Exponentielle d'une matrice

• L'exponentielle de la matrice nulle est la matrice identité : ${\displaystyle \mathrm {e} ^{0}=I}$ ;
• Le déterminant de l'exponentielle d'une matrice est égal à l'exponentielle de sa trace : ${\displaystyle \det \left(\mathrm {e} ^{X}\right)=\mathrm {e} ^{\operatorname {tr} (X)}}$;
• si Y est une matrice inversible, alors ${\displaystyle \mathrm {e} ^{YXY^{-1}}=Y\,\mathrm {e} ^{X}Y^{-1}}$ ;
• l'exponentielle de matrice vérifie la limite : ${\displaystyle \mathrm {e} ^{X}=\lim _{k\to \infty }\left(I+{\frac {X}{k}}\right)^{\!k}}$;
• ${\displaystyle \mathrm {e} ^{(X+Y)}=\lim _{n\to \infty }\left(\mathrm {e} ^{\frac {X}{n}}\mathrm {e} ^{\frac {Y}{n}}\right)^{\!n}}$ (formule de Trotter-Kato) ;
• il existe un polynôme d'endomorphisme P_X (dépendant de X) tel que ${\displaystyle \mathrm {e} ^{X}=P_{X}(X)}$.

La transposée, la conjuguée et l'adjointe d'une matrice X sont notées ${\displaystyle X^{\mathsf {T}}}$, ${\displaystyle {\overline {X}}}$ et ${\displaystyle X^{\dagger }}$.

• L'exponentielle de la transposée d'une matrice est la transposée de l'exponentielle de la matrice : ${\displaystyle \mathrm {e} ^{X^{\mathsf {T}}}=\left(\mathrm {e} ^{X}\right)^{\!{\mathsf {T}}}}$. Il s'ensuit que :
  • si X est symétrique (${\displaystyle X^{\mathsf {T}}=X}$), alors e^X l'est aussi : ${\displaystyle \left(\mathrm {e} ^{X}\right)^{\!{\mathsf {T}}}=\mathrm {e} ^{X}}$ ;
  • si X est antisymétrique (${\displaystyle X^{\mathsf {T}}=-X}$) et réelle (à coefficients réels), alors e^X est orthogonale : ${\displaystyle \left(\mathrm {e} ^{X}\right)^{-1}=\left(\mathrm {e} ^{X}\right)^{\mathsf {T}}}$.
• L'exponentielle de la conjuguée d'une matrice est la conjuguée de l'exponentielle de la matrice : ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\overline {X}}={\overline {\mathrm {e} ^{X}}}}$ et donc, compte tenu de la propriété précédente :
• L'exponentielle de l'adjointe d'une matrice est l'adjointe de l'exponentielle de la matrice : ${\displaystyle \mathrm {e} ^{X^{\dagger }}=\left(\mathrm {e} ^{X}\right)^{\!\dagger }}$. Il s'ensuit que :
  • si X est hermitienne (${\displaystyle X^{\dagger }=X}$), alors e^X l'est aussi : ${\displaystyle \left(\mathrm {e} ^{X}\right)^{\!\dagger }=\mathrm {e} ^{X}}$ ;
  • si X est antihermitienne (${\displaystyle X^{\dagger }=-X}$), alors e^X est unitaire : ${\displaystyle \left(\mathrm {e} ^{X}\right)^{-1}=\left(\mathrm {e} ^{X}\right)^{\dagger }}$.

Le commutateur de X et Y est noté [X , Y] (= XY -YX).

• Si [X , Y] = 0 (les matrices commutent) alors ${\displaystyle \mathrm {e} ^{X}\mathrm {e} ^{Y}=\mathrm {e} ^{X+Y}\;(=\mathrm {e} ^{Y}\mathrm {e} ^{X})}$.
• Plus généralement, en supposant seulement que [X , Y] commute avec X et Y, ${\displaystyle \mathrm {e} ^{X}\mathrm {e} ^{Y}=\mathrm {e} ^{X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]}}$ (formule de Glauber).

