Application exponentielle

Soit G un groupe de Lie et ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ son algèbre de Lie (que l'on peut identifier à l'espace tangent à l'élément neutre de G). L'application exponentielle ${\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {g}}\to G}$ peut être définie de plusieurs façons :

• C'est l'application exponentielle d'une connexion affine canonique invariante à gauche sur G, telle que le transport parallèle soit donné par les translations à gauche.
• C'est aussi l'application exponentielle d'une connexion affine canonique invariante à droite sur G. Ces deux connexions sont en général distinctes, mais elles possèdent les mêmes géodésiques (orbites de sous-groupes à un paramètre agissant par la multiplication à gauche ou à droite), donc donnent naissance à la même application exponentielle.
• Elle est donnée par exp(X) = γ(1), où ${\displaystyle \gamma \colon \mathbb {R} \to G}$ est l'unique sous-groupe à un paramètre de G dont le vecteur tangent à l'identité est égal à X. On déduit aisément de la règle de dérivation des fonctions composées que exp(tX) = γ(t). L'application γ peut être construite comme courbe intégrale du champ de vecteurs (invariant à gauche ou à droite) associé à X. Le fait que la courbe intégrale existe pour toutes les valeurs (réelles) du paramètre résulte, par translation gauche ou droite, de son existence près de zéro.
• Si G est un groupe de matrices, alors l'application exponentielle coïncide avec l'exponentielle de matrices, et est donné par le développement en série usuel :

${\displaystyle \exp(X)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {X^{k}}{k!}}=I+X+{\frac {1}{2}}X^{2}+{\frac {1}{6}}X^{3}+\cdots }$

(où I est la matrice identité).

• Si G est compact, il a une métrique riemannienne invariante par translations gauche et droite, et l'application exponentielle est aussi l'application exponentielle de cette métrique.

• Le cercle unité centré en 0 du plan complexe est un groupe de Lie (appelé le groupe du cercle, et noté T ; c'est le sous-groupe multiplicatif des complexes de module 1) dont l'espace tangent en 1 peut être identifié avec l'axe des imaginaires purs, ${\displaystyle \{it:t\in \mathbb {R} \}.}$ L'application exponentielle de ce groupe est donnée par ${\displaystyle it\mapsto \exp(it)=e^{it},\,}$ c'est-à-dire par l'exponentielle complexe.

• Dans le plan des nombres complexes déployés ${\displaystyle z=x+y\jmath ,\quad \jmath ^{2}=+1,}$ la ligne imaginaire ${\displaystyle \lbrace \jmath t:t\in \mathbb {R} \rbrace }$ représente l'algèbre de Lie du groupe hyperbolique ${\displaystyle \lbrace \cosh t+\jmath \ \sinh t:t\in \mathbb {R} \rbrace }$, puisque l'application exponentielle est donnée par

  ${\displaystyle \jmath t\mapsto \exp(\jmath t)=\cosh t+\jmath \ \sinh t.}$

• La 3-sphère unité S³, centrée en 0 dans l'espace des quaternions H est un groupe de Lie (isomorphe au groupe spécial unitaire SU(2)) dont l'espace tangent en 1 peut être identifié à l'espace des quaternions imaginaires purs, ${\displaystyle \{it+ju+kv:t,u,v\in \mathbb {R} \}.}$ L'application exponentielle de ce groupe de Lie est donnée par

  ${\displaystyle \mathbf {w} =(it+ju+kv)\mapsto \exp(it+ju+kv)=\cos(|\mathbf {w} |)+\sin(|\mathbf {w} |){\frac {\mathbf {w} }{|\mathbf {w} |}}.\,}$

Cette application envoie la 2-sphère de rayon R de l'ensemble des quaternions imaginaires purs vers ${\displaystyle \{s\in S^{3}\subset \mathbf {H}$ :\operatorname {Re} (s)=\cos(R)\}=} une 2-sphère de rayon sin(R) si ${\displaystyle R\not \equiv 0{\pmod {2\pi }}}$.

• Pour tous les ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$, l'application γ(t) = exp(tX) est le seul sous-groupe à un paramètre de G dont le vecteur tangent à l'identité est X. Il en résulte que :

