Rappelons que
![T_{v}\exp _{p}:T_{p}M\cong T_{v}T_{p}M\supset T_{v}B_{\epsilon }(0)\longrightarrow T_{q}M.](https://img.franco.wiki/i/4299f50363b242c4140ac37b86a973ccedcc96c6.svg)
Nous procédons en trois étapes :
: construisons une courbe :\mathbb {R} \supset I\rightarrow T_{p}M}
telle que
,
et
. Comme
, on peut poser
. Alors,
![T_{v}\exp _{p}(v)={\frac {{\mathrm d}}{{\mathrm d}t}}{\Bigl (}\exp _{p}\circ \alpha (t){\Bigr )}{\Big \vert }_{{t=0}}={\frac {{\mathrm d}}{{\mathrm d}t}}\gamma (t,p,v){\Big \vert }_{{t=0}}=v.](https://img.franco.wiki/i/8e11523fb13984bfdd79631ee780e1017c9ca952.svg)
Calculons maintenant le produit scalaire
.
Décomposons
en une composante
tangente à
et une composante
normale à
. En particulier, posons
,
.
L'étape précédente implique alors directement :
![\langle T_{v}\exp _{p}(v),T_{v}\exp _{p}(w)\rangle =\langle T_{v}\exp _{p}(v),T_{v}\exp _{p}(w_{T})\rangle +\langle T_{v}\exp _{p}(v),T_{v}\exp _{p}(w_{N})\rangle =\alpha \langle T_{v}\exp _{p}(v),T_{v}\exp _{p}(v)\rangle +\langle T_{v}\exp _{p}(v),T_{v}\exp _{p}(w_{N})\rangle =\langle v,w_{T}\rangle +\langle T_{v}\exp _{p}(v),T_{v}\exp _{p}(w_{N})\rangle .](https://img.franco.wiki/i/6dcb5a4dda210c73167c34f5e3ae0040a50975ce.svg)
Il faut donc montrer que le second terme est nul, car, selon le lemme de Gauss, on devrait avoir
![\langle T_{v}\exp _{p}(v),T_{v}\exp _{p}(w_{N})\rangle =\langle v,w_{N}\rangle =0.](https://img.franco.wiki/i/8a2751367f00f4afa68999d7388262c7ad619f52.svg)
:
définissons la courbe
- :]-\epsilon ,\epsilon [\times [0,1]\longrightarrow T_{p}M,\qquad (s,t)\longmapsto t\cdot v(s),}
![\alpha :]-\epsilon ,\epsilon [\times [0,1]\longrightarrow T_{p}M,\qquad (s,t)\longmapsto t\cdot v(s),](https://img.franco.wiki/i/23733997c8720a12eadb854dcdab7b28c419fb21.svg)
avec
et
. On remarque au passage que
![\alpha (0,1)=v(0)=v,\qquad {\frac {\partial \alpha }{\partial t}}(0,t)=v(0)=v,\qquad {\frac {\partial \alpha }{\partial s}}(0,t)=tw_{N}.](https://img.franco.wiki/i/1fa24153a1d1f6e7b2a3c26d6af99ff45721f7d3.svg)
Posons alors
![f:]-\epsilon ,\epsilon [\times [0,1]\longrightarrow M,\qquad (s,t)\longmapsto \exp _{p}(t\cdot v(s)),](https://img.franco.wiki/i/178afdec23dea9a592ca4f8db3e4d1b04793716b.svg)
et calculons :
![T_{v}\exp _{p}(v)=T_{{\alpha (0,1)}}\exp _{p}\left({\frac {\partial \alpha }{\partial t}}(0,1)\right)={\frac {\partial }{\partial t}}{\Bigl (}\exp _{p}\circ \alpha (s,t){\Bigr )}{\Big \vert }_{{t=1,s=0}}={\frac {\partial f}{\partial t}}(0,1)](https://img.franco.wiki/i/c8e0f4cbbb0bb884fbdd65673c68cb7a242bf26b.svg)
et
![T_{v}\exp _{p}(w_{N})=T_{{\alpha (0,1)}}\exp _{p}\left({\frac {\partial \alpha }{\partial s}}(0,1)\right)={\frac {\partial }{\partial s}}{\Bigl (}\exp _{p}\circ \alpha (s,t){\Bigr )}{\Big \vert }_{{t=1,s=0}}={\frac {\partial f}{\partial s}}(0,1).](https://img.franco.wiki/i/395e02c24c0ce5dc3bf65169d5f015515cee62bd.svg)
Donc,
![\langle T_{v}\exp _{p}(v),T_{v}\exp _{p}(w_{N})\rangle =\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial s}}\rangle (0,1).](https://img.franco.wiki/i/488306c099abc8962703e60cd76b899910fe20bc.svg)
On va vérifier maintenant que ce produit scalaire est en fait indépendant de la variable t, et donc que, par exemple,
![\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial s}}\rangle (0,1)=\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial s}}\rangle (0,0)=0,](https://img.franco.wiki/i/42bc2c5f238d894d9c0678815b66dde08ec0311c.svg)
car, selon ce qui a été donné plus haut,
![\lim _{{t\rightarrow 0}}{\frac {\partial f}{\partial s}}(t,0)=\lim _{{t\rightarrow 0}}T_{{tv}}\exp _{p}(tw_{N})=0](https://img.franco.wiki/i/768a3de0156331951d34550c51762b690a7ddd9f.svg)
étant donné que la différentielle est une application linéaire. Ceci prouverait alors le lemme.
- On vérifie que
: c'est du calcul direct. En effet, on prend d'abord conscience du fait que les applications
sont des géodésiques, i.e.
. Alors,
![{\frac {\partial }{\partial t}}\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial s}}\rangle =\langle \underbrace {{\frac {D}{\partial t}}{\frac {\partial f}{\partial t}}}_{{=0}},{\frac {\partial f}{\partial s}}\rangle +\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {D}{\partial t}}{\frac {\partial f}{\partial s}}\rangle =\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {D}{\partial s}}{\frac {\partial f}{\partial t}}\rangle ={\frac {\partial }{\partial s}}\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial t}}\rangle -\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {D}{\partial s}}{\frac {\partial f}{\partial t}}\rangle .](https://img.franco.wiki/i/1c9c5480fd6dd4d5b94a94971b86a5cc0441204c.svg)
Donc, en particulier,
![0={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial s}}\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial t}}\rangle =\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {D}{\partial s}}{\frac {\partial f}{\partial t}}\rangle ={\frac {\partial }{\partial t}}\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial s}}\rangle ,](https://img.franco.wiki/i/c3fa85db817352e3c28e5ce248d1f7c536b166b5.svg)
car on a
.