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Multiplicateur de Fourier

En thĂ©orie de Fourier, un multiplicateur est un type d'opĂ©rateur linĂ©aire ou de transformation de fonctions. Ces opĂ©rateurs agissent sur une fonction en modifiant sa transformĂ©e de Fourier. Plus prĂ©cisĂ©ment, ils multiplient la transformĂ©e de Fourier d'une fonction par une fonction choisie connue sous le nom de multiplicateur ou symbole. Parfois, le terme opĂ©rateur multiplicateur lui-mĂȘme est simplement abrĂ©gĂ© en multiplicateur[1]. En termes simples, le multiplicateur dĂ©forme les frĂ©quences impliquĂ©es dans toute fonction. Cette classe d'opĂ©rateurs s'avĂšre large : la thĂ©orie gĂ©nĂ©rale montre qu'un opĂ©rateur invariant par translation sur un groupe qui obĂ©it Ă  certaines es conditions de rĂ©gularitĂ© (trĂšs souples) peut s'exprimer comme un opĂ©rateur multiplicateur, et inversement[2]. De nombreux opĂ©rateurs familiers, tels que les translations et la dĂ©rivation, sont des opĂ©rateurs multiplicateurs, bien qu'il existe de nombreux exemples plus compliquĂ©s tels que la transformation de Hilbert.

Dans le traitement du signal, un opérateur multiplicateur est appelé "filtre", et le multiplicateur est la réponse fréquentielle du filtre (ou fonction de transfert).

Dans un contexte plus large, les opérateurs multiplicateurs sont des cas particuliers d'opérateurs multiplicateurs spectraux, qui découlent du calcul fonctionnel d'un opérateur (ou d'une famille d'opérateurs commutants). Ce sont aussi des cas particuliers d'opérateurs pseudo-différentiels, et plus généralement d'opérateurs intégraux de Fourier. Il y a des questions naturelles dans ce domaine qui sont encore ouvertes, comme la caractérisation des opérateurs multiplicateurs bornés Lp (voir ci-dessous).

Les opérateurs multiplicateurs ne sont pas liés aux multiplicateurs de Lagrange, mis à part le fait qu'ils impliquent tous deux l'opération de multiplication.

Cet article nĂ©cessite des connaissances minimale sur la transformĂ©e de Fourier, qu'on trouvera sur l'article dĂ©diĂ©. Des informations supplĂ©mentaires importantes peuvent ĂȘtre trouvĂ©es sur les pages norme d'opĂ©rateur et espace Lp.

Exemples

Dans le cadre des fonctions pĂ©riodiques dĂ©finies sur le cercle unitĂ©, la transformĂ©e de Fourier d'une fonction est simplement la suite de ses coefficients de Fourier. Pour voir que la dĂ©rivation peut ĂȘtre rĂ©alisĂ©e en tant que multiplicateur, on considĂšre la sĂ©rie de Fourier pour la dĂ©rivĂ©e d'une fonction pĂ©riodique f(t). AprĂšs avoir utilisĂ© l'intĂ©gration par parties dans la dĂ©finition du coefficient de Fourier, on a :

.

Donc, formellement, on en déduit que la série de Fourier de la dérivée est simplement la série de Fourier de f multiplié par un facteur in . Cela revient à dire que la dérivation est un opérateur multiplicateur de facteur in.

Un exemple d'opĂ©rateur multiplicateur agissant sur des fonctions sur la ligne rĂ©elle est la transformĂ©e de Hilbert. On peut montrer que la transformĂ©e de Hilbert est un opĂ©rateur multiplicateur dont le multiplicateur est donnĂ© par la , oĂč sgn est la fonction signe.

Enfin un autre exemple important de multiplicateur est la fonction caractéristique du cube unité dans qui se pose dans l'étude des "sommes partielles" pour la transformée de Fourier.

