Nombre complexe déployé

Un nombre complexe déployé est de la forme :

${\displaystyle z=x+j\cdot y\,}$

où x et y sont des nombres réels et la quantité j définie par (voir les Tessarines) :

${\displaystyle j^{2}=+1\,}$

L'ensemble de tous ces z est appelé le plan complexe déployé. L'addition et la multiplication des nombres complexes déployés sont définies par

${\displaystyle (x+j\cdot y)+(u+j\cdot v)=(x+u)+j\cdot (y+v)\,}$

${\displaystyle (x+j\cdot y)(u+j\cdot v)=(xu+yv)+j\cdot (xv+yu)\,}$

Cette multiplication est commutative, associative et distributive sur l'addition.

L'ensemble des points z tels que ${\displaystyle z:\lVert z\rVert =a^{2}\,}$ est une hyperbole pour tout a de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ différent de zéro. L'hyperbole est constitué d'une branche gauche et droite passant par a et - a. Le cas a = 1 est appelé l'hyperbole unité. L'hyperbole conjuguée est donnée par

${\displaystyle z:\lVert z\rVert =-a^{2}\,}$

avec une branche supérieure et inférieure passant par ja et - ja. L'hyperbole et l'hyperbole conjuguée sont séparées par deux asymptotes diagonales qui forment l'ensemble des éléments nuls :

${\displaystyle z:\lVert z\rVert =0\,}$

Ces deux droites (parfois appelées le cône nul) sont perpendiculaires et ont des pentes de ${\displaystyle \pm 1\,}$.

L'analogue de la formule d'Euler pour les nombres complexes déployés est

${\displaystyle e^{(j\cdot \theta )}=\cosh(\theta )+j\cdot \sinh(\theta )\,}$

Ceci peut être déduit du développement en série de puissances utilisant le fait que cosh a seulement des puissances paires tandis que sinh a des puissances impaires. Pour toutes les valeurs réelles de l'angle hyperbolique ${\displaystyle \theta \,}$, le nombre complexe déployé ${\displaystyle \lambda =e^{(j\cdot \theta )}}$ est de norme 1 et est lié à la branche droite de l'hyperbole unité.

Puisque ${\displaystyle \lambda \,}$ est de norme 1, en multipliant tout nombre complexe déployé z par ${\displaystyle \lambda \,}$, la norme de z est préservée et représente une rotation hyperbolique (aussi appelée une transformation de Lorentz). En multipliant par ${\displaystyle \lambda \,}$ la structure géométrique est préservée, prenant les hyperboles par elles-mêmes et le cône nul par lui-même.

L'ensemble de toutes les transformations du plan complexe déployé qui préserve la norme (ou de manière équivalente, le produit interne) forme un groupe appelé le groupe orthogonal généralisé O(1, 1). Ce groupe est constitué des rotations hyperboliques - qui forme un sous-groupe noté ${\displaystyle SO^{+}(1,1)\,}$ - combiné avec quatre réflexions discrètes données par

${\displaystyle z\mapsto \pm z}$ et ${\displaystyle z\mapsto \pm z^{*}}$.

L'application exponentielle

${\displaystyle \exp$ :\mathbb {R} \rightarrow SO^{+}(1,1)\,}

qui associe ${\displaystyle \theta \,}$ à une rotation hyperbolique par ${\displaystyle e^{(j\cdot \theta )}}$ est un isomorphisme de groupes puisque la formule usuelle des exponentielles s'applique :

${\displaystyle e^{j(\theta +\phi )}=e^{j\theta }e^{j\phi }\,}$

En termes d'algèbre générale, les nombres complexes déployés peuvent être décrits comme le quotient de l'anneau polynomial ${\displaystyle \mathbb {R} [X]\,}$ par l'idéal engendré par le polynôme formel ${\displaystyle X^{2}-1\,}$,

${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2}-1)\,}$.

L'image de X dans l'anneau quotient ainsi construit est l'unité imaginaire j. Avec cette description, il est clair que les nombres complexes déployés forment un anneau commutatif de caractéristique 0. De plus, si nous définissons une multiplication scalaire de manière évidente, les nombres complexes déployés forment une algèbre associative et commutative de dimension deux sur les nombres réels. L'algèbre n'est pas un corps puisque les éléments nuls ne sont pas inversibles. En fait, tous les éléments nuls différents de zéro sont des diviseurs de zéro. Puisque l'addition et la multiplication sont des opérations continues en respectant la topologie usuelle du plan, les nombres complexes déployés forment un anneau topologique.

Les nombres complexes déployés ne forment pas une algèbre normée dans le sens usuel du mot puisque la « norme » n'est pas définie positivement. Néanmoins, si on étend la définition pour inclure les normes de signature générale, ils forment une telle algèbre. Ceci s'ensuit du fait suivant

${\displaystyle \lVert zw\rVert =\lVert z\rVert \lVert w\rVert \,}$

Pour un exposé sur les algèbres normées de signatures générales, voir la référence par Harvey.

