, dont le calcul de la date de PĂąques. Le concile conclut, sur ce sujet, par l'adoption de la pratique de Rome, mais cette dĂ©cision entra difficilement en application et il fallut la mĂ©diation de ThĂ©odore de Tarse, consacrĂ©e par le pape Vitalien, pour achever l'unification de ces Églises Ă  partir de 669.

D'autres variantes locales subsistĂšrent longtemps, comme le montre ci-dessous la table pascale perpĂ©tuelle gravĂ©e sur le mur sud du chƓur de l'Ă©glise Saint-Étienne-de-la-CitĂ©, ancienne cathĂ©drale de PĂ©rigueux. Cette table, gravĂ©e au milieu du XIIe siĂšcle, plus de six-cents ans aprĂšs l'adoption de la mĂ©thode de Denys le Petit, ne suit pas le computus pascalis de 532 ans utilisĂ© par celui-ci mais (avec des lacunes) un cycle de 95 ans en vigueur localement depuis huit siĂšcles.

Table pascale perpĂ©tuelle gravĂ©e sur le mur sud du chƓur de l'Ă©glise Saint-Étienne-de-la-CitĂ©, PĂ©rigueux, Dordogne, France. Cette table daterait de 1163. Elle suit (avec des lacunes) un cycle de 95 ans proche du cycle d'Augustalis[25].

Au treiziĂšme siĂšcle, la mĂ©thode canonique Ă©tait devenue en vigueur dans toutes les Églises chrĂ©tiennes Ă  l'exception de l'Église copte et de quelques autres Églises qui suivaient leur propre calendrier (telles que les Églises chinoises, essentiellement nestoriennes au tĂ©moignage de Marco Polo[29]).

La réforme grégorienne

Le pape Grégoire XIII
Le pape Grégoire xiii, promoteur de la réforme grégorienne du calendrier.

Par suite du décalage qui ne cessait de croßtre entre le calendrier et les saisons, le pape Grégoire XIII promut une réforme du calendrier qui prit effet à Rome le [30].

Ce nouveau calendrier, et le calcul de la date de Pùques qui en résultait, fut établi par les savants attachés au Pape Grégoire XIII, principalement le mathématicien allemand Christophorus Clavius[31] - [32] et l'astronome italien Luigi Giglio ou Lilius[33].

Le premier effet de la réforme, le plus spectaculaire, fut de supprimer dix jours du calendrier : ainsi, à Rome, en 1582, le lendemain du jeudi fut le vendredi .

ImposĂ© par GrĂ©goire XIII dans les États pontificaux, le calendrier grĂ©gorien fut aussi immĂ©diatement adoptĂ© par l'Espagne, l'Italie, la Pologne et le Portugal. En France, Henri III l'adopta le jeudi , dont le lendemain fut le vendredi [34].

La rĂ©forme grĂ©gorienne intervient au mauvais moment : c'est l'Ă©poque des Guerres de religion oĂč s'opposent la RĂ©forme (globalement dans les pays du nord de l'Europe) et, dans le sud de l'Europe la Contre-RĂ©forme, institutionnalisĂ©e par le Concile de Trente. La haine que se portent les adversaires interdit tout accord et toute concession. La Grande-Bretagne et les pays protestants n'adoptent le calendrier grĂ©gorien qu'au XVIIIe siĂšcle, prĂ©fĂ©rant, selon l'astronome Johannes Kepler, « ĂȘtre en dĂ©saccord avec le Soleil, plutĂŽt qu'en accord avec le pape ». Lors de la modification du calendrier en Grande-Bretagne, le , les foules anti-papistes dĂ©filent aux cris de « nous voulons nos dix jours ! »[35]

Puisque la rĂ©forme grĂ©gorienne supprimait trois jours bissextiles tous les quatre-cents ans pour mieux approcher l'Ă©quation solaire, il fallait corriger de mĂȘme l'Ăąge de la Lune. Cette correction s'appelle la mĂ©temptose. On savait, de plus, que le cycle de MĂ©ton n'est pas absolument exact. Les astronomes promoteurs de la rĂ©forme en profitĂšrent pour introduire une correction du cycle, appelĂ©e proemptose[Note 8]. Ces modifications rendent le calcul de la date de PĂąques grĂ©gorienne bien plus compliquĂ© que pour la PĂąques julienne[32].

Les Églises orthodoxes et le calendrier julien rĂ©visĂ©

Les pays de tradition orthodoxe conservĂšrent le calendrier julien jusqu'au du dĂ©but du XXe siĂšcle. En 1918, aprĂšs le rĂ©volution bolchevique, Moscou imposa le calendrier grĂ©gorien dans la nouvelle U.R.S.S.. En GrĂšce, dans les mois suivant le coup d'État du 11 septembre 1922, le parlement grec adopta Ă©galement le calendrier grĂ©gorien. Si, pour les usages civils, les pays de culte majoritairement orthodoxe (essentiellement en Europe de l'Est et du Sud-Est) adoptĂšrent le calendrier grĂ©gorien avant 1927, ce ne fut pas le cas de leurs Églises nationales.

En , le congrĂšs de Constantinople[Note 9] - [Note 10] proposa un calendrier julien rĂ©visĂ© adoptant les rĂšgles du calendrier grĂ©gorien pour l'Ă©quation solaire et les fĂȘtes fixes, mais fondant l'Ă©quation lunaire, et donc le calcul des fĂȘtes mobiles — en particulier la cĂ©lĂ©bration de PĂąques — sur l'observation de la Lune Ă  JĂ©rusalem[36]. Les Églises orthodoxes refusĂšrent en majoritĂ© ces modifications et continuĂšrent de cĂ©lĂ©brer PĂąques selon le calendrier julien :

Les Églises orthodoxes de JĂ©rusalem, Russie, MacĂ©doine, Serbie, GĂ©orgie et Ukraine continuent d'utiliser le calendrier julien pour l'ensemble de leur calendrier liturgique. L'Ă©quation solaire du calendrier julien rĂ©visĂ© fut acceptĂ©e par quelques Églises orthodoxes, dans l'espoir d'un meilleur dialogue avec l'Église d'Occident : le patriarcat ƓcumĂ©nique de Constantinople, les patriarcats d'Alexandrie et d'Antioche, les Églises orthodoxes de GrĂšce, Chypre, Roumanie et Pologne ainsi que celle de Bulgarie depuis 1963 [Note 11]. Elles fĂȘtent donc NoĂ«l le selon le calendrier grĂ©gorien, ainsi que les fĂȘtes fixes du calendrier liturgique, tandis que les fĂȘtes mobiles, dont PĂąques, restent calculĂ©es selon le calendrier julien. Cette rĂ©forme est cause des divisions au sein de ces Églises : les orthodoxes vieux-calendaristes la rejettent et s'en tiennent au calendrier julien.