DĂ©finition

Les opĂ©rateurs multiplicateurs peuvent ĂȘtre dĂ©finis sur tout groupe G pour lequel la transformĂ©e de Fourier est Ă©galement dĂ©finie (en particulier, sur tout groupe abĂ©lien localement compact ). La dĂ©finition gĂ©nĂ©rale est la suivante : Si est une fonction suffisamment rĂ©guliĂšre, soit dĂ©signe sa transformĂ©e de Fourier (oĂč est le dual de Pontryagin de G). Soit une autre fonction, qu'on appellera le multiplicateur. Alors l'opĂ©rateur multiplicateur T = Tm associĂ© Ă  ce symbole m est dĂ©fini par la formule

En d'autres termes, la transformĂ©e de Fourier de Tf Ă  une frĂ©quence Ο est donnĂ©e par la transformĂ©e de Fourier de f Ă  cette frĂ©quence, multipliĂ©e par la valeur du multiplicateur Ă  cette frĂ©quence, d'oĂč la terminologie de "multiplicateur".

On note que la dĂ©finition ci-dessus ne dĂ©finit que Tf implicitement ; pour rĂ©cupĂ©rer explicitement Tf, il faut calculer la transformĂ©e de Fourier inverse. Cela peut ĂȘtre facilement fait si f et m sont suffisamment lisses et intĂ©grables. L'un des problĂšmes majeurs du sujet est de dĂ©terminer, pour tout multiplicateur spĂ©cifiĂ© m, si l'opĂ©rateur multiplicateur de Fourier correspondant reste bien dĂ©fini lorsque f a une trĂšs faible rĂ©gularitĂ©, par exemple si elle est seulement dans un espace Lp (voir la section sur le "problĂšme de dĂ©limitation"). Au strict minimum, on exige gĂ©nĂ©ralement que le multiplicateur m soit bornĂ© et mesurable ; ceci est suffisant pour Ă©tablir le caractĂšre bornĂ© sur L2 mais n'est en gĂ©nĂ©ral pas assez fort pour donner un caractĂšre bornĂ© sur d'autres espaces.

On peut voir l'opérateur multiplicateur T comme la composition de trois opérateurs, à savoir la transformée de Fourier, l'opération de multiplication ponctuelle par m, puis la transformée de Fourier inverse. De maniÚre équivalente, T est la conjugaison de l'opérateur de multiplication ponctuelle par la transformée de Fourier. Ainsi, on peut considérer les opérateurs multiplicateurs comme des opérateurs diagonalisés par la transformée de Fourier.

Opérateurs multiplicateurs sur des groupes communs

On considĂšre maintenant la dĂ©finition gĂ©nĂ©rale ci-dessus Ă  des groupes spĂ©cifiques G. Dans un premier temps, on s'arrĂȘte au cercle unitaire les fonctions sur G peuvent donc ĂȘtre considĂ©rĂ©es comme des fonctions 2π-pĂ©riodiques sur la droite rĂ©elle. Dans ce groupe, le dual de Pontryagin est le groupe des entiers, La transformĂ©e de Fourier (pour des fonctions suffisamment rĂ©guliĂšres f) est donnĂ©e par

et la transformée de Fourier inverse est donnée par

Un multiplicateur dans ce cadre est simplement une suite de nombres, et l'opérateur T = Tm associé à ce multiplicateur est alors donné par la formule

au moins pour des multiplicateurs bien choisis et la fonction f.

Soit maintenant G un espace euclidien . Ici, le groupe dual est également euclidien, et les transformées de Fourier et de Fourier inverse sont données par les formules

Un multiplicateur dans ce cadre est une fonction et l'opérateur multiplicateur associé est défini par

en supposant à nouveau des hypothÚses de régularité et de délimitation suffisamment fortes sur le multiplicateur et la fonction.

