Vallée de stabilité

Modélisation de la vallée de stabilité suivant la formule de Weizsäcker.

La formule de Weizsäcker peut être exploitée pour élaborer la relation donnant ${\displaystyle Z}$ en fonction de ${\displaystyle A}$ pour les noyaux stables.

L'énergie de liaison ${\displaystyle B(A,Z)}$ s'écrit :
${\displaystyle B(A,Z)=a_{v}A-a_{s}A^{2/3}-a_{c}{Z(Z-1) \over A^{1/3}}-a_{a}{(A-2Z)^{2} \over A}\pm a_{p}A^{-1/2}}$

Elle peut être mise sous la forme suivante qui ordonne les termes en Z

${\displaystyle B_{A}(Z)=(-a_{c}A^{-1/3}-4a_{a}A^{-1})Z^{2}+(a_{c}A^{-1/3}+4a_{a})Z+(a_{v}-a_{a})A-a_{s}A^{2/3}\pm a_{p}A^{-1/2}}$

Les noyaux stables sont ceux qui maximisent l'énergie de liaison${\displaystyle B_{A}(Z)}$. Donc en dérivant ${\displaystyle B_{A}(Z)}$ par rapport à ${\displaystyle Z}$, on obtient une équation donnant les noyaux stables.

${\displaystyle {\partial B_{A}(Z) \over \partial Z}=2(-a_{c}A^{1/3}-4a_{a}A^{-1})Z+(a_{c}A^{1/3}+4a_{a})=0\quad .}$d'où :

${\displaystyle Z_{stab}={a_{c}A^{-1/3}+4a_{a} \over 2(a_{c}A^{-1/3}+4a_{a}A^{-1})}}$ en multipliant haut et bas par ${\displaystyle {A \over 4a_{a}}}$

${\displaystyle Z_{stab}={A \over 2}{1+{a_{c} \over 4a_{a}}A^{-1/3} \over 1+{a_{c} \over 4a_{a}}A^{2/3}}\approx {A \over 2}{1 \over 1+{a_{c} \over 4a_{a}}A^{2/3}}}$

Les valeurs des constantes utilisées sont (en MeV) :

${\displaystyle a_{v}=15{,}56}$

${\displaystyle a_{s}=17{,}23}$

${\displaystyle a_{c}=0{,}7}$

${\displaystyle a_{a}=23{,}6}$

${\displaystyle a_{p}=11{,}2}$

Dans l'équation de la vallée de la stabilité seules les grandeurs ${\displaystyle a_{a}}$ et ${\displaystyle a_{c}}$ interviennent. Le constat d'une bonne adéquation de la relation ci-dessus avec la réalité (cf courbe ci-contre) justifie au 1^er ordre la valeur du rapport des coefficients ${\displaystyle {a_{c} \over a_{a}}={0{,}7 \over 23{,}6}}$.

Le terme ${\displaystyle {a_{c} \over 4a_{a}}A^{-1/3}}$ est petit devant 1.

Pour alléger les calculs :

• on pose ${\displaystyle z={Z_{stab} \over A}={1 \over 2}{1+{a_{c} \over 4a_{a}}A^{-1/3} \over 1+{a_{c} \over 4a_{a}}A^{2/3}}}$
• dont on remarque que ${\displaystyle z}$ est à peu près constant par zone ; par exemple pour ${\displaystyle A=40\quad z=0{,}44;\quad pour\quad A=80\quad z=0{,}46}$
• on retient ${\displaystyle z=0{,}45}$ pour la recherche du maximum de ${\displaystyle B/A}$
• on remarque que le terme ${\displaystyle \pm a_{p}A^{-1/2}}$ est petit devant les autres soit moins de 1 % de la valeur de ${\displaystyle B}$ , dès lors que ${\displaystyle A>26}$

${\displaystyle {B(A,Z) \over A}=a_{v}-a_{s}A^{-1/3}-a_{c}z^{2}A^{2/3)}+a_{c}zA^{-1/3}-a_{a}(1-2z)^{2}\pm a_{p}A^{-3/2}}$

On dérive cette relation par rapport à A en supposant ${\displaystyle z}$ constant[Note 3], il vient :

${\displaystyle 0={1 \over 3}a_{s}A^{-4/3}-{2 \over 3}a_{c}z^{2}A^{-1/3}-{1 \over 3}a_{c}zA^{-4/3}}$ en multipliant cette équation par : ${\displaystyle 3A^{4/3}}$ on obtient la valeur du maximum de ${\displaystyle {B \over A}}$

${\displaystyle A_{\text{énergie maximale}}={\text{arrondi}}\left({1 \over 2z}({a_{s} \over a_{c}z}-1)\right)}$
${\displaystyle A_{\text{énergie maximale}}={\text{arrondi}}\left({1 \over 20{,}45}({17{,}23 \over 0{,}70{,}45}-1)\right)=60}$

La valeur trouvée est un peu élevée, elle "valide" cependant au 1^er ordre le rapport ${\displaystyle {a_{s} \over a_{c}z}}$[Note 4]

Rapport N/Z = ${\displaystyle {N \over Z}}$

On a toujours : ${\displaystyle z={Z_{stab} \over A}={1 \over 2}{1+{a_{c} \over 4a_{a}}A^{-1/3} \over 1+{a_{c} \over 4a_{a}}A^{2/3}}}$ avec donc :