Calcul canonique de la date de PĂąques

Les éléments du calcul

Les éléments du comput ecclésiastique figurent au bas du mois de février sur un calendrier pour l'année 2006.

Le calcul canonique de la date de Pùques utilise des éléments qui figurent encore fréquemment sur les calendriers, au bas du mois de février. Dans la reproduction ci-contre d'un calendrier (grégorien) de 2006, on trouve les éléments du comput :

(L'Épacte, la Lettre dominicale, le Cycle solaire et le Nombre d'or prĂ©sentĂ©s dans cet exemple concernent le calendrier grĂ©gorien ; ils auraient d'autres valeurs pour le calendrier julien. Quant Ă  l'Indiction romaine, elle est indĂ©pendante du calendrier julien ou grĂ©gorien et ne sert pas au calcul de la date de PĂąques[37].)

Principe du calcul canonique de la date de PĂąques julienne

Le comput digital permettait le calcul des fĂȘtes mobiles par l'utilisation de moyens mnĂ©motechniques Ă  l'aide des doigts des deux mains.

Le calcul canonique de la date de Pùques julienne a été établi au VIe siÚcle, selon la tradition, par le moine byzantin Denys le Petit. Ce calcul applique strictement la définition de la date de Pùques établie par le Concile de Nicée en 325. Le calcul canonique de la date de Pùques dépend de la périodicité à la fois de l'année solaire (année tropique) et du mois lunaire (mois synodique). Pour l'année solaire, il se fonde sur le calendrier julien qui, avec une année bissextile tous les quatre ans, pose que l'année solaire dure 365 jours un quart. Pour le mois lunaire, il se base sur le cycle de Méton selon lequel il y a presque exactement 235 mois lunaires en 19 années terrestres.

Le principe du calcul consiste Ă  mettre en correspondance le cycle solaire (appelĂ© aussi Ă©quation solaire), qui permet de calculer quels jours de l'annĂ©e sont des dimanches, et le cycle lunaire (appelĂ© aussi Ă©quation lunaire) qui permet, lui, de dĂ©terminer la date des Nouvelles Lunes. Pour une annĂ©e donnĂ©e, l'Ă©quation solaire est spĂ©cifiĂ©e par l'un ou l'autre de deux paramĂštres : le Cycle solaire ou la Lettre dominicale qui sont Ă©quivalents (Ă  une transformation prĂšs par une table ou une formule) ; l'Ă©quation lunaire est de mĂȘme spĂ©cifiĂ©e par l'un ou l'autre de deux paramĂštres : le Nombre d'or ou l'Épacte qui sont aussi Ă©quivalents (Ă  une transformation prĂšs par une table ou une formule).

Puisque, selon le cycle de Méton, il y a, en 19 ans, 235 Nouvelles Lunes, on peut répartir celles-ci sur un cycle de 19 années. Cela conduit à la construction d'un calendrier lunaire[38] qui donne, pour chacune des 19 années du cycle et par mois, les dates des Nouvelles Lunes[Note 14]. Pour une année donnée, connaissant sa position dans le cycle de 19 ans (son Nombre d'or), on trouve dans ce calendrier les Nouvelles Lunes de mars et d'avril, et par conséquent :

1. le quatorziÚme jour de la Lune qui tombe le ou immédiatement aprÚs.

D'autre part, les jours de la semaine de chaque annĂ©e suivent un cycle de 28 ans (Cycle solaire ou Ă©quation solaire) qui permet de dĂ©terminer le jour de la semaine au 1er janvier de l'annĂ©e (Lettre dominicale) d'oĂč on dĂ©duit facilement les dates de l'annĂ©e, en particulier celles de mars et d'avril, qui sont un dimanche. On trouve alors :

2. le premier dimanche qui tombe immédiatement aprÚs le quatorziÚme jour de la Lune qui tombe le ou immédiatement aprÚs.

C'est le dimanche de PĂąques[Note 15].

Calcul canonique de la date de Pùques grégorienne

L'adoption, en 1582, de la rĂ©forme du calendrier julien promue par le Pape GrĂ©goire XIII entraĂźnait inĂ©vitablement des modifications du calcul de la date de PĂąques. La suppression de trois annĂ©es bissextiles tous les quatre-cents ans produisait des dĂ©calages entre le cycle solaire et le cycle lunaire qui devaient ĂȘtre pris en compte. De plus, les astronomes Clavius et Lilius, attachĂ©s au Pape GrĂ©goire XIII, profitĂšrent de la rĂ©forme pour introduire une correction du Cycle de MĂ©ton dont on savait depuis longtemps qu'il n'Ă©tait qu'une approximation. La suppression de trois jours bissextiles tous les quatre-cents ans se traduit dans le calcul de la date de PĂąques par un dĂ©calage appelĂ© mĂ©temptose. De plus, la correction du cycle de MĂ©ton conduit Ă©galement Ă  un dĂ©calage appelĂ© proemptose.

Le calcul grĂ©gorien de la date de PĂąques n'est pas une crĂ©ation ex nihilo mais une modification du calcul de la date de PĂąques julienne. Le principe de ce calcul consiste Ă  mettre en correspondance le cycle solaire (Ă©quation solaire), qui permet de calculer quels jours de l'annĂ©e sont des dimanches, et le cycle lunaire (Ă©quation lunaire) permettant, lui, de dĂ©terminer la date des Nouvelles Lunes. Pour une annĂ©e donnĂ©e, l'Ă©quation solaire est caractĂ©risĂ©e par la Lettre dominicale qui spĂ©cifie le premier dimanche de janvier ; elle donne le moyen de calculer les jours de l'annĂ©e qui sont un dimanche, en particulier en mars et avril. L'Ă©quation lunaire est caractĂ©risĂ©e par l'Épacte, c'est-Ă -dire l'Ăąge de la Lune au 1er janvier ; celle-ci permet de fixer les dates des Nouvelles Lunes de l'annĂ©e, en particulier pour mars et avril. À l'aide de ces termes on dĂ©termine le dimanche qui tombe immĂ©diatement aprĂšs le quatorziĂšme jour de la Lune qui tombe ou qui suit immĂ©diatement le .

Les nouveautĂ©s apportĂ©es par le calendrier grĂ©gorien ont Ă©tĂ© reportĂ©es sur l'Épacte. Des rĂšgles de saut d'Épacte appliquent Ă  l'Épacte les dĂ©calages de la date de PĂąques dus Ă  la mĂ©temptose et Ă  la proemptose.

La date de PĂąques orthodoxe

Les Églises orthodoxes fĂȘtent PĂąques selon le calendrier julien, Ă  l'exception des Églises orthodoxes de Finlande et d'Estonie[Note 16]. Toutefois, pour des raisons pratiques, la date de PĂąques orthodoxe est gĂ©nĂ©ralement exprimĂ©e dans le calendrier grĂ©gorien. Pour calculer la date de PĂąques orthodoxe, il faut donc : calculer la date de PĂąques julienne par l'un des algorithmes fournis dans les articles liĂ©s ; puis convertir la date du calendrier julien dans le calendrier grĂ©gorien[Note 17].