Au sens des distributions, il n'y a pas de diffĂ©rence entre les opĂ©rateurs multiplicateurs et les opĂ©rateurs de convolution ; tout multiplicateur T peut aussi ĂȘtre exprimĂ© sous la forme Tf = f ∗ K pour une distribution K, connue sous le nom de noyau de convolution de T. De ce point de vue, la translation d'une quantitĂ© x0 est une convolution avec une fonction delta de Dirac ÎŽ(· − x0), la dĂ©rivation est une convolution avec ÎŽ'. D'autres exemples sont donnĂ©s supra.

Autres exemples

Sur le cercle unité

Le tableau suivant montre quelques exemples courants d'opérateurs multiplicateurs sur le cercle unitaire

Nom Multiplicateur Opérateur Noyau
Identité 1 f(t) Delta de Dirac
Multiplication par une constante c c cf(t)
Translation par s e–ins f(t − s)
DĂ©rivation in
Dérivée d'ordre k
Opérateur différentiel polynomial à coefficients constants
Dérivée fractionnaire d'ordre
Moyenne 1
Signal centré
Intégration (d'un signal centré) Signal en dents de scie
TransformĂ©e de Hilbert H d'un signal 2π-pĂ©riodique
Somme de Dirichlet Noyau de Dirichlet
Somme de Fejér Noyau de Fejér
Multiplicateur général
Opérateur de convolution général

Sur l'espace euclidien

Le tableau suivant montre quelques exemples courants d'opérateurs multiplicateurs sur l'espace euclidien .

Nom Multiplicateur Opérateur Noyau
Opérateur identité 1 f(x)
Multiplication par une constante c c cf(x)
Translation par y
Dérivée unidimensionnelle
Dérivée partielle
Laplacien
Opérateur différentiel à coefficients constants
Dérivé fractionnaire d'ordre
Potentiel de Riesz d'ordre
Potentiel de Bessel d'ordre
Opérateur de la chaleur Noyau de la chaleur
Opérateur d'évolution de l'équation de Schrödinger Noyau de Schrödinger
Transformation de Hilbert unidimensionnelle H
Transformée de Riesz Rj
Transformation partielle (unidimensionnelle) de Fourier
Multiplicateur sur le disque (J est une fonction de Bessel)
OpĂ©rateur de Bochner–Riesz
Multiplicateur général
Opérateur de convolution général

Considérations générales

L'application est un homéomorphisme de C*-algÚbres. Cela se déduit du fait que la somme de deux opérateurs multiplicateurs et est un opérateur multiplicateur avec pour multiplicateur , la composition de ces deux opérateurs multiplicateurs est un opérateur multiplicateur avec multiplicateur et l'adjoint d'un opérateur multiplicateur est un autre opérateur multiplicateur avec multiplicateur .

En particulier, on voit que deux opérateurs multiplicateurs quelconques commutent l'un avec l'autre. On sait que les opérateurs multiplicateurs sont invariants par translation. Inversement, on peut montrer que tout opérateur linéaire invariant par translation qui est borné sur L2(G) est un opérateur multiplicateur.

Le problÚme du caractÚre borné sur Lp

Le problĂšme des bornes sur un espace Lp (pour tout p particulier) pour un groupe donnĂ© G consiste, en termes simples, Ă  identifier les multiplicateurs m tels que l'opĂ©rateur multiplicateur correspondant est bornĂ© de Lp(G) Ă  Lp(G). De tels multiplicateurs sont gĂ©nĂ©ralement simplement appelĂ©s « multiplicateurs Lp ». On note que comme les opĂ©rateurs multiplicateurs sont toujours linĂ©aires, ces opĂ©rateurs sont bornĂ©s si et seulement s'ils sont continus. Ce problĂšme est considĂ©rĂ© comme extrĂȘmement difficile en gĂ©nĂ©ral, mais de nombreux cas particuliers peuvent ĂȘtre traitĂ©s. Le problĂšme dĂ©pend beaucoup de p, bien qu'il existe une relation de dualitĂ© : si 1/p + 1/q = 1 et 1 ≀ p, q ≀ +∞, alors un opĂ©rateur multiplicateur est bornĂ© sur Lp si et seulement s'il est bornĂ© sur Lq.