Les nombres complexes déployés sont un cas particulier d'une algèbre de Clifford. Nommément, ils forment une algèbre de Clifford sur un espace vectoriel à une dimension avec une forme quadratique définie négativement. Comparer ceci avec les nombres complexes qui forment une algèbre de Clifford sur un espace vectoriel à une dimension avec une forme quadratique définie positivement. (NB : certains auteurs permutent les signes dans la définition d'une algèbre de Clifford ce qui interchangera le sens de définie positivement et de définie négativement).

Comme dans le cas des nombres complexes (usuels), on peut facilement représenter les nombres complexes déployés par les matrices. Le nombre complexe déployé

${\displaystyle z=x+j\cdot y=1\cdot x+j\cdot y\,}$

peut être représenté par la matrice

${\displaystyle z\mapsto {\begin{bmatrix}x&y\\y&x\end{bmatrix}}}$

car

${\displaystyle 1\mapsto {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$

et

${\displaystyle j\mapsto {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}}$

L'addition et la multiplication des nombres complexes déployés sont alors donnés par l'addition et la multiplication matricielle. La norme de z est donnée par le déterminant de la matrice correspondante. La conjugaison complexe déployée correspond à la multiplication des deux côtés par la matrice

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$

La rotation hyperbolique par ${\displaystyle e^{(j\cdot \theta )}\,}$ correspond à la multiplication par la matrice

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cosh \theta &\sinh \theta \\\sinh \theta &\cosh \theta \end{bmatrix}}}$

En travaillant dans la base diagonale, cela nous conduit à la représentation matricielle diagonale

${\displaystyle z\mapsto {\begin{bmatrix}x-y&0\\0&x+y\end{bmatrix}}}$

Les rotations hyperboliques dans cette base correspond à la multiplication par

${\displaystyle {\begin{bmatrix}e^{-\theta }&0\\0&e^{\theta }\end{bmatrix}}}$

qui montre qu'elles sont des applications encadrantes.

L'usage des nombres complexes déployés remonte à 1848 lorsque James Cockle exposa ses Tessarines. William Kingdon Clifford utilisa les nombres complexes déployés pour représenter les sommes de spins en 1882. Clifford appela les éléments « motors ».

Dans le vingtième siècle, les nombres complexes déployés devinrent une plateforme commune pour décrire les transformations de Lorentz de la relativité restreinte, dans un espace-temps plat car un changement de vitesse entre des cadres de référence est élégamment exprimé par une rotation hyperbolique.

En 1935, J.C. Vignaux et A. Duranona y Vedia développèrent l'algèbre et la théorie des fonctions géométriques complexes déployées dans quatre articles dans Contribucion a las Ciencias Fisicas y Matematicas, Universidad Nacional de La Plata, Republica Argentina (en espagnol).

Plus récemment, le plan des nombres complexes déployés a été exploité pour exprimer des idées mathématiques, des requêtes et des fonctions. C'est un pont important entre une structure comme le plan complexe ordinaire et le caractère exotique des créations modernes.

• (Réel) Tessarines James Cockle 1848
• (Algébrique) motors W.K. Clifford 1882
• numeros complejos hiperbolicos J.C. Vignaux 1935
• double nombres I.M. Yaglom 1965 et Hazewinkle 1990
• anormal-complex Zahlen W. Benz 1973
• nombres perplexes P. Fjelstad 1986
• nombres de Lorentz F.R. Harvey 1990
• nombres complexes hyperboliques G. Sobczyk 1995
• nombres complexes déployés B. Rosenfeld 1997

• Espace de Minkowski
• Groupe de Lorentz
• Algèbre de Clifford
• Coquaternion

• Benz, W. (1973)Vorlesungen uber Geometrie der Algebren, Springer
• Cockle, James (1848) « A New Imaginary in Algebra », London-Edinburgh-Dublin Philosophical Magazine (3) 33:345-9.
• Fjelstadt, P. (1986)"Extending Special Relativity with Perplex Numbers", American Journal of Physics 54:416.
• F. Reese Harvey. Spinors and calibrations. Academic Press, San Diego. 1990. (ISBN 0-12-329650-1). Contains a description of normed algebras in indefinite signature, including the Lorentz numbers.
• Hazewinkle, M. (1990) editor Encyclopaedia of Mathematics Soviet/AMS/Kluyer, Dordrect.
• Literature review: The Motor Plane D
• Rosenfeld, B. (1997) Geometry of Lie Groups Kluwer Academic Pub.

• Sobczyk, G.(1995) Hyperbolic Number Plane (PDF)

• Clifford, W.K., Mathematical Works (1882) edited by A.W.Tucker, pp.392-4, « Further Notes on Biquaternions »
• Vignaux, J.(1935) « Sobre el número complejo hiperbólico y su relación con la geometría de Borel », Contribución al Estudio de las Ciencias Físicas y Matemáticas, Universidad Nacional de la Plata, República Argentina.