Tessarine

Les tessarines constituent une algèbre hypercomplexe associative et commutative de dimension 4, de base (1,i,j,k) telle que i² = −1, j² = 1 et k = ij. Les unités i et j sont simplement les unités imaginaires respectives des complexes et des complexes déployés.

Les propriétés d’associativité et de commutativité permettent de déduire le reste de la table de multiplication de cette algèbre, à savoir :

• Les tessarines constituant une algèbre hypercomplexe associative, elles constituent donc un anneau unitaire.
• L’algèbre étant de plus commutative, les tessarines constituent plus précisément un anneau commutatif (à la différence des quaternions, qui constituent un anneau unitaire non commutatif).
• Les tessarines permettent les puissances, les racines et les logarithmes de j, racine non réelle de 1.
• À l’image des complexes déployés, l’anneau des tessarines contient des diviseurs de zéro, donc ne constitue pas un corps commutatif (à la différence des quaternions qui, constituant un anneau sans diviseur de zéro, constituent un corps gauche) : (1+j)(1−j) = 1−j² = 0.
• À l’image des complexes déployés, l’anneau des tessarines contient deux éléments idempotents non triviaux : [(1+j)/2]² = (1+j)/2 et [(1−j)/2]² = (1−j)/2.

Une tessarine t peut être représentée par une matrice symétrique 2 × 2 à coefficients complexes :

${\displaystyle t={\begin{pmatrix}w&z\\z&w\end{pmatrix}}\ .}$

Sous cette représentation, la base des tessarines peut s’écrire :

${\displaystyle 1={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\qquad \mathrm {i} ={\begin{pmatrix}\mathrm {i} &0\\0&\mathrm {i} \end{pmatrix}}\qquad \mathrm {j} ={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\qquad \mathrm {k} ={\begin{pmatrix}0&\mathrm {i} \\\mathrm {i} &0\end{pmatrix}}\ .}$

Soit une tessarine t = a + bi + cj + dk, avec (a, b, c, d) ∈ ℝ⁴. En fixant certains de ces coefficients réels, on peut obtenir plusieurs sous-algèbres.

L’algèbre des tessarines est isomorphe à l’algèbre des nombres bicomplexes ℂ₂ (cas particulier de nombres multicomplexes ℂ_n), de base {1,i₁,i₂,j} avec i₁ = i, i₂ = k et j_bicomplexes = −j_tessarines.

Les termes « tessarine » et « bicomplexe » sont donc souvent utilisés comme synonymes l’un de l’autre, bien qu’ayant historiquement été découverts selon des considérations différentes.