Le thĂ©orĂšme de Riesz-Thorin montre que si un opĂ©rateur multiplicateur est bornĂ© sur deux espaces Lp diffĂ©rents, alors il est Ă©galement bornĂ© sur tous les espaces intermĂ©diaires. Par consĂ©quent, nous obtenons que l'espace des multiplicateurs est le plus petit pour L1 et L∞ et croĂźt Ă  mesure que l'on s'approche de L2, qui a le plus grand espace multiplicateur.

CaractÚre borné sur L2

C'est le cas le plus simple. Le théorÚme de Parseval permet de résoudre complÚtement ce problÚme et d'obtenir qu'une fonction m est un multiplicateur L2(G) si et seulement si elle est bornée et mesurable.

CaractĂšre bornĂ© sur L1 ou L∞

Ce cas est plus compliqué que le cas hilbertien (L2), mais est entiÚrement résolu. Ce qui suit est vrai :

ThĂ©orĂšme — Dans l'espace euclidien une fonction est un multiplicateur L1 (Ă©quivalent Ă  un multiplicateur L∞) si et seulement s'il existe une mesure borĂ©lienne finie ÎŒ telle que m est la transformĂ©e de Fourier de ÎŒ.

(Le sens direct est un calcul simple, le sens indirect ici est plus compliqué. )

CaractĂšre bornĂ© sur Lp pour 1 < p < ∞

Dans ce cas gĂ©nĂ©ral, les conditions nĂ©cessaires et suffisantes pour la dĂ©limitation n'ont pas Ă©tĂ© Ă©tablies, mĂȘme pour l'espace euclidien ou le cercle unitĂ©. Cependant, plusieurs conditions nĂ©cessaires et plusieurs conditions suffisantes sont connues. Par exemple, on sait que pour qu'un opĂ©rateur multiplicateur soit bornĂ© mĂȘme sur un seul espace Lp, le multiplicateur doit ĂȘtre bornĂ© et mesurable (cela dĂ©coule de la caractĂ©risation des multiplicateurs L2 ci-dessus et de la propriĂ©tĂ© d'inclusion). Cependant, cela n'est pas suffisant sauf lorsque p = 2.

Les résultats qui donnent des conditions suffisantes pour la délimitation sont connus sous le nom de théorÚmes multiplicateurs. Trois de ces résultats sont donnés ci-dessous.

ThéorÚme du multiplicateur de Marcinkiewicz

Soit une fonction bornée continûment différentiable sur tout ensemble de la forme pour et a une dérivée telle que

ThéorÚme du multiplicateur de Mikhlin

Soit m une fonction bornĂ©e sur qui est lisse sauf Ă©ventuellement Ă  l'origine, et telle que la fonction est bornĂ© pour tous les entiers : alors m est un multiplicateur Lp pour tout 1 < p < ∞ .

Il s'agit d'un cas particulier du théorÚme du multiplicateur de Hörmander-Mikhlin.

Les preuves de ces deux théorÚmes sont assez délicates, faisant appel à des techniques issues de la théorie de Calderón-Zygmund et du théorÚme d'interpolation de Marcinkiewicz : pour la preuve originale, voir Mikhlin (1956) ou Mikhlin (1965).

Multiplicateurs radiaux

Pour les multiplicateurs radiaux, une condition nĂ©cessaire et suffisante pour ĂȘtre bornĂ© sur est connue pour une partie des valeurs de p. Soit et . On suppose que m est un multiplicateur radial Ă  support compact dont le support ne contient pas l'origine. Alors m est un multiplicateur si et seulement si la transformĂ©e de Fourier de m appartient Ă  .

C'est un théorÚme de Heo, Nazarov et Seeger[3]. Ils ont également fourni une condition nécessaire et suffisante qui est valide sans l'hypothÚse de support compact sur m.