La correspondance des dates de PĂąques dans les cultes romains et orthodoxe met en fait en jeu deux dĂ©calages, dont un seul est liĂ© au calendrier. La date de PĂąques est liĂ©e Ă  celle de l'Ă©quinoxe de printemps, fixĂ©e au au moment oĂč le mode de calcul a Ă©tĂ© Ă©tabli ; ceci reste presque toujours vrai dans le calendrier grĂ©gorien mais est faux dans le calendrier julien du fait de la dĂ©rive sĂ©culaire. De plus, on n'utilise pas une observation de la vraie Lune, mais une Lune ecclĂ©siastique pour dĂ©terminer PĂąques. Catholiques et orthodoxes n'utilisent pas la mĂȘme Lune ecclĂ©siastique, mĂȘme si les deux sont proches et toujours Ă  moins d'une semaine d'Ă©cart. DĂšs lors, plusieurs dĂ©calages sont possibles :

  • aucun dĂ©calage ;
  • un dĂ©calage d'une semaine si un dimanche tombe entre les deux Lunes catholique et orthodoxe ;
  • un dĂ©calage de quatre semaines et mĂȘme cinq semaines si le des deux calendriers ne tombe pas dans la mĂȘme lunaison.

Si bien que la fĂȘte de PĂąques orthodoxe peut se trouver soit en mĂȘme temps que la catholique (c'est le cas en 2010, 2014, 2017
), soit une semaine aprĂšs (comme en 2012, 2015
), soit quatre semaines aprĂšs (comme en 2021) ou mĂȘme cinq semaines aprĂšs (comme en 2008 ou 2013). PĂąques tombe en mars ou en avril pour le culte romain (jamais en mai) ; en avril ou mai pour les orthodoxes (jamais en mars). Avec la dĂ©rive sĂ©culaire des deux calendriers, ce dĂ©calage est vouĂ©, d'ici un millĂ©naire, Ă  passer Ă  quatre voire neuf semaines au lieu de zĂ©ro Ă  cinq semaines actuellement.

Exemple
Pour 2006 :

  • la date de PĂąques romaine est le (en calendrier grĂ©gorien) ;
  • la date de PĂąques orthodoxe est le (en calendrier julien) ;
  • la date de PĂąques orthodoxe est le (en calendrier grĂ©gorien), soit un Ă©cart d'une semaine.

Propriétés des dates de Pùques julienne et grégorienne

La date de PĂąques au plus tĂŽt et au plus tard

Des raisonnements simples, Ă  partir de la dĂ©finition du concile de NicĂ©e, permettent de dĂ©finir les valeurs extrĂȘmes que peut prendre la date de PĂąques, au plus tĂŽt et au plus tard en calendrier julien comme en calendrier grĂ©gorien :

Si le quatorziĂšme jour de la Lune de mars se produit le et que ce jour est un samedi, le dimanche qui suit est le , et PĂąques tombe le .

Si le quatorziĂšme jour de la Lune de mars est le alors le prochain quatorziĂšme jour de la Lune pascale se produit le , Ă©tant donnĂ© que le mois lunaire est rĂ©putĂ© durer seulement 29 jours (au lieu de 30 jours) dans ce cas limite oĂč l'Ă©pacte vaut 24. Si le est un dimanche, PĂąques tombe le dimanche suivant, c'est-Ă -dire le .

« La date de Pùques est comprise entre le 22 mars et le 25 avril (inclus). »

Cela est valable que ces dates soient exprimées en calendrier julien ou en calendrier grégorien.

Date de PĂąques orthodoxe

Le raisonnement ci-dessus s'applique au calendrier julien. Toutefois, si on transforme les dates juliennes en dates grégoriennes, on observe que :

« La date de Pùques julienne est comprise (en calendrier grégorien) entre le 4 avril et le 8 mai (inclus). »

Distribution des dates de PĂąques juliennes

La date de PĂąques julienne peut tomber n'importe lequel des jours de la pĂ©riode du au (du calendrier julien) (voir le § La date de PĂąques au plus tĂŽt et au plus tard ci-dessus). Les dates de PĂąques juliennes suivent un cycle de 532 ans (soit les 19 ans du cycle de MĂ©ton combinĂ©s aux 28 ans du cycle solaire) ; c'est-Ă -dire que tous les 532 ans, les dates de PĂąques se succĂšdent aux mĂȘmes jours. Le calcul de la date de PĂąques pour toutes les annĂ©es d'un cycle de 532 ans permet de compter combien de fois PĂąques tombe le , le 
, le , le .

Le calcul (par ordinateur) du nombre de fois oĂč la date de PĂąques julienne tombe sur chacun des jours de la pĂ©riode - lors d'un cycle de 532 ans est rĂ©sumĂ© dans la table suivante :

La distribution des dates de Pùques juliennes en calendrier julien, selon la table précédente, est représentée sur le diagramme ci-aprÚs[33] :

Distribution des dates de Pùques juliennes sur la période 22 mars-25 avril.
Nombre d'occurrences des dates de Pùques juliennes sur la période 22 mars-25 avril (du calendrier julien) lors d'un cycle de 532 ans.

On constate que les dates extrĂȘmes (proches du ou du juliens) sont moins susceptibles de recevoir la date de PĂąques julienne. On observe aussi un pseudo-cycle de trois ans dĂ» Ă  la combinaison des divers cycles en Ɠuvre.

Distribution des dates de Pùques grégoriennes

Comme pour les dates de PĂąques juliennes, la date de PĂąques grĂ©gorienne peut tomber n'importe lequel des jours de la pĂ©riode du au (du calendrier grĂ©gorien). Toutefois, le cycle des dates de PĂąques grĂ©goriennes est beaucoup plus long que celui de dates de PĂąques juliennes ; en effet, la mĂ©temptose suit un cycle de 400 ans ; la proemptose suit, elle, un cycle de 25 siĂšcles ; il faut aussi tenir compte de l'Épacte, qui a un cycle de 30 ans, et du Nombre d'or qui a un cycle de 19 ans. Finalement, les dates de PĂąques grĂ©goriennes suivent un cycle dont la pĂ©riode est le plus petit commun multiple de ces quatre nombres, c'est-Ă -dire 5 700 000 ans[Note 18].

Le calcul (par ordinateur) du nombre de fois oĂč la date de PĂąques grĂ©gorienne tombe sur chacun des jours de la pĂ©riode - lors d'un cycle de 5 700 000 ans est rĂ©sumĂ© dans la table suivante :

La distribution des dates de Pùques grégoriennes, selon la table précédente, est représentée sur le diagramme ci-aprÚs[33] :

Distribution de la date de Pùques grégorienne sur la période 22 mars-25 avril.
Nombre de fois oĂč la date de PĂąques grĂ©gorienne tombe sur chacun des jours de la pĂ©riode 22 mars-25 avril au cours d'un cycle de 5 700 000 ans.