${\displaystyle \exp(t+s)X=(\exp tX)(\exp sX)}$

${\displaystyle \exp(-X)=(\exp X)^{-1}.}$

• L'application exponentielle ${\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {g}}\to G}$ est différentiable. Sa dérivée en 0, ${\displaystyle \exp _{*}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$, est l'application identité (avec les identifications usuelles). L'application exponentielle, par conséquent, a une restriction qui est un difféomorphisme d'un voisinage de 0 dans ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ vers un voisinage de 1 dans G.
• L'image de l'application exponentielle est toujours contenue dans la composante connexe de l'identité de G.
  • Quand G est compact, l'application exponentielle est surjective sur cette composante.
  • Quand G est nilpotent et connexe, l'application exponentielle est un difféomorphisme local surjectif[2], et même un difféomorphisme global si G est de plus simplement connexe.
  • Pour ${\displaystyle G=\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$, l'application exponentielle est surjective (cf. « Logarithme d'une matrice »).
  • Pour ${\displaystyle G=\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ (connexe et simplement connexe), l'application exponentielle n'est pas surjective[3].
• L'application γ(t) = exp(tX) est la courbe intégrale passant par l'identité pour les deux champs de vecteurs (invariants à droite et à gauche) associés à X.
• La courbe intégrale passant par g ∈ G de X^L, le champ de vecteurs invariant à gauche associé à X est donnée par g exp(tX). De même, celle du champ invariant à droite X^R est donnée par exp(tX) g. Il en résulte que les flots ${\displaystyle \xi ^{L,R}}$ engendrés par les champs X^{L , R} sont donnés par :
  • ${\displaystyle \xi _{t}^{L}=R_{\exp tX}}$
  • ${\displaystyle \xi _{t}^{R}=L_{\exp tX}.}$

Comme ces champs sont définis globalement, tout champ de vecteurs invariant à droite ou à gauche sur G est complet.

• Soit ${\displaystyle \varphi \colon G\to H}$ un homomorphisme de groupes de Lie, et soit ${\displaystyle \varphi _{*}}$ sa dérivée en l'identité. Alors le diagramme ci-dessous commute :

• En particulier, appliqué à l'action adjointe d'un groupe G, nous avons

${\displaystyle g(\exp X)g^{-1}=\exp(\mathrm {Ad} _{g}X)}$

${\displaystyle \mathrm {Ad} _{\exp X}=\exp(\mathrm {ad} _{X}).}$

De façon intuitive, l'application exponentielle prend un vecteur tangent à la variété, et parcourt la géodésique issue de ce point et dans cette direction pendant une unité de temps. Comme v correspond au vecteur-vitesse sur la géodésique, la distance (riemannienne) réellement franchie en dépendra. Reparamétrant les géodésiques pour qu'elles soient parcourues à vitesse unitaire (paramétrage par la longueur de l'arc), on peut définir exp_p(v) = β(|v|), où β est la géodésique dans la direction de v. Quand v varie, on obtient, en appliquant exp_p, différents points de M qui sont équidistants (pour la métrique) du point de base p ; c'est peut-être une des façons les plus concrètes de voir que l'espace tangent est une sorte de "linéarisation" de la variété.

Le théorème de Hopf-Rinow affirme qu'il est possible de définir l'application exponentielle sur tout l'espace tangent si et seulement si la variété est complète en tant qu'espace métrique (ce qui justifie l'expression de variété géodésiquement complète pour une variété ayant une application exponentielle de ce type). En particulier, les variétés compactes sont géodésiquement complètes. Cependant, même si exp_p est définie sur tout l'espace tangent, ce ne sera pas en général un difféomorphisme global. Toutefois, sa différentielle à l'origine de l'espace tangent est l'application identité, et donc, d'après le théorème des fonctions implicites, on peut trouver un voisinage de l'origine de T_pM dans lequel l'application exponentielle est un plongement (autrement dit, l'application exponentielle est un difféomorphisme local). Le rayon de la plus grande boule centrée en l'origine de T_pM qui s'applique difféomorphiquement par exp_p s'appelle le rayon d'injectivité de M en p.

Une importante propriété de l'application exponentielle est le lemme de Gauss suivant : étant donné un vecteur tangent v dans le domaine de définition de exp_p, et un autre vecteur w basé à l'extrémité de v (ainsi w est en fait dans l'espace tangent de l'espace tangent T_v(T_pM)) et orthogonal à v, il reste orthogonal à v lorsqu'il est poussé par l'application exponentielle. Cela signifie en particulier, que la sphère frontière d'une petite boule autour de l'origine de T_pM est orthogonale aux géodésiques dans M déterminées par ces vecteurs (autrement dit, les géodésiques sont radiales). Ceci amène à la définition des coordonnées géodésiques normales sur une variété riemannienne.

L'application exponentielle est aussi un outil utile pour relier la définition abstraite de la courbure (en) à sa représentation plus concrète due à Riemann lui-même, la courbure sectionnelle, que l'on peut intuitivement définir comme la courbure de Gauss d'une certaine surface (c'est-à-dire une coupe de la variété par une sous-variété de dimension 2) passant par le point p considéré. La courbure abstraite peut être alors définie précisément comme la courbure de Gauss d'une surface passant par p, déterminée par l'image par exp_p d'un sous-espace de dimension 2 de T_pM.

• Équation fonctionnelle
• Équation fonctionnelle de Cauchy, § « Importance de l'équation »
• Formule de Baker-Campbell-Hausdorff

• (en) Dragomir Z. Djokovic et Karl H. Hofmann, « The surjectivity question for the exponential function of real Lie groups: A status report », Journal of Lie Theory, vol. 7,‎ 1997, p. 171-199 (lire en ligne)
• (en) Karl Heinrich Hofmann et Wolfgang Ruppert, Lie Groups and Subsemigroups with Surjective Exponential Function, AMS, 1997 (lire en ligne)