Exemples

Les translations sont des opĂ©rateurs bornĂ©s sur tout Lp. La dĂ©rivation n'est bornĂ©e sur aucun Lp. La transformĂ©e de Hilbert n'est bornĂ©e que pour p strictement supĂ©rieur Ă  1. Le fait qu'elle soit non bornĂ©e sur L∞ est facile, puisqu'il est bien connu que la transformĂ©e de Hilbert d'une fonction en escalier est non bornĂ©e. La dualitĂ© donne la mĂȘme chose pour p = 1. Cependant, les thĂ©orĂšmes des multiplicateurs de Marcinkiewicz et de Mikhlin montrent que la transformĂ©e de Hilbert est bornĂ©e dans Lp pour tout 1 < p < ∞.

Un autre cas intĂ©ressant sur le cercle unitaire est celui oĂč la suite qui est proposĂ© comme multiplicateur est constante pour n dans chacun des ensembles et D'aprĂšs le thĂ©orĂšme du multiplicateur de Marcinkiewicz (adaptĂ© au contexte du cercle unitaire), on voit que toute suite de ce type (Ă©galement supposĂ©e bornĂ©e) est un multiplicateur pour chaque 1 < p < ∞.

En une dimension, l'opĂ©rateur multiplicateur de disque (voir tableau ci-dessus) est bornĂ©e sur Lp pour tout 1 < p < ∞. Cependant, en 1972, Charles Fefferman a montrĂ© le rĂ©sultat surprenant qu'en dimension 2 et plus, l'opĂ©rateur multiplicateur de disque est non bornĂ© sur Lp pour tout p ≠ 2. Le problĂšme correspondant pour les multiplicateurs de Bochner-Riesz n'est que partiellement rĂ©solu ; voir aussi la conjecture de Bochner-Riesz.

Articles connexes

Remarques

  1. Duoandikoetxea 2001, Section 3.5.
  2. Stein 1970, Chapter II.
  3. Heo, Yaryong; Nazarov, FĂ«dor; Seeger, Andreas. Radial Fourier multipliers in high dimensions. Acta Math. 206 (2011), no. 1, 55--92. doi:10.1007/s11511-011-0059-x. https://projecteuclid.org/euclid.acta/1485892528

Ouvrages cités

  • (en) Javier Duoandikoetxea, Fourier Analysis, American Mathematical Society, (ISBN 0-8218-2172-5)
  • (en) Elias M. Stein, Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, Princeton University Press,

Références générales

  • (en) Loukas Grafakos, Classical Fourier Analysis, Springer, (ISBN 978-0-387-09431-1)
  • (en) Yitzhak Katznelson, An Introduction to Harmonic Analysis, Cambridge University Press, (ISBN 978-0-521-54359-0)
  • (en) Lars Hörmander, « Estimates for translation invariant operators in Lp spaces », Acta Mathematica, vol. 104,‎ , p. 93–140 (DOI 10.1007/bf02547187 AccĂšs libre)
  • (en) Lars Hörmander, The analysis of linear partial differential operators I : Distribution theory and Fourier analysis, Springer-Verlag, (ISBN 3-540-52343-X)
  • (ru) Solomon G. Mikhlin, « On the multipliers of Fourier integrals », Doklady Akademii Nauk SSSR, vol. 109,‎ , p. 701–703 (zbMATH 0073.08402)
  • (en) Solomon G. Mikhlin, Multidimensional singular integrals and integral equations, vol. 83, Pergamon Press, coll. « International Series of Monographs in Pure and Applied Mathematics », (zbMATH 0129.07701).
  • (en) Walter Rudin, Fourier Analysis on Groups, Interscience,
  • (en) Alberto Torchinsky, Real-Variable Methods in Harmonic Analysis, Dover, (ISBN 0-486-43508-3)
  • (en) Javier Parcet, Éric Ricard et Mikael de la Salle, « Fourier multipliers in SLn(R) »,
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