Comme pour les dates de Pùques julienne, la fréquence des dates de Pùques grégorienne est plus faible à proximité des bornes du et du . Pour le reste de la période, les occurrences sont à peu prÚs égales, sauf pour le qui présente une fréquence plus élevée[Note 19].

Les méthodes algorithmiques de calcul de la date de Pùques

À partir du dĂ©but du XVIIIe siĂšcle, les mathĂ©maticiens recherchent des mĂ©thodes simplifiant le calcul de la date de PĂąques. Le but est Ă  la fois pratique : simplifier les calculs, et thĂ©orique : montrer que ce calcul complexe peut se rĂ©duire Ă  une suite d'opĂ©rations arithmĂ©tiques Ă©lĂ©mentaires. Ainsi, ces mathĂ©maticiens se proposent de ramener le calcul de la date de PĂąques Ă  une suite d'opĂ©rations simples, essentiellement une sĂ©rie de divisions euclidiennes[39].

La premiĂšre tentative de Gauss pour les PĂąques grĂ©goriennes, publiĂ©e en 1800, est une semi-rĂ©ussite : tenant mal compte de la double exception sur l'Épacte (la mĂ©temptose et la proemptose), sa mĂ©thode est mise en dĂ©faut. Toutefois, Gauss, Ă  la suite des remarques et suggestions de ses Ă©lĂšves et d'autres mathĂ©maticiens amĂ©liore plusieurs fois sa mĂ©thode et en publie une version quasi-dĂ©finitive en 1816. Diverses amĂ©liorations ultĂ©rieures permettent finalement de publier un algorithme exact tant pour le calendrier julien que pour le calendrier grĂ©gorien. En 1814, Delambre publie un algorithme simple et exact pour le calendrier julien ; en revanche, sa solution pour le calendrier grĂ©gorien, qui fait appel Ă  des tables et souffre d'exceptions, n'est pas satisfaisante[40]. En 1876, le journal Nature publie un algorithme, dit algorithme de Butcher, pour le calcul de la date de PĂąques grĂ©gorienne, qui constitue une solution dĂ©finitive et Ă©lĂ©gante du problĂšme. La rĂ©union de l'algorithme de Delambre pour les PĂąques juliennes et celui de Butcher pour les PĂąques grĂ©goriennes est appelĂ©e algorithme de Meeus. Au cours du XXe siĂšcle quelques autres algorithmes sont publiĂ©s pour apporter des simplifications de calcul au prix de certaines limitations quant aux pĂ©riodes d'application ; depuis la diffusion des ordinateurs personnels, ces mĂ©thodes simplifiĂ©es n'ont plus grand intĂ©rĂȘt. Dans les annĂ©es 1980, John Conway publie une prĂ©sentation originale du calcul de la date de PĂąques grĂ©gorienne avec l'utilisation des jours-pivot.

Dans la suite, on présente de maniÚre détaillée :

  • l'algorithme de Gauss dans sa derniĂšre version, Ă  titre historique, parfaitement exact pour la pĂ©riode julienne et la pĂ©riode grĂ©gorienne ;
  • l'algorithme de Meeus, parfaitement exact pour la pĂ©riode julienne et la pĂ©riode grĂ©gorienne ; c'est l'algorithme le plus connu et le plus utilisĂ© ; il est trĂšs simple Ă  programmer et peut ĂȘtre mis en Ɠuvre avec un simple tableur ;
  • l'algorithme de Conway, applicable seulement aux dates de PĂąques grĂ©goriennes mais qui utilise une mĂ©thode de calcul originale.

On cite ensuite, avec références, divers algorithmes publié de la fin du XIXe siÚcle jusqu'aux années 1960, dont plusieurs présentent des limitations.

L'algorithme de Gauss

La mĂ©thode de Gauss prĂ©sente un grand intĂ©rĂȘt historique car c'est la premiĂšre tentative d'Ă©laboration d'une mĂ©thode algorithmique de calcul de la date de PĂąques. L'ambition de Gauss Ă©tait de crĂ©er un algorithme unique qui serait universellement valable pour les PĂąques juliennes comme pour les PĂąques grĂ©goriennes. En 1800[41], il publie la premiĂšre mĂ©thode de calcul de la date de PĂąques essentiellement fondĂ© sur des opĂ©rations arithmĂ©tiques Ă©lĂ©mentaires. Toutefois, sa mĂ©thode tient mal compte des sauts d'Épacte pour la mĂ©temptose et la proemptose. À la suite de diverses corrections proposĂ©es par ses correspondants mathĂ©maticiens et ses Ă©lĂšves, il publie une version presque exacte en 1816[42]. La version publiĂ©e dans l'article dĂ©taillĂ©, aprĂšs diverses corrections, est valide pour toutes les annĂ©es en calendrier julien et en calendrier grĂ©gorien. On pourra noter que le calcul pour les dates de PĂąques juliennes est trĂšs voisin de l'algorithme de Delambre.

Gauss, prudent, et qui ne disposait pas des moyens actuels de calcul, limitait la validité de sa méthode à la période 1700-4099. Toutefois, des vérifications systématiques par ordinateur montrent que cet algorithme est universellement valide pour toute date à partir de 326 pour les Pùques juliennes et pour toute date à partir de 1583 pour les Pùques grégoriennes[Note 20].

L'algorithme de Meeus

L'histoire de cet algorithme est curieuse : en 1876, un « correspondant de New York » inconnu envoie au journal britannique Nature[43] un algorithme de la date de PĂąques grĂ©gorienne pour une annĂ©e quelconque. En 1877, Samuel Butcher, Ă©vĂȘque de Meath, montre dans The ecclesiastical calendar[44] que cette mĂ©thode est exacte[Note 21] sans limite de date. L'algorithme est ensuite reproduit en 1922 par H. Spencer Jones dans son Astronomie gĂ©nĂ©rale[45], en 1977 par Old Farmer's Almanac, en 1988 par Peter Duffett-Smith, de l'UniversitĂ© de Cambridge[46] dans Practical Astronomy with your Calculator[47] et, en 1991, par Jean Meeus dans ses Algorithmes astronomiques[48].

Cette méthode est appelée « algorithme de Butcher ». La réunion de cet algorithme avec la méthode de Delambre constitue l'algorithme de Delambre-Butcher. Il est plus souvent connu sous le nom d'algorithme de Meeus, le livre de celui-ci[49] en ayant assuré la diffusion mondiale.

L'algorithme de Meeus a l'avantage de ne prĂ©senter aucune limitation de date ni pour les PĂąques juliennes ni pour les PĂąques grĂ©goriennes[Note 22]. Cette mĂ©thode n'exige aucune instruction conditionnelle ni le recours Ă  aucune table. Sa mise en forme est extrĂȘmement simple et un simple tableur, sans aucune programmation, suffit. MathĂ©matiquement, c'est la mĂ©thode la plus Ă©lĂ©gante. C'est aussi la plus connue et la plus utilisĂ©e des mĂ©thodes de calcul de la date de PĂąques.