${\displaystyle z={A \over 2}}$ et ${\displaystyle Z={A \over 2}(2-z)}$

${\displaystyle {N \over Z}={(2-X) \over X}={2 \over X}-1}$
${\displaystyle X={1+{a_{c} \over 4a_{a}}A^{-1/3} \over 1+{a_{c} \over 4a_{a}}A^{2/3}}}$
${\displaystyle {1 \over X}={1+{a_{c} \over 4a_{a}}A^{2/3} \over 1+{a_{c} \over 4a_{a}}A^{-1/3}}}$
${\displaystyle {N \over Z}={2 \over X}-1}$
${\displaystyle {N \over Z}=2{1+{a_{c} \over 4a_{a}}A^{2/3} \over 1+{a_{c} \over 4a_{a}}A^{-1/3}}-1}$

Évolution du rapport N/Z en fonction du nombre total de nucléons A dans un noyau stable.

On remarque sur le diagramme ci-contre que la proportion ${\displaystyle {N \over Z}}$ varie sensiblement pour les atomes de taille modérée et ne converge que progressivement vers 1,55 pour les atomes lourds.

Le nombre de nucléons varie de 1 à 209 nucléons[Note 1] Les assemblages de nucléons suivants n'ont pas de configuration stable :

• l'assemblage à 5 nucléons est rendu instable par la très grande stabilité du noyau d'hélium (l'hélium 5 a une demi-vie — si on ose dire — de 7,6 × 10^-23 s ; le lithium 5 n'existe pas).
• de même pour l'assemblage à 8 nucléons (le béryllium 8 se fissionne spontanément en deux noyaux d'hélium avec une demi-vie de 6,7 × 10^-17 s ; le lithium 8 n'existe pas)
• l'assemblage à 147 nucléons n'a pas de configuration stable (le samarium 147 de demi-vie 1,08 × 10¹¹ a, n'est clairement pas stable) ; en revanche l'assemblage à 149 nucléons est stable sous la forme du samarium 149, dont la période est très supérieure à 10¹² a.

Les configurations isobariques différentes (un même nombre total de nucléons pour des proportions variables de neutrons et protons) sont assez nombreuses. Elles concernent 60 assemblages assez régulièrement répartis entre 30 et 200 nucléons avec une concentration dans la plage 70 à 170 nucléons. Toutefois :

• elles ne concernent que les assemblages à nombre pairs de nucléons sauf pour les assemblages à 115 et 123 nucléons
• pour un même assemblage d'un nombre de nucléons donné, elles se limitent à deux répartitions différentes (neutrons/protons) sauf dans les assemblages à 50, 130, 136 et 180 nucléons qui présentent chacun trois répartitions isobariques distinctes, donc trois éléments chimiques différents pour un même nombre de nucléons dans le noyau :
  • chrome 50 ; vanadium 50 ; titane 50
  • tellure 130 ; xénon 130 ; baryum 130
  • cérium 136 ; xénon 136 ; baryum 136
  • hafnium 180 ; tantale 180m ; tungstène 180

À l'image du « plomb vil transformable en or pur » des alchimistes, ces configurations isobariques peuvent faire rêver même si l'or avec 79 protons + 118 neutrons est le seul isotope stable avec ce même nombre (197) de nucléons.

En ce qui concerne les neutrons, entre l'unique neutron du deutérium et les 126 neutrons du plomb 208 et du bismuth 209. Aucun assemblage à 19, 21, 35, 39, 45, 89, 115 et 123 neutron n'a de forme stable. Ces nombres apparaissent comme des nombres de neutrons « antimagiques ».

En suivant un peu finement les choses, on constate que les compositions en neutrons et protons évoluent suivant une courbe en « marches d'escalier ». Entre le noyau de l'atome de protium et le bismuth 209, on compte 50 « marches d'escalier » d'une hauteur moyenne de 126/50 = 2,52 neutrons et d'une longueur de 82 / 50 = 1,64 protons, sachant que l'ampleur des dites marches augmente avec la quantité totale de nucléons.

En ce qui concerne les protons, entre l'hydrogène à un seul proton et le bismuth à 83 protons ; aucun assemblage à 43 protons (élément technétium) n'a de forme stable non plus qu'à 61 protons (élément prométhéum).

43 et 61 apparaissent comme des nombres de protons « antimagiques » de la série classique : 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126

Avec la convention retenue, savoir : demi-vie de l'isotope stable > 10¹² a, on dresse la liste suivante :

• 1 élément (l'étain) a 10 isotopes stables
• 1 élément (le xénon) a 9 isotopes stables
• 2 éléments (le cadmium et le tellure) ont 8 isotopes stables ; total = 16
• 8 éléments ont 7 isotopes stables ; total = 56
• 7 éléments ont 6 isotopes stables ; total = 42
• 7 éléments ont 5 isotopes stables ; total = 35
• 6 éléments ont 4 isotopes stables ; total = 24
• 6 éléments ont 3 isotopes stables ; total = 18
• 19 éléments ont 2 isotopes stables ; total = 38
• 24 éléments ont 1 seul isotope stable

Les 24 derniers sont appelés éléments monoisotopiques.

Au total 81 éléments ont au moins un isotope stable. En moyenne donc 272 / 81 = 3,4 isotopes stables par élément chimique ayant au moins un isotope stable.

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• A C R O - Notions de base de radioactivité
• Université d'Angers - Rayonnements ionisants et radioactivité - L'émission alpha
• (en) Carte interactive des nucléides