• Encore plus généralement, la formule de Baker-Campbell-Hausdorff donne l'expression de ${\displaystyle {\rm {e}}^{X+Y}-\mathrm {e} ^{X}\mathrm {e} ^{Y}}$, plus précisément d'un logarithme de e^X e^Y, par une série ne faisant intervenir que X, Y et leurs commutateurs. Les premiers termes sont[5] - [6] :

  ${\displaystyle \log(\mathrm {e} ^{X}\mathrm {e} ^{Y})=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}[X,[X,Y]]+{\frac {1}{12}}[Y,[Y,X]]-{\frac {1}{24}}[X,[Y,[X,Y]]]+\dots }$

L'exponentielle d'une matrice est toujours inversible. L'inverse de e^X est donné par e^-X. Cette fonction est donc une application ${\displaystyle \exp$ :\mathrm {M} _{n}(\mathbb {C} )\to \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )} de l'ensemble des matrices n × n vers le groupe général linéaire, c'est-à-dire le groupe de toutes les matrices inversibles. Cette application est surjective.

Pour deux matrices X et Y, nous avons :

${\displaystyle \|\mathrm {e} ^{X+Y}\!-\mathrm {e} ^{X}\|\leq \|Y\|\,\mathrm {e} ^{\|X\|}\,\mathrm {e} ^{\|Y\|},}$

où || · || désigne une norme matricielle arbitraire. Il suit que l'application exponentielle est continue et lipschitzienne sur tout sous-ensemble compact de ${\displaystyle \mathrm {M} _{n}(\mathbb {C} )}$.

L'application ${\displaystyle \exp$ :\mathrm {M} _{n}(\mathbb {C} )\to \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )} est même de classe ${\displaystyle C^{\infty }}$.

Sa différentielle en 0 est l'identité et elle réalise un difféomorphisme entre un voisinage de 0 et un voisinage de l'identité.

L'application :

${\displaystyle t\mapsto {\rm {e}}^{tX},\quad t\in \mathbb {R} }$

définit une courbe de classe ${\displaystyle C^{\infty }}$ dans le groupe linéaire qui passe par l'identité en t = 0. Cette courbe est en fait un sous-groupe de Lie commutatif à un paramètre de ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$ puisque :

${\displaystyle \mathrm {e} ^{t_{1}X}\mathrm {e} ^{t_{2}X}=\mathrm {e} ^{(t_{1}+t_{2})X}=\mathrm {e} ^{t_{2}X}\mathrm {e} ^{t_{1}X}}$.

La dérivée de cette courbe au point t est donnée par :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathrm {e} ^{tX}=X\,\mathrm {e} ^{tX}=\mathrm {e} ^{tX}X\qquad (1)}$

(la dérivée au point t = 0 est la matrice X, ce qui revient à dire que X engendre ce sous-groupe à un paramètre)

En effet, plus généralement, la différentielle de l'application exponentielle en une matrice X est donnée par :

${\displaystyle \exp '_{X}(H)=\sum _{i,j\in \mathbb {N} }{\frac {X^{i}HX^{j}}{(i+j+1)!}}=\sum _{i,j\in \mathbb {N} }\mathrm {B} (i+1,j+1){\frac {X^{i}}{i!}}H{\frac {X^{j}}{j!}}=\int _{0}^{1}{\rm {e}}^{(1-\alpha )X}H{\rm {e}}^{\alpha X}{\rm {d}}\alpha }$

où B désigne la fonction bêta, d'où :

${\displaystyle {\text{si }}XH=HX,\quad \exp '_{X}(H)=H\,\mathrm {e} ^{X}}$.

Dans le plan euclidien muni d'un repère orthonormé, considérons la matrice de rotation d'angle π/2 :

${\displaystyle R_{\perp }={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}$.

Alors :

${\displaystyle \mathrm {e} ^{\theta \,R_{\perp }}={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}=R(\theta )}$

est la matrice de rotation d'angle θ[7].

Soit la matrice :

${\displaystyle P_{\mathrm {G} }={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$.

Alors :

${\displaystyle \mathrm {e} ^{-v\,P_{\mathrm {G} }}={\begin{pmatrix}1&-v\\0&1\end{pmatrix}}=T_{\mathrm {G} }(v)}$

est la matrice de transformation de Galilée dans le plan (x , t) pour un déplacement de vitesse v sur l'axe Ox[7] : x' = x - vt, t' = t.

Soit la matrice :

${\displaystyle P_{\mathrm {L} }={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$.

Alors :

${\displaystyle \mathrm {e} ^{-\varphi P_{\mathrm {L} }}={\begin{pmatrix}\cosh \varphi &-\sinh \varphi \\-\sinh \varphi &\cosh \varphi \end{pmatrix}}=T_{\mathrm {L} }(\varphi )}$

est la matrice de transformation de Lorentz dans le plan (x , ct) pour un déplacement de rapidité φ sur l'axe Ox[7].

Soit ${\displaystyle {\hat {n}}}$ un vecteur unitaire de cosinus directeurs α, β, γ (${\displaystyle {\hat {n}}=\alpha \,{\vec {e}}_{x}+\beta \,{\vec {e}}_{y}+\gamma \,{\vec {e}}_{z}\,}$ avec α² + β² + γ² = 1), et soit la matrice[alpha 1] :

${\displaystyle N_{\hat {n}}={\begin{pmatrix}0&-\gamma &\beta \\\gamma &0&-\alpha \\-\beta &\alpha &0\end{pmatrix}}}$.

Alors :

${\displaystyle \mathrm {e} ^{\theta \,N_{\hat {n}}}=R_{\hat {n}}(\theta )}$

est la matrice de rotation d'angle θ autour d'un axe Δ de vecteur unitaire ${\displaystyle {\hat {n}}}$[7].

En géologie structurale, on s'intéresse à la déformation finie résultant, au bout d'un certain temps, d'une déformation progressive[8] :

${\displaystyle {\vec {r}}_{\mathrm {f} }=D\cdot {\vec {r}}_{0}}$,

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}=L(t)\cdot {\vec {r}}(t)}$,

où ${\displaystyle {\vec {r}}(t)={\overrightarrow {\mathrm {OM} }}}$ désigne le vecteur position par rapport à un point matériel arbitraire choisi comme origine (qui peut suivre n'importe quelle trajectoire entre les instants t₀ et t_f), ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$ la position initiale (à ${\displaystyle t=t_{0}}$) et ${\displaystyle {\vec {r}}_{\mathrm {f} }}$ la position finale (à t = t_f). D est la « matrice de déformation finie » et L(t) la « matrice de déformation progressive ».

• Si L(t) est une matrice constante L, alors :

  ${\displaystyle D=\mathrm {e} ^{(t-t_{0})L}}$.

• Si L(t) varie mais commute avec sa dérivée ${\displaystyle ({\mathrm {d} L}/{\mathrm {d} t})}$[alpha 2], alors la formule précédente se généralise en[8] - [alpha 3] :

  ${\displaystyle D=\mathrm {e} ^{\int _{t_{0}}^{t_{\mathrm {f} }}L(\tau )\,\mathrm {d} \tau }}$.

• Dans le cas général on ne sait exprimer D que sous la forme d'un développement en série[9] - [alpha 4].

Si D est une matrice diagonale, c'est-à-dire :

${\displaystyle D={\begin{pmatrix}d_{1}&0&\ldots &0\\0&d_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &d_{n}\end{pmatrix}}}$,

alors son exponentielle est obtenue en calculant l'exponentielle de chacun des termes de la diagonale principale :

${\displaystyle \mathrm {e} ^{D}={\begin{pmatrix}\mathrm {e} ^{d_{1}}&0&\ldots &0\\0&\mathrm {e} ^{d_{2}}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &\mathrm {e} ^{d_{n}}\end{pmatrix}}}$.

Si A est une matrice diagonalisable, c'est-à-dire :

${\displaystyle A=PDP^{-1}}$

où D est diagonale, alors

${\displaystyle \mathrm {e} ^{A}=P\mathrm {e} ^{D}P^{-1}}$.

L'application exponentielle préserve ainsi les espaces propres, soit les sous-espaces engendrés par les vecteurs colonnes de P.

De plus, les valeurs propres de e^A sont les exponentielles de celles de A, soit les éléments diagonaux de e^D.

Une matrice N est nilpotente si N^q = 0 pour un entier q. Dans ce cas, son exponentielle e^N se calcule directement à partir de son développement en série, puisque celui-ci ne comporte alors qu'un nombre fini de termes :

${\displaystyle \operatorname {e} ^{N}=I+N+{\frac {N^{2}}{2!}}+{\frac {N^{3}}{3!}}+\cdots +{\frac {N^{q-1}}{(q-1)!}}}$.

Lorsque le polynôme minimal d'une matrice X est scindé (ce qui est en particulier toujours le cas pour les matrices à coefficients complexes), la décomposition de Dunford donne

${\displaystyle X=A+N\,}$

où

• A est diagonalisable ;
• N est nilpotente ;
• A commute avec N.

Dès lors, le calcul de l'exponentielle de X se réduit aux deux cas précédents :

${\displaystyle \mathrm {e} ^{X}=\mathrm {e} ^{A+N}=\mathrm {e} ^{A}\mathrm {e} ^{N}}$.

On peut aussi faire appel à la réduction de Jordan : soit J la forme de Jordan de X, et P la matrice de passage. Alors,

${\displaystyle \mathrm {e} ^{X}=P\mathrm {e} ^{J}P^{-1}}$.

Puisque

${\displaystyle J=J_{a_{1}}(\lambda _{1})\oplus J_{a_{2}}(\lambda _{2})\oplus \cdots \oplus J_{a_{n}}(\lambda _{n})}$,

${\displaystyle \mathrm {e} ^{J}}$	${\displaystyle =\exp \left(J_{a_{1}}(\lambda _{1})\oplus J_{a_{2}}(\lambda _{2})\oplus \cdots \oplus J_{a_{n}}(\lambda _{n})\right)}$
	${\displaystyle =\exp \left(J_{a_{1}}(\lambda _{1})\right)\oplus \exp \left(J_{a_{2}}(\lambda _{2})\right)\oplus \cdots \oplus \exp \left(J_{a_{k}}(\lambda _{k})\right)}$.

En conséquence, il faut seulement connaître la méthode pour calculer l'exponentielle d'un bloc de Jordan. Chacun est de la forme

${\displaystyle J_{a}(\lambda )=\lambda I+N}$

où N est une matrice nilpotente. L'exponentielle du bloc est donnée par

${\displaystyle \mathrm {e} ^{\lambda I+N}=\mathrm {e} ^{\lambda }\mathrm {e} ^{N}}$.

Soit la matrice

${\displaystyle B={\begin{pmatrix}21&17&6\\-5&-1&-6\\4&4&16\end{pmatrix}}}$

qui a la forme de Jordan

${\displaystyle J=P^{-1}BP={\begin{pmatrix}4&0&0\\0&16&1\\0&0&16\end{pmatrix}}}$

et la matrice de passage

${\displaystyle P={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{4}}&2&{\frac {5}{4}}\\{\frac {1}{4}}&-2&-{\frac {1}{4}}\\0&4&0\end{pmatrix}}}$,

d'inverse

${\displaystyle P^{-1}={\begin{pmatrix}1&5&2\\0&0&{\frac {1}{4}}\\1&1&0\end{pmatrix}}}$.