L'algorithme de Conway

L'intĂ©rĂȘt principal de l'algorithme de Conway est d'introduire une prĂ©sentation nouvelle du calcul de la date de PĂąques grĂ©gorienne Ă  l'aide du concept de Jour-pivot.

Il existe chaque annĂ©e une sĂ©rie de dates mensuelles qui tombent toujours le mĂȘme jour de la semaine. Cette sĂ©rie de dates est constante pour les dix derniers mois de l'annĂ©e et varie pour janvier et fĂ©vrier selon que l'annĂ©e est ou non bissextile. Pour les annĂ©es normales, cette sĂ©rie de dates est : (31/01, 28/02, 7/03, 4/04, 9/05, 6/06, 11/07, 8/08, 5/09, 10/10, 7/11, 12/12) et pour les annĂ©es bissextiles, le 31/01 devient le 1/02 et le 28/02 devient le 29/02. On pourra vĂ©rifier sur le calendrier de 2006, annĂ©e non bissextile, reproduit en tĂȘte de cet article, que le jour-pivot pour 2006 est un mardi. De plus les jours-pivot sĂ©culaires suivent un cycle de 400 ans. Conway utilise ces propriĂ©tĂ©s pour dĂ©terminer la Lune pascale et le dimanche de PĂąques.

Les contrĂŽles effectuĂ©s par ordinateur prouvent que la mĂ©thode, dans la prĂ©sentation qui en est donnĂ©e dans l'article dĂ©taillĂ©, est exacte et donne les mĂȘmes rĂ©sultats que l'algorithme de Meeus pour un cycle de 5 700 000 ans Ă  partir de 1583.

Autres méthodes algorithmiques du calcul de la date de Pùques

La recherche de mĂ©thodes simplifiĂ©es de calcul de la date de PĂąques avait un grand intĂ©rĂȘt Ă  l'Ă©poque du calcul manuel : unifier les calculs, Ă©viter le recours Ă  des tables, gagner sur chaque opĂ©ration arithmĂ©tique Ă©pargnait alors labeur, temps et risque d'erreur. Depuis l'apparition du calcul mĂ©canique, la recherche de simplification est moins cruciale : Ă©crire une ligne de programme en plus ou en moins n'est guĂšre coĂ»teux ; de plus, les temps de calcul, mĂȘme pour des algorithmes peu optimisĂ©s, sont raisonnables[Note 23].

Des mathématiciens se sont attachés à mettre sous forme d'algorithmes programmables les méthodes canoniques de Denys le Petit pour le calendrier julien ou de Lilius-Clavius pour le calendrier grégorien (trois algorithmes de Henk Reints) ; d'autres ont proposé des méthodes simplifiées mais susceptibles de certaines restrictions (comme les algorithmes de Carter[50] ou de Thomas O'Beirne[51]).

Voici plusieurs de ces méthodes dans l'ordre chronologique de leur publication :

Auteur Note Validité, référence
Christian Zeller Astronome allemand (1822-1899) qui travailla et publia Ă©galement en France. Il Ɠuvra beaucoup sur les problĂšmes calendaires et la date de PĂąques. On trouvera des rĂ©fĂ©rences bibliographiques dans sa notice ainsi, que dans la bibliographie ci-aprĂšs, plus particuliĂšrement sur la date de PĂąques. Sa mĂ©thode pour le calendrier julien est aussi simple que celle de Delambre. En revanche, sa mĂ©thode pour le calendrier grĂ©gorien n'est pas universellement valable en l'Ă©tat : l'algorithme original est limitĂ© Ă  l'annĂ©e 4200[52].
Carter La seule référence connue à l'algorithme de Carter est une note de travail du Royal Greenwich Observatory[53]. Cet algorithme daterait des années 1920 - 1930. La méthode de Carter détermine la date de Pùques grégorienne dans le calendrier grégorien. Toutefois, cette méthode est limitée à la période 1900 - 2099[54].
J.M.Oudin, Claus TÞndering Dans les années 1930, J.-M. Oudin, pseudonyme de FrÚre Namase-Marie, décÚle précisément les insuffisances de l'algorithme de Gauss concernant la proemptose. Ses corrections paraissent successivement en 1939[55] et, en 1940, dans le Bulletin astronomique[56]. Claus TÞndering est un ingénieur informaticien danois né en 1953 qui a repris, amélioré et diffusé l'algorithme de Oudin[57]. Cet algorithme calcule la date de Pùques julienne en calendrier julien et la date de Pùques grégorienne en calendrier grégorien[58].
Denys le Petit, Henk Reints Le mathématicien néerlandais Henk Reints a mis sous forme algorithmique la méthode canonique de Denys le Petit pour la date de Pùques julienne. Cet algorithme calcule la date de Pùques julienne en calendrier julien[59].
Lilius-Clavius, Henk Reints Le mathématicien néerlandais Henk Reints a aussi mis sous forme algorithmique la méthode canonique de Lilius-Clavius pour Pùques en date grégorienne. Cet algorithme calcule la date de Pùques grégorienne en calendrier grégorien. L'algorithme détaillé est disponible sur le site en référence[59].
Henk Reints Cet algorithme grégorien est une simplification de l'algorithme de Lilius/Clavius présenté ci-dessus. Il a été développé par le mathématicien néerlandais Henk Reints. Cet algorithme calcule la date de Pùques grégorienne en calendrier grégorien[60].
Thomas O'Beirne Thomas H. O'Beirne, de Glasgow, a publié son algorithme en 1965. Cet algorithme est explicitement limité par son auteur aux années 1900-2099. Une seconde publication, légÚrement modifiée, en 1966, n'indique pas de limitation. Dans le doute, on doit considérer que cet algorithme est limité aux années 1900-2099. Cet algorithme est disponible sur le site en référence[61].
Louis-AimĂ© de FouquiĂšres Dans son ouvrage L’Heure milĂ©sienne[62], l’auteur propose une mĂ©thode dĂ©rivĂ©e de celles de Meeus et de John Conway, avec une variante originale pour le calcul de la correction des Ă©pactes 24 et 25 de la mĂ©thode canonique. Le texte introduit les concepts de reliquat pascal, Ă©cart pascal et quantiĂšme pascal pour aider Ă  suivre la dĂ©marche de calcul. La mĂ©thode commence par une dĂ©composition de l’annĂ©e cible, plus intuitive que la suite de divisions entiĂšres prĂ©sentĂ©e dans les autres algorithmes. Ainsi prĂ©sentĂ©e, la mĂ©thode tient en cinq lignes de calcul. La mĂ©thode donne le mĂȘme rĂ©sultat que la mĂ©thode de Meeus pour les 5 700 000 annĂ©es postĂ©rieures Ă  1582. Le site web du calendrier milĂ©sien explique la mĂ©thode et propose un calculateur annuel ainsi qu’un lien vers le programme de comparaison entre la mĂ©thode de Meeus et la mĂ©thode milĂ©sienne[63].

