Cosinus directeur

Si v est un vecteur exprimé par l'équation suivante,

${\displaystyle {\mathbf {v} }=v_{1}{\boldsymbol {\hat {x}}}+v_{2}{\boldsymbol {\hat {y}}}+v_{3}{\boldsymbol {\hat {z}}}}$

où v₁, v₂ et v₃ sont les composantes et ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {x}}},{\boldsymbol {\hat {y}}},{\boldsymbol {\hat {z}}}}$ forment la base cartésienne, alors les cosinus directeurs sont :

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\cos a={\frac {{\mathbf {v} }\cdot {\boldsymbol {\hat {x}}}}{\left\Vert {\mathbf {v} }\right\Vert }}&={\frac {v_{1}}{\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}}},\\\beta &=\cos b={\frac {{\mathbf {v} }\cdot {\boldsymbol {\hat {y}}}}{\left\Vert {\mathbf {v} }\right\Vert }}&={\frac {v_{2}}{\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}}},\\\gamma &=\cos c={\frac {{\mathbf {v} }\cdot {\boldsymbol {\hat {z}}}}{\left\Vert {\mathbf {v} }\right\Vert }}&={\frac {v_{3}}{\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}}}.\end{aligned}}}$

où a, b et c sont les angles formés entre le vecteur et les axes ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {x}}},{\boldsymbol {\hat {y}}},{\boldsymbol {\hat {z}}}}$.

Il en découle que

${\displaystyle \cos ^{2}a+\cos ^{2}b+\cos ^{2}c=1}$

Ainsi, α, β et γ sont les composantes du vecteur unitaire ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {v}}}}$ dans la base cartésienne.

• (en) K. T. Tang, Mathematical Methods for Engineers and Scientists, vol. 2, Springer, 2006 (ISBN 3-540-30268-9), p. 13