Maintenant,

${\displaystyle J=J_{1}(4)\oplus J_{2}(16)\qquad {\text{et}}\qquad \mathrm {e} ^{B}=P\mathrm {e} ^{J}P^{-1}=P\left(\mathrm {e} ^{J_{1}(4)}\oplus \mathrm {e} ^{J_{2}(16)}\right)P^{-1}}$.

L'exponentielle de la matrice 1×1 J₁(4) = [4] est simplement la matrice 1×1 [e⁴].

L'exponentielle de la matrice 2×2 J₂(16) peut se calculer par la formule e^λI+N = e^λ e^N mentionnée ci-dessus ; on obtient

${\displaystyle \exp \left(16I+{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right)=\mathrm {e} ^{16}\left({\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}+{1 \over 2!}{\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}+\cdots \right)={\begin{pmatrix}\mathrm {e} ^{16}&\mathrm {e} ^{16}\\0&\mathrm {e} ^{16}\end{pmatrix}}}$,

d'où

${\displaystyle \mathrm {e} ^{B}=P{\begin{pmatrix}\mathrm {e} ^{4}&0&0\\0&\mathrm {e} ^{16}&\mathrm {e} ^{16}\\0&0&\mathrm {e} ^{16}\end{pmatrix}}P^{-1}={1 \over 4}{\begin{pmatrix}13\mathrm {e} ^{16}-\mathrm {e} ^{4}&13\mathrm {e} ^{16}-5\mathrm {e} ^{4}&2\mathrm {e} ^{16}-2\mathrm {e} ^{4}\\-9\mathrm {e} ^{16}+\mathrm {e} ^{4}&-9\mathrm {e} ^{16}+5\mathrm {e} ^{4}&-2\mathrm {e} ^{16}+2\mathrm {e} ^{4}\\16\mathrm {e} ^{16}&16\mathrm {e} ^{16}&4\mathrm {e} ^{16}\end{pmatrix}}}$.

Une des premières applications de l'exponentielle de matrices est la résolution des équations différentielles ordinaires. En effet, de l'équation ci-dessus, on déduit que la solution de :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}y(t)=Ay(t),\quad y(0)=y_{0}}$,

où A est une matrice, est donnée par

${\displaystyle y(t)=\mathrm {e} ^{At}y_{0}}$.

L'exponentielle d'une matrice peut aussi servir à résoudre les équations non homogènes :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}y(t)=Ay(t)+b(t),\quad y(0)=y_{0}}$.

En multipliant par e^−At, nous avons

${\displaystyle \mathrm {e} ^{-At}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}y(t)-\mathrm {e} ^{-At}Ay(t)=\mathrm {e} ^{-At}b}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathrm {e} ^{-At}y)=\mathrm {e} ^{-At}b}$.

La résolution du système se ramène donc au calcul de e^At.

Il n'existe pas de solution explicite pour les équations différentielles de la forme :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}y(t)=A(t)\,y(t),\quad y(0)=y_{0}}$

où A n'est pas constant, mais le développement de Magnus (en) donne la solution sous la forme d'une somme infinie.

Soit le système

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x'&=&2x&-y&+z\\y'&=&&3y&-z\\z'&=&2x&+y&+3z.\end{matrix}}\right.}$

La matrice associée est

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{pmatrix}}}$

et son exponentielle est

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {e} ^{tM}&={\begin{pmatrix}-1&1&1\\1&0&-1\\1&-1&1\end{pmatrix}}\left(\mathrm {e} ^{tJ_{2}(2)}\oplus \mathrm {e} ^{tJ_{1}(4)}\right){\begin{pmatrix}1/2&1&1/2\\1&1&0\\1/2&0&1/2\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}(\mathrm {e} ^{2t}(1-2t)+\mathrm {e} ^{4t})/2&-t\mathrm {e} ^{2t}&(-\mathrm {e} ^{2t}+\mathrm {e} ^{4t})/2\\(\mathrm {e} ^{2t}(1+2t)-\mathrm {e} ^{4t})/2&\mathrm {e} ^{2t}(1+t)&(\mathrm {e} ^{2t}-\mathrm {e} ^{4t})/2\\(\mathrm {e} ^{2t}(-1+2t)+\mathrm {e} ^{4t})/2&t\mathrm {e} ^{2t}&(\mathrm {e} ^{2t}+\mathrm {e} ^{4t})/2\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