Calcul de la date de PĂąques au quotidien

L'algorithme de calcul de la date de Pùques (selon la méthode de Meeus) est inclus dans plusieurs tableurs et est disponible avec la fonction DIMANCHEDEPAQUES() dans LibreOffice Calc.

Notes et références

Notes

  1. La fĂȘte de PĂąques chrĂ©tienne est normalement orthographiĂ©e avec un s et se distingue de la PĂąque juive Ă©crite au singulier. La locution date de PĂąques est une ellipse pour date du jour de la fĂȘte de PĂąques.
  2. C'est-à-dire le quatorziÚme jour de la Lune. Voir ci-aprÚs les détails sur la définition du Concile de Nicée.
  3. Rappelons que jusqu'au XVIe siÚcle on a pensé que les astres, situés dans l'orbe des parfaits étaient organisé selon une géométrie ordonnée et suivaient des rÚgles géométriques complexes mais accessibles à l'entendement ; voir par exemple les constructions polyédriques de Kepler sur l'agencement des astres. Voir Kepler et l'agencement polyédrique des astres.
  4. Voir l'article Calendrier julien rĂ©visĂ©#Équation lunaire
  5. Pour calculer les intervalles de temps, les Anciens incluaient dans le décompte le jour de début et le jour de fin. Ainsi, d'un dimanche au suivant, ils comptaient huit jours, et non pas sept selon notre méthode moderne de décompte (c'est la raison pour laquelle, dans le langage courant, on dit « dimanche en huit », et non pas « dimanche en sept », pour désigner le dimanche qui suit le dimanche prochain.) Aussi, pour déterminer le quatorziÚme jour de la Lune, il faut ajouter 13 à la date de la Nouvelle Lune : par exemple si la Nouvelle Lune est le 9 janvier, le quatorziÚme jour de la Lune est le 22 janvier.
  6. Ce sont les mĂȘmes raison qui conduisirent le Conseil français du culte musulman Ă  proposer, en 2012, une Lune de Ramadan universelle, fondĂ©e sur le calcul astronomique. Voir DĂ©termination du Ramadan par le CFCM. Cette proposition fut suivie en 2013 de façon trĂšs inĂ©gale.
  7. S'il est presque certain que c'est Denys le Petit qui a défini l'Ère de l'Incarnation comme débutant le 25 décembre 753 AUC, reportée par commodité au 1er janvier 754 AUC, son rÎle dans le calcul de la date de Pùques relÚve de la tradition, les sources sur ce sujet étant sujettes à caution.
  8. À l'Ă©poque de la rĂ©forme grĂ©gorienne, la dĂ©rive du cycle de MĂ©ton sur la Lune vraie Ă©tait connue depuis longtemps. À l'aide des relevĂ©s astronomiques dont ils disposaient, parfois trĂšs anciens (datant des babyloniens), Clavius et Lilius estimĂšrent cette dĂ©rive Ă  un jour tous les 312,5 ans. Toutefois, soit que les relevĂ©s qu'ils utilisĂšrent aient Ă©tĂ© entachĂ©s d'erreurs, soit que cette dĂ©rive ait changĂ© dans le temps, leurs calculs paraissent de nos jours trĂšs sous-estimĂ©s. Avec une annĂ©e terrestre tropique, Ă©valuĂ©e aujourd'hui Ă  365,242 181 jours, et un mois lunaire synodique de 29,530 589 jours, un calcul simple conduit Ă  une dĂ©rive du cycle de MĂ©ton sur la Lune vraie d'un jour tous les 218,9 ans. La proemptose est donc sous Ă©valuĂ©e et il demeure dans le calcul grĂ©gorien de la date de PĂąques, malgrĂ© cette correction, une dĂ©rive de la Lune vraie sur la Lune thĂ©orique d'environ un jour tous les 1043 ans.
  9. Cette rĂ©union est aussi nommĂ©e Synode de Constantinople (de 1923) ou Synode d'Istanbul (de 1923). Le terme « synode » dĂ©finit une rĂ©union plus formelle qu'un « congrĂšs ». Les rĂ©fĂ©rences Ă  Istanbul sont anachroniques. À la suite de la rĂ©volution d'Ataturk, il ne fut recommandĂ© d'appeler la ville Istanbul qu'en 1928 et ce nom ne devint d'usage officiel que le 28 mars 1930. Voir Noms d'Istanbul.
  10. Le terme « panorthodoxe » est tendancieux : ce qualificatif fut imposĂ© par les partisans du congrĂšs, alors qu'une trĂšs petite minoritĂ© des Églises orthodoxes y participaient ; voir Ă  ce sujet l'article Calendrier julien rĂ©visĂ©.
  11. Certaines paroisses occidentales de l'Église orthodoxe russe cĂ©lĂšbrent Ă©galement la NativitĂ© le 25 dĂ©cembre grĂ©gorien, ainsi que celles des diocĂšses orthodoxes bulgares d'AmĂ©rique, avant et aprĂšs le transfert en 1976 de ce diocĂšse de l'Église orthodoxe russe hors frontiĂšres Ă  l'Église orthodoxe en AmĂ©rique.
  12. Attention. Il existe entre les lettres dominicales et leur correspondance numérique plusieurs conventions qui peuvent rendre la lecture des algorithmes incompréhensible si la convention adoptée par l'auteur n'est pas nettement précisée. Par exemple, certains posent : A=0, B=1,
, G=6 ; d'autres prennent A=1, B=2,
, G=7 ; d'autres comptent en sens rétrograde : G=0, F=1,
, G=6, etc. Dans cet article et les articles liés, la convention est : A=1, B=2,
, G=7.
  13. Aucun rapport avec la proportion gĂ©omĂ©trique de mĂȘme nom.
  14. Cette rĂ©partition comporte un certain arbitraire. Le calendrier lunaire Ă©tabli par Denys le Petit doit ĂȘtre considĂ©rĂ© comme une hypothĂšse qui fonde les calculs ultĂ©rieurs
  15. Pour l'ensemble de ces calculs, voir l'ouvrage de Jean Lefort, La saga des calendriers, cité en référence.
  16. Voir Pùques#Célébrations religieuses.
  17. On pourra à cet effet utiliser les algorithmes donnés dans l'article Jour julien : convertir la date du calendrier julien en Jours juliens puis convertir les Jours juliens en date du calendrier grégorien.
  18. Ce cycle est purement théorique. Sur le long terme, tout bouge : la rotation de la Terre ralentit, donc la durée du jour s'allonge (de 1 à ms par siÚcle) et la durée du jour lunaire varie en conséquence ; les divers cycles sur lesquels s'appuie le calcul de la date de Pùques sont variables à long terme. Or ce calcul suppose ces cycles constants. Le calcul de la date de Pùques sur d'aussi longues périodes est donc fictif.
  19. L’histogramme des dates de PĂąques sur un cycle de 5 700 000 annĂ©es a une forme de trapĂšze. Les frĂ©quences de la date de PĂąques, plus faibles en dĂ©but et en fin de pĂ©riode, sont dues Ă  la combinaison des valeurs de l'Épacte avec celles de la lettre dominicale : PĂąques au nĂ©cessite que l'Épacte vaille 23 et la lettre dominicale D, soit une seule possibilitĂ© ; le est obtenu avec deux possibilitĂ©s : Épacte = 22 ou 23 et lettre dominicale E, etc. Il en rĂ©sulte l'aspect quasi linĂ©aire de l'accroissement des frĂ©quences (quasi car les lettres dominicales ne sont pas Ă©quiprobables). On atteint ensuite un plateau. Les irrĂ©gularitĂ©s sont dues aux variations de frĂ©quence de la lettre dominicale. Pour le , la frĂ©quence des dates de PĂąques est un peu supĂ©rieur Ă  celle obtenue pour le 4 et le : c’est l’effet direct de la correction de l'Épacte XXV pour la lettre dominicale C qui avance au les dates de PĂąques qui seraient tombĂ©es le sans cette correction. La frĂ©quence Ă©levĂ©e pour le rĂ©sulte du traitement particulier des Épactes 24 et 25. L'Épacte 24 est assimilĂ© Ă  25 pour le calcul de la date de PĂąques, ce qui augmente d’un facteur 1,94 la probabilitĂ© de la Pleine Lune le par rapport Ă  une Épacte normale ; ceci accroĂźt en consĂ©quence la frĂ©quence des dates de PĂąques liĂ©es Ă  cette Pleine Lune, du 19 au . Ce phĂ©nomĂšne se produit aussi pour les jours suivant le : on peut constater que le trapĂšze est dissymĂ©trique, les occurrences dans les derniers jours sont plus nombreuses que dans les premiers. Les sept derniers jours de la pĂ©riode, du 19 au , reçoivent plus frĂ©quemment PĂąques que les sept premiers, mais l’effet est surtout apparent pour le .

    Micher Dorrer, Notes sur la date de Pñques, École polytechnique, 2012.
  20. Vérification effectuée à l'aide de l'algorithme de Meeus.
  21. C'est-à-dire respectant exactement la définition du concile de Nicée.
  22. Logiquement, la date de Pùques julienne n'a pas de sens avant sa définition par le Concile de Nicée en 325, et la date de Pùques grégorienne n'a pas de sens avant 1583, le calendrier grégorien ayant pris effet le 15 octobre 1582.
  23. À titre d'exemple, le calcul du nombre d'occurrences de la date de PĂąques grĂ©gorienne pour 5 700 000 ans (voir le § Distribution des dates de PĂąques grĂ©goriennes ci-dessus) par la mĂ©thode de Butcher prend, avec un PC ordinaire moyennement performant et d'une macro Excel peu rapide moins de 5 minutes (calcul effectuĂ© en janvier 2013).

Références

  1. Michel Rouche, Les origines du christianisme 30-451, Hachette, p. 48
  2. PĂąque juive et PĂąques chrĂ©tienne : un mĂȘme calendrier ? Article de Jean-Paul Michaud sur le site Interbible
  3. Pierre Maraval, Le christianisme de Constantin Ă  la conquĂȘte arabe, p. 236-238
  4. La Bible indique que Pessah doit avoir lieu quand l'orge est bon à couper. Aussi le mois précédent Nissan, Adar, était redoublé en Veadar en fonction du murissement des épis. Cf Jean Lefort, La saga des calendriers, BibliothÚque pour la science, , p. 93
  5. Michel Rouche, Les origines du christianisme 30-451, Hachette, p. 63
  6. Yves Chiron, Histoire des conciles, Perrin, , p. 9
  7. Jean-Paul Parisot, Françoise Suagher, Calendriers et chronologie, Paris, Masson, 1996 ; (ISBN 2-225-85225-1), p. 95.
  8. Voir L'art de vérifier les dates des faits historiques, des chartes, des chroniques et autres anciens monuments, depuis la naissance de Notre-Seigneur, Volume 1, par Maur-François Dantine, Charles Clémencet (dom), François Clément (dom), M. de Saint-Allais (Nicolas Viton), Ursin Durant, Valade, imprimeur du roi, rue CoquilliÚre, 1818, fac-simile sur Google Books ici
  9. IrĂ©nĂ©e de Lyon, DĂ©monstration de la prĂ©dication apostolique, Introduction, traduction et notes par Adelin Rousseau, moine de l'abbaye d'Orval, Éditions du Cerf, Paris, 1995, (2e Ă©d. 2011), 420 p., (ISBN 2-204-05110-1)
  10. ÉlĂšve d'IrĂ©nĂ©e de Lyon aurait eu le premier, selon la tradition, l'idĂ©e de dresser des tables permettant de trouver facilement la date de PĂąques ConsultĂ© le 26/10/2013
  11. Texte liturgique grec
  12. Différences entre les textes de 325 et 381
  13. J. LĂ©vy, DĂ©termination de la date de PĂąques, Paris, Annuaire du Bureau des longitudes, Lire ici.
  14. Actes du Concile de Nicée. Lire ici
  15. Voir ce site.
  16. Voir le site Les dates de PĂąques
  17. Voir Calendrier julien révisé
  18. Observatoire de Paris, Le calcul des dates de PĂąques. Lire ici.
  19. P. Rocher, Institut de mécanique céleste et de calcul des éphémérides, Observatoire de Paris. Voir : ce texte
  20. Voir La vie des saints et des festes de l'année Fac-simile Google, page 61
  21. Voir sur le cycle d'Augustalis
  22. Georges Briche, Rapports entre les colombaniens et les autorités ecclésiales, voir le fac-simile de l'ouvrage ici
  23. A. Cordiolani, Les computistes insulaires et les écrits pseudo-alexandrins, article, BibliothÚque de l'école des chartes, volume 106, no 1, pp. 5-34, fac-simile sur Persée ici
  24. Georges Briche Rapport entre colombaniens et autorités ecclésiales
  25. On trouvera des Ă©tudes dĂ©taillĂ©es de cette table sur les sites suivants : Étude classique d'Alfred Cordiolani (1961) et Easter dates in an inscription at PĂ©rigueux (en anglais)
  26. La vie des saints et l'histoire des festes de l'année, avec privilÚge du Roy ; à Paris, chez la Veuve Roulland, rue Saint-Jacques vis-à-vis Saint Yves ; MDCCXXIV ; page 29. Fac-simile sur Google Books
  27. Michel Rouche, Les origines du christianisme 30-451, Hachette, p. 149
  28. Voir ici une recension des sources primaires prétendues de la réforme de Denys le Petit.
  29. Le Devisement du monde ou Le livre des merveilles, rédigé en franco-provençal et disponible dans de nombreuses éditions francisées.
  30. Voir l'article Calendrier grégorien.
  31. Romani Calendarii ad Gregorio XIII, PM, Restituti explicatio, Rome, 1603.
  32. Voir le fac simile avec traduction en anglais de l'ouvrage de Clavius explicitant les calculs de la date de Pñques sur le site de l'University of Notre Dame, South Bend (Indiana), États-Unis.
  33. Jean Lefort, La saga des calendriers ; Paris, Éd. Bibliothùque Pour la Science, 1998, (ISBN 9782902900350).
  34. Jean Lefort, La Saga des Calendriers, p. 74
  35. La réforme grégorienne en Grande-Bretagne
  36. Une Pùques commune Article paru en 2011 sur le site Chrétiens de la Méditerranée
  37. Voir l'article Comput.
  38. Jean Lefort, La saga des calendriers : ou le frisson millĂ©nariste, Paris, Belin (http://www.editions-belin.com/ Site des Éditions Belin), coll. « Pour la Science », , 192 p. (ISBN 978-2-84245-003-8). On peut Ă©galement consulter VĂ©nance Grumel TraitĂ© d'Etudes byzantines -Tome I La Chronologie P.U.F. 1958, Chapitre III Le cycle lunaire pascal de 19 ans pages 31 Ă  55.
  39. Voir l'article Division euclidienne.
  40. Jean-Baptiste, Joseph Delambre, Astronomie théorique et pratique ; Paris, Vve Courcier, 1814 ; vol. 3, p. 715. Fac-simile de l'Astronomie théorique et pratique sur (https://books.google.fr/books/about/Astronomie_th%C3%A9orique_et_pratique.html?hl=fr&id=BDAVAAAAQAAJ Google Books].
  41. Voir l'original du texte de Gauss en allemand.
  42. Voir : « la version rĂ©visĂ©e de 1816 en allemand. »(Archive.org ‱ Wikiwix ‱ Archive.is ‱ Google ‱ Que faire ?)
  43. Nature, 1876 April 20, vol. 13, p. 487.
  44. Samuel Butcher, The Ecclesiastical Calendar ; Its theory and construction ; Dublin, Hodges, Foster and Figgis, 1877, p. 225. Fac-simile sur Google Books. (livre posthume publié par ses fils)
  45. H. Spencer Jones, General Astronomy ; London, Longsman, Green, 1922 ; p. 73. Fac-simile sur Google Books.
  46. Voir sa page personnelle ici
  47. Peter Duffet-Smith Practical Astronomy with your Calculator, Cambridge University Press, 2 février 1989, 3e édition, 200 pages, (ISBN 978-0521356992)
  48. Jean Meeus, Astronomical Algorithms ; Richmond (Virginia, États-Unis), Willmann-Bell, 1991, pp. 67–68.
  49. Jean Meeus, op. cit.
  50. Voir : Algorithme de Carter.
  51. Voir Algorithme de O'Beirne.
  52. L'algorithme de Zeller détaillé est disponible sur ce site.
  53. Voir ce site.
  54. L'algorithme de Carter détaillé est disponible sur ce site.
  55. J.M. Oudin, Annales de la Société Scientifique de Bruxelles, Série I, 59 ; Bruxelles, 1939, pp. 225-226 ; Nouvelles formules, trÚs simples, trÚs rapides, en fonction, du seul millésime & Tables pour calculer la date de Pùques par ces formules.
  56. Bulletin astronomique ; mĂ©moires et variĂ©tĂ©s, Volume 12-8 ; Paris, Gauthier-Villars, 1940, Étude sur la date de PĂąques, pp. 391-410.
  57. Le site de Claus TĂžndering concernant le calendrier est visible ici.
  58. Voir Calcul de la date de PĂąques selon l'algorithme de Oudin-TĂžndering ce site
  59. Voir ce site.
  60. Voir le site de Henk Reints (en néerlandais), .
  61. Voir ce site.
  62. Louis-Aimé de FouquiÚres, L'Heure milésienne. Mieux connaßtre le temps de la Terre avec le calendrier milésien., Paris, Edilivre, , 142 p. (ISBN 978-2-334-23604-1), p. 62-70
  63. « Calcul date de Pùques », sur www.calendriermilesien.org, (consulté le )

Voir aussi

Ouvrages généraux

MĂ©thodes canoniques

  • Denys le Petit, Liber de Paschate. Texte en latin. ;
  • Christophorus Clavius, Opera mathematica (le cinquiĂšme volume contient une explication dĂ©taillĂ©e du calcul de la date de PĂąques grĂ©gorienne) ; fac-simile de l'original en latin et traduction en anglais sur le site de University of Notre Dame [archive], South Bend (Indiana), États-Unis ici.
  • Christophorus Clavius, Romani Calendarii ad Gregorio XIII, PM, Restituti explicatio, Rome, 1603.

Algorithme de Meeus

  • Samuel Butcher, The Ecclesiastical Calendar ; Its theory and construction, Dublin, Hodges, Foster and Figgis, 1877, p. 225. Fac-simile sur Google Books.
  • Jean Meeus, Astronomical algorithms, Richmond, Virginia, Willmann-Bell, 1991 (ISBN 0943396352).

Algorithme de Gauss

  • Fac-simile de l'original du texte de Gauss sur ce site.

Algorithme de Conway

Algorithme de Zeller

  • Christian Zeller, Die Grundaufgaben der Kalenderrechnung auf neue und vereinfachte Weise gelöst, WĂŒrttembergische Vierteljahrshefte fĂŒr Landesgeschichte, Jahrgang V (1882), pp. 313-314.
  • Christian Zeller, Problema duplex Calendarii fundamentale, Bulletin de la SociĂ©tĂ© MathĂ©matique de France, vol.11, (SĂ©ance du ), pp. 59-61.
  • Christian Zeller, Kalender-Formeln ; Mathematisch-naturwissenschaftliche Mitteilungen des mathematisch-naturwissenschaftlichen Vereins in WĂŒrttemberg, ser. 1, 1 (1885), pp. 54-58.
  • Christian Zeller, Kalender-Formeln ; Acta Mathematica, vol.9 (1886-7), , pp. 131-136.

Algorithme de O'Beirne

  • Thomas Hay O'Beirne, The regularity of Easter, Bulletin of the Institute of Mathematics and its Applications, 1966, vol 2, numĂ©ro 2, pp. 46-49.
  • Thomas Hay O'Beirne, Puzzles and Paradoxes, New York, Oxford University Press, 1965, 238 p., derniĂšre Ă©dition : 27/02/2002.

Articles connexes

Liens externes

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