Rotation hyperbolique

Les points initiaux sont alignés sur la droite d'équation y = x, leurs images par R_a le sont sur la droite d'équation y = a² x

Dans le cas d'un repère dont les axes sont les asymptotes des hyperboles considérées, l'équation d'une telle hyperbole est xy = q, et une rotation hyperbolique est une transformation linéaire du plan ${\displaystyle R_{a}:(x;y)\longmapsto \left({\frac {x}{a}};a.y\right)}$, avec ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{\star }}$.

L'ensemble de ces rotations hyperboliques, avec la loi de composition est ${\displaystyle R_{a}\circ R_{b}=R_{a.b}}$ et R₁ = Id, forme un groupe commutatif homéomorphe à ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\star };\times \right)}$. Comme pour toute application linéaire, l'image d'une droite est une droite, et l'image de points sur une droite placés à intervalles réguliers est un ensemble de points sur une droite et placés à intervalles réguliers. Les sous-espaces vectoriels invariants par R_a sont les asymptotes (qui sont ici les axes).
L'expression matricielle de R_a est ${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {1}{a}}&0\\0&a\end{pmatrix}}}$ ; comme son déterminant est égal à 1, une figure géométrique transformée par une rotation hyperbolique ne change pas d'aire.

Les points initiaux sont alignés sur la droite d'équation y = 0, leurs images le sont sur la droite d'équation y = tanh(α) x

Dans un repère orthonormé, cela signifie que ces hyperboles sont les images des hyperboles dont les asymptotes sont les axes, par une rotation d'angle –π/4, ce qui leur donne pour équation x² – y² = k. En utilisant cette rotation, on obtient que les rotations hyperboliques ont pour écriture matricielle

${\displaystyle {\begin{pmatrix}C&-S\\-S&C\end{pmatrix}},\ {\textrm {avec}}\ C={\frac {a+{\frac {1}{a}}}{2}}\ {\textrm {et}}\ S={\frac {a-{\frac {1}{a}}}{2}}}$.

Pour a > 0, et en posant ${\displaystyle \alpha =\ln(a)\in \mathbb {R} }$, on obtient a = e^α, C = cosh(α) et S = sinh(α), les fonctions hyperboliques habituelles.