La solution générale du système est donc

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\frac {C_{1}}{2}}{\begin{pmatrix}\mathrm {e} ^{2t}(1-2t)+\mathrm {e} ^{4t}\\\mathrm {e} ^{2t}(1+2t)-\mathrm {e} ^{4t}\\\mathrm {e} ^{2t}(-1+2t)+\mathrm {e} ^{4t}\end{pmatrix}}+C_{2}{\begin{pmatrix}-t\mathrm {e} ^{2t}\\\mathrm {e} ^{2t}(1+t)\\t\mathrm {e} ^{2t}\end{pmatrix}}+{\frac {C_{3}}{2}}{\begin{pmatrix}-\mathrm {e} ^{2t}+\mathrm {e} ^{4t}\\\mathrm {e} ^{2t}-\mathrm {e} ^{4t}\\\mathrm {e} ^{2t}+\mathrm {e} ^{4t}\end{pmatrix}}}$

c'est-à-dire, en posant ${\displaystyle a=C_{1}/2}$, ${\displaystyle b=C_{2}}$ et ${\displaystyle c=C_{3}/2}$ :

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a(\mathrm {e} ^{2t}(1-2t)+\mathrm {e} ^{4t})-bt\mathrm {e} ^{2t}+c(-\mathrm {e} ^{2t}+\mathrm {e} ^{4t})\\y&=a(\mathrm {e} ^{2t}(1+2t)-\mathrm {e} ^{4t})+b\mathrm {e} ^{2t}(1+t)+c(\mathrm {e} ^{2t}-\mathrm {e} ^{4t})\\z&=a(\mathrm {e} ^{2t}(-1+2t)+\mathrm {e} ^{4t})+bt\mathrm {e} ^{2t}+c(\mathrm {e} ^{2t}+\mathrm {e} ^{4t}).\end{aligned}}}$

Pour une équation non homogène, on peut utiliser une méthode semblable à la variation de la constante.

Nous cherchons une solution de la forme y_p(t) = exp(tA)z(t) :

${\displaystyle \mathbf {y} _{p}'=(\mathrm {e} ^{tA})'\mathbf {z} (t)+\mathrm {e} ^{tA}\mathbf {z} '(t)=A\mathrm {e} ^{tA}\mathbf {z} (t)+\mathrm {e} ^{tA}\mathbf {z} '(t)=A\mathbf {y} _{p}(t)+\mathrm {e} ^{tA}\mathbf {z} '(t)}$

Avec y_p comme solution :

${\displaystyle \mathrm {e} ^{tA}\mathbf {z} '(t)=\mathbf {b} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {z} '(t)=(\mathrm {e} ^{tA})^{-1}\mathbf {b} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {z} (t)=\int _{0}^{t}\mathrm {e} ^{-uA}\mathbf {b} (u)\,\mathrm {d} u+\mathbf {c} }$.

Alors,

${\displaystyle \mathbf {y} _{p}=\mathrm {e} ^{tA}\int _{0}^{t}\mathrm {e} ^{-uA}\mathbf {b} (u)\,\mathrm {d} u+\mathrm {e} ^{tA}\mathbf {c} =\int _{0}^{t}\mathrm {e} ^{(t-u)A}\mathbf {b} (u)\,\mathrm {d} u+\mathrm {e} ^{tA}\mathbf {c} }$

où c dépend des conditions initiales.

Soit le système

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x'&=&2x&-y&+z&+\mathrm {e} ^{2t}\\y'&=&&3y&-1z&\\z'&=&2x&+y&+3z&+\mathrm {e} ^{2t}.\end{matrix}}\right.}$

Nous avons donc

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{pmatrix}}\qquad {\text{et}}\qquad \mathbf {b} =\mathrm {e} ^{2t}{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}}$.

Comme auparavant, la somme de la solution homogène et de la solution particulière donne la solution générale. La solution homogène étant connue, il suffit de trouver la solution particulière.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}&=\mathrm {e} ^{t}\int _{0}^{t}\mathrm {e} ^{-uA}{\begin{pmatrix}\mathrm {e} ^{2u}\\0\\\mathrm {e} ^{2u}\end{pmatrix}}\,\mathrm {d} u+e^{tA}\mathbf {c} \\&=\mathrm {e} ^{t}\int _{0}^{t}{\begin{pmatrix}2\mathrm {e} ^{u}-2u\mathrm {e} ^{2u}&-2u\mathrm {e} ^{2u}&0\\\\-2\mathrm {e} ^{u}+2(u+1)\mathrm {e} ^{2u}&2(u+1)\mathrm {e} ^{2u}&0\\\\2u\mathrm {e} ^{2u}&2u\mathrm {e} ^{2u}&2\mathrm {e} ^{u}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {e} ^{2u}\\0\\\mathrm {e} ^{2u}\end{pmatrix}}\,\mathrm {d} u+\mathrm {e} ^{tA}\mathbf {c} \\&=\mathrm {e} ^{t}\int _{0}^{t}{\begin{pmatrix}\mathrm {e} ^{2u}(2\mathrm {e} ^{u}-2u\mathrm {e} ^{2u})\\\\\mathrm {e} ^{2u}(-2\mathrm {e} ^{u}+2(1+u)\mathrm {e} ^{2u})\\\\2\mathrm {e} ^{3u}+2u\mathrm {e} ^{4u}\end{pmatrix}}\,\mathrm {d} u+\mathrm {e} ^{tA}\mathbf {c} \\&=\mathrm {e} ^{t}{\begin{pmatrix}-{1 \over 24}\mathrm {e} ^{3t}(3\mathrm {e} ^{t}(4t-1)-16)\\\\{1 \over 24}\mathrm {e} ^{3t}(3\mathrm {e} ^{t}(4t+4)-16)\\\\{1 \over 24}\mathrm {e} ^{3t}(3\mathrm {e} ^{t}(4t-1)-16)\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}2\mathrm {e} ^{t}-2t\mathrm {e} ^{2t}&-2t\mathrm {e} ^{2t}&0\\\\-2\mathrm {e} ^{t}+2(t+1)\mathrm {e} ^{2t}&2(t+1)\mathrm {e} ^{2t}&0\\\\2t\mathrm {e} ^{2t}&2t\mathrm {e} ^{2t}&2\mathrm {e} ^{t}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

expression qui peut être simplifiée pour obtenir la solution particulière cherchée.

• (en) Roger A. Horn et Charles R. Johnson, Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1991, 607 p. (ISBN 0-521-46713-6, lire en ligne)
• Xavier Merlin, Algèbre, Ellipses, coll. « Methodix », 2007, 400 p. (ISBN 978-2-7298-9555-6 et 2-7298-9555-8)
• (en) Cleve Moler et Charles Van Loan, « Nineteen Dubious Ways to Compute the Exponential of a Matrix », SIAM Review, vol. 20, n^o 4,‎ 1978 (DOI 10.1137/1020098)
• (en) Cleve Moler et Charles Van Loan, « Nineteen Dubious Ways to Compute the Exponential of a Matrix, Twenty-Five Years Later », SIAM Review, vol. 45, n^o 1,‎ 2003 (DOI 10.1137/S00361445024180)
• (en) Roger B. Sidje, « Expokit: a software package for computing matrix exponentials », ACM TOMS, vol. 24, n^o 1,‎ mars 1998 (DOI 10.1145/285861.285868) — Code source

• Application exponentielle
• Série de Neumann