Topologie (circuits électriques)

On utilisa la théorie des graphes dans l'analyse de réseau de réseaux passifs linéaires presque dès le moment de la formulation des lois de Kirchhoff. Gustav Kirchhoff lui-même utilisa les graphes comme représentation abstraite d'un réseau dans son analyse des boucles de circuits résistifs en 1847[13]. On généralisa ensuite cette approche aux circuits RLC, remplaçant les résistances par des impédances. En 1873, James Clerk Maxwell fournit le complémentaire de cette analyse avec l'analyse des nœuds[14] - [15]. Maxwell fut également responsable du théorème topologique selon lequel le déterminant de la matrice d'admission nodale est égal à la somme de tous les produits des entrées dans l'arbre. En 1900, Henri Poincaré introduisit l'idée de représenter un graphe par sa matrice d'incidence [16], fondant ainsi le domaine de la topologie algébrique. En 1916, Oswald Veblen appliqua la topologie algébrique de Poincaré à l'analyse de Kirchhoff[17]. Veblen fut également responsable de l'introduction de l'arbre couvrant pour faciliter le choix d'un ensemble compatible de variables de réseau[18].

Figure 2.1. Schéma électrique d'un filtre passe-bas de réseau en échelle: un réseau de type à deux éléments

Le catalogage complet des graphes de réseau appliqués aux circuits électriques commença avec Percy MacMahon en 1891. Il limita son enquête aux combinaisons en série et parallèles. MacMahon nomma ces graphes chaînes de joug[note 1]. En 1932, Ronald M. Foster classa les graphes par leur nullité ou leur rang et fournit des diagrammes montrant tous ceux avec un petit nombre de nœuds. Ce travail naquit d'une enquête préalable lors de sa collaboration avec George Campbell en 1920 sur des répéteurs téléphoniques à quatre ports. Il produisit 83 539 graphes distincts[19].

Pendant longtemps, la topologie de la théorie des circuits électriques ne s'est préoccupée que les réseaux passifs linéaires. Les développements récents dans le domaine des dispositifs et circuits semi-conducteurs ont cependant nécessité de nouveaux outils topologiques. Une énorme augmentation de la complexité des circuits a conduit à l'utilisation de l'analyse combinatoire dans la théorie des graphes dans le but d'améliorer l'efficacité du calcul informatique[18].

On classe généralement les réseaux selon le type d'éléments électriques les composant. Dans un schéma électrique, ces types d'éléments possèdent chacun leur symbole unique. Les réseaux résistifs sont des réseaux à un seul élément, composés uniquement d'éléments R. De même, les réseaux capacitifs ou inductifs sont de type à un élément, respectivement C ou L. Les circuits RC, RL et LC sont des réseaux simples à deux éléments. Le circuit RLC, quant à lui, est le plus simple réseau à trois éléments. Le réseau en échelle LC couramment utilisé dans les filtres passe-bas peut avoir de nombreux éléments, mais demeure quand même un autre exemple de réseau de type à deux éléments[20].

Inversement, la topologie ne s'intéresse qu'à la relation géométrique entre les éléments d'un réseau, et non au type d'éléments. Le cœur d'une représentation topologique d'un réseau est le graphe du réseau. Les éléments sont représentés comme les arêtes du graphe. Une arête est dessinée comme une ligne terminée par des points ou de petits cercles desquels d'autres arêtes (éléments) peuvent émaner. En analyse de circuits, les arêtes du graphe se nomment des mailles. Les points sont appelés les sommets du graphe et représentent les nœuds du réseau. Les termes nœud et sommet peuvent être utilisés de manière interchangeable lors de la discussion de graphes de réseaux. La figure 2.2 montre une représentation graphique du circuit de la figure 2.1[21].

De plus, les graphes utilisés dans l'analyse de réseau sont généralement à la fois des graphes orientés, pour capturer la direction du flux et de la tension du courant, et des graphes étiquetés, pour capturer l'unicité des mailles et des nœuds. Par exemple, un graphe composé d'un carré de mailles serait toujours le même graphe topologique si on échangeait deux mailles, à moins que les mailles ne soient étiquetées de manière unique. Dans les graphes dirigés, les deux nœuds auxquels une maille se connecte sont désignés comme les nœuds source et cible. En règle générale, ceux-ci seront indiqués par une flèche dessinée sur la maille[22].

L'incidence est l'une des propriétés de base d'un graphe. Une arête connectée à un sommet est dite incidente sur ce sommet. L'incidence d'un graphe peut être capturée dans une matrice appelée matrice d'incidence. En fait, la matrice d'incidence est une représentation mathématique alternative du graphe où le dessin devient superflu. Les lignes de la matrice correspondent aux nœuds et les colonnes, aux mailles. Les éléments de la matrice sont soit zéro, pour aucune incidence, soit un, pour une incidence entre le nœud et la maille. La direction dans les graphes dirigés est indiquée par le signe de l'élément[18] - [23].

Les graphes sont équivalents si l'on peut transformer l'un en l'autre par déformation. La déformation peut inclure les opérations de translation, de rotation et de réflexion, le pli et l'étirement des mailles, et le croisement ou le nouage des mailles. On qualifie de congruents deux graphes équivalents par déformation[24].

Dans le domaine des réseaux électriques, il existe deux transformations supplémentaires qu'on considère comme aboutissant à des graphes équivalents sans qu'elles ne produisent de graphes congruents. La première est l'échange de mailles connectées en série. Il s'agit du double échange de mailles connectées en parallèle qu'on peut obtenir par déformation sans qu'une règle spéciale ne soit nécessaire. La seconde concerne les graphes divisés en deux ou plusieurs parties distinctes, c'est-à-dire un graphe avec deux ensembles de nœuds où chaque ensemble possède un nœud dépourvu de maille incidente. Deux de ces parties distinctes sont considérées comme un graphe équivalent à un seul où les parties sont jointes en combinant un nœud de chacun en un seul nœud. De même, un graphe qu'on peut diviser en deux parties distinctes en divisant un nœud en deux est également considéré comme équivalent[25].

Un arbre est un graphe dans lequel tous les nœuds sont connectés par des mailles, soit directement ou indirectement, sans former de boucles fermées. Puisqu'il n'y a pas de boucles fermées, il n'y a pas de courant dans un arbre. Dans l'analyse de réseau, nous nous intéressons aux arbres couvrants, c'est-à-dire aux arbres connectant chaque nœud dans le graphe du réseau. Ici, sauf indication contraire, un arbre couvrant est défini par un arbre non qualifié. Un graphe de réseau donné peut contenir plusieurs arbres différents. Les mailles retirées d'un graphe pour former un arbre se nomment liens, tandis que les mailles restant dans l'arbre se nomment brindilles. Pour un graphe à n nœuds, le nombre de mailles dans chaque arbre, t, doit être;

${\displaystyle t=n-1\ }$

Une relation importante pour l'analyse des circuits est:

${\displaystyle b=\ell +t\ }$

où b est le nombre de mailles du graphe et ℓ, le nombre de liens retirés pour former l'arbre[26].

Le but de l'analyse de circuit est de déterminer tous les courants et tensions de maille du réseau. Ces variables de réseau ne sont pas toutes indépendantes. Les tensions de maille sont liées aux courants de maille par la fonction de transfert des éléments les composant. Une solution complète du réseau ne peut donc qu'être soit uniquement en termes de courants de maille, soit uniquement en termes de tensions de maille. De plus, tous les courants de maille ne sont pas indépendants. Le nombre minimum de courants de maille requis pour une solution complète est l. Cela est une conséquence du fait qu'un arbre a l liens supprimés et qu'il ne peut y avoir de courants dans un arbre. Comme le courant est nul dans les mailles restantes de l'arbre, elles ne peuvent être indépendantes des courants de liaison. Les courants de maille choisis comme ensemble de variables indépendantes doivent constituer un ensemble associé aux liens d'un arbre: on ne peut pas choisir arbitrairement l mailles[27].

En termes de tensions de maille, on peut obtenir une solution complète du réseau avec t tensions de maille. Cela est une conséquence du fait que le court-circuitage de toutes les mailles d'un arbre entraîne une tension nulle partout. Par conséquent, les tensions de liaison ne peuvent pas être indépendantes des tensions de maille de l'arbre[28].

Une approche analytique courante consiste à résoudre pour les courants de boucle plutôt que pour les courants de maille. Les courants de maille se calculent alors en termes de courants de boucle. Encore une fois, on ne peut choisir arbitrairement l'ensemble des courants de boucle. Dans le but de garantir un ensemble de variables indépendantes, les courants de boucle doivent être associés à un ensemble de boucles spécifique. Cet ensemble de boucles est constitué des boucles formées en remplaçant une seule liaison d'un arbre donné du graphe du circuit à analyser. Puisque le remplacement d'une seule liaison dans un arbre forme une boucle unique spécifique, le nombre de courants de boucle ainsi définis est égal à l. À noter que le terme boucle dans ce contexte n'a pas le même sens que dans la théorie des graphes. On nomme ensemble des liens l'ensemble des mailles formant une boucle donnée[note 2]. On forme l'ensemble des équations du réseau en égalisant les courants de boucle à la somme algébrique des courants de maille de l'ensemble des liens[29].

On peut choisir un ensemble de courants de boucle indépendants sans se référer aux arbres et aux ensembles de liens. Une condition suffisante et non nécessaire pour choisir un ensemble de boucles indépendantes est que chaque boucle choisie comprenne au moins une maille pas précédemment incluse dans les boucles déjà choisies. Un choix particulièrement simple est celui utilisé dans l'analyse des mailles, où toutes les boucles sont choisies pour être des mailles[note 3]. On ne peut appliquer l'analyse de maille que si l'on peut schématiser le graphe sur un plan ou une sphère sans aucun croisement de mailles. De tels graphes se nomment graphes planaires. Pouvoir schématiser sur un plan et pouvoir schématiser sur une sphère constituent des conditions équivalentes. Tout graphe fini schématisé sur un plan peut être réduit jusqu'à ce qu'il puisse se schématiser sur une petite région d'une sphère. Inversement, on peut étirer un maillage de n'importe quel graphe schématisé sur une sphère jusqu'à ce que l'espace à l'intérieur occupe presque toute la sphère. Le graphe entier n'occupe alors plus qu'une petite région de la sphère. Il s'agit du même cas que le premier, donc on pourra également schématiser le graphe sur un plan[30].

Il existe une approche pour choisir les variables du réseau qui utilise les tensions. Elle est analogue et duale à la méthode du courant de boucle. Ici, la variables primaire est la tension associée à une paire de nœuds et les tensions de maille sont trouvées en fonction de celle-ci. Toujours dans cette méthode, un arbre particulier du graphe doit être choisi afin de garantir que toutes les variables soient indépendantes. Le dual de l'ensemble des liens est l'ensemble des coupes. On forme un ensemble des liens en permettant à tous les liens de graphe sauf un d'être en circuit ouvert. On forme un ensemble des coupes en permettant à toutes les mailles de l'arbre sauf une d'être court-circuitées. L'ensemble des coupes se compose de la maille de l'arbre qui n'a pas été court-circuitée et des liaisons qui ne sont pas court-circuitées par les autres mailles de l'arbre. Un ensemble de coupes dans un graphe produit deux sous-graphes disjoints, c'est-à-dire qu'il coupe le graphe en deux parties. Il constitue d'ailleurs l'ensemble minimal de mailles nécessaires pour ce faire. On forme l'ensemble des équations de réseau en égalant les tensions de la paire de nœuds à la somme algébrique des tensions de maille de l'ensemble des coupes[31]. Le dual de l'analyse de maillage est l'analyse nodale[32].

La nullité N d'un graphe ayant s parties distinctes et b mailles est définie par:

${\displaystyle N=b-n+s\ }$

La nullité d'un graphe correspond au nombre de degrés de liberté dans son ensemble d'équations du réseau. Pour un graphe planaire, la nullité est égale au nombre de mailles du graphe[33].

Le rang R d'un graphe est défini par:

${\displaystyle R=n-s\ }$

Le rang joue le même rôle en analyse nodale que la nullité en analyse du maillage: il donne le nombre d'équations de tension des nœuds requises. Le rang et la nullité sont des concepts duals et sont liés par [34]

${\displaystyle R+N=b\ }$

Une fois choisi un ensemble de variables géométriquement indépendantes, on exprime l'état du réseau en fonction de celles-ci. Le résultat est un ensemble d'équations linéaires indépendantes qu'il faut résoudre simultanément afin de trouver les valeurs des variables du réseau. Cet ensemble d'équations peut être exprimé en format matriciel, menant à une matrice de paramètres caractéristique du réseau. Les matrices de paramètres prennent la forme d'une matrice d'impédance si les équations viennent de l'analyse de boucle, et la forme d'une matrice d'admission si les équations viennent de l'analyse de nœud[35].

Ces équations peuvent être résolues de plusieurs manières connues. Une méthode consiste à éliminer systématiquement les variables[36]. Une autre méthode, la règle de Cramer, utilise les déterminants pour obtenir une expression directe de la variable inconnue en termes de ceux-ci. On obtient ainsi une expression compacte pour la solution. Cependant, pour des réseaux moins triviaux, l'effort de calcul augmente considérablement lorsqu'on travaille manuellement[37].

Deux graphes sont duals lorsque la relation entre les mailles et les paires de nœuds dans l'un est la même que la relation entre les mailles et les boucles dans l'autre. On peut trouver le dual d'un graphe entièrement par une méthode graphique[38].

Le dual d'un graphe est un autre graphe. Dans un graphe, pour un arbre donné, l'ensemble complémentaire de mailles (c'est-à-dire les mailles qui ne se trouvent pas dans l'arbre) forme un arbre dans le graphe dual. L'ensemble des équations de boucle de courant associées aux ensembles des liens du graphe et de l'arbre originaux sont identiques à l'ensemble des équations de paire de nœuds de tension associées aux ensembles des coupes du graphe dual[39].

Le tableau suivant répertorie les concepts topologiques duals liés à la théorie des circuits[40].

Le dual d'un arbre se nomme un labyrinthe [note 4] Il se compose d'espaces reliés par des liens tout comme l'arbre se compose de nœuds reliés par des branches d'arbre[41].

Tout graphe ne possède pas de dual. La dualité nécessite que chaque ensemble de liens ait un ensemble de coupes dual dans le graphe dual. Cette condition est remplie si et seulement si le graphe peut être schématisé sur une sphère sans croisement de mailles. Pour bien le voir, notons qu'un ensemble de liens est nécessaire pour "lier" un graphe en deux parties et que son dual, l'ensemble de coupes, est nécessaire pour couper un graphe en deux parties. Le graphe d'un réseau fini qu'on ne peut pas schématiser sur une sphère nécessitera un tore de dimension n. Un ensemble de liens passant à travers un trou dans un tore ne réussira pas à lier le graphe en deux parties. Par conséquent, le graphe dual ne sera pas coupé en deux et ne contiendra pas l'ensemble des coupes requis. Il en résulte que seuls les graphes planaires ont des duals[42].

On ne peut pas non plus former de duals pour les réseaux contenant des inductances mutuelles, car aucun élément capacitif correspondant n'existe. On peut développer des circuits équivalents possédant des duals, mais on ne peut pas directement former le dual d'une inductance mutuelle[43].

Les opérations sur un ensemble d'équations de réseau ont un sens topologique puvant aider à visualiser la situation. L'élimination d'une tension de nœud d'un ensemble d'équations de réseau correspond topologiquement à l'élimination de ce nœud du graphe. Pour un nœud connecté à trois autres nœuds, cela correspond à la transformée Y-Δ. La transformation peut s'étendre à un plus grand nombre de nœuds connectés. Elle est alors connue sous le nom de transformation en étoile[44].

L'inverse de cette transformée est la transformée Δ-Y. Elle correspond analytiquement à l'élimination d'un courant de maille et topologiquement à l'élimination d'une maille. Cependant, éliminer un courant de maillage dont le maillage a des mailles communes avec un nombre arbitraire d'autres mailles donnera généralement un graphe irréalisable. En effet, le graphe de la transformation de l'étoile générale est un graphe qu'on ne peut pas schématiser sur une sphère, car il contient des polygones d'étoiles et donc plusieurs croisements. Le dual d'un tel graphe ne peut pas exister, mais il est néanmoins nécessaire pour représenter une élimination généralisée du maillage[44].

Dans la représentation graphique classique des circuits, il n'existe aucun moyen de représenter explicitement les couplages inductifs mutuels, comme cela se produit dans un transformateur. De tels composantes peuvent entraîner un graphe déconnecté avec plus d'une partie distincte. Pour faciliter l'analyse, un graphe à plusieurs parties peut être combiné en un seul graphe. Pour ce faire, on unifie un nœud de chaque partie en un seul nœud.Le comportement théorique du circuit ne s'en trouve pas modifié, de sorte que l'analyse effectuée sur celui-ci est toujours valide. Cependant, en pratique, si un tel circuit devait être mis en œuvre, le comportement changerait, car le circuit détruirait l'isolement entre les pièces. Un exemple serait un transformateur mis à la terre des côtés primaire et secondaire. Le transformateur fonctionnerait toujours comme un transformateur avec le même rapport de tension, mais ne pourrait plus être utilisé comme transformateur d'isolement[45].

Des techniques de théorie des graphes plus récentes peuvent gérer les composantes actives, elles aussi problématiques dans la théorie conventionnelle. Ces nouvelles techniques peuvent également gérer les couplages mutuels[46].

Deux approches de base existent pour gérer les couplages mutuels et les composantes actives. Dans le premier, Samuel Jefferson Mason a introduit en 1953 les graphes de flux de signaux[47]. Les graphes de flux de signaux sont des graphes orientés pondérés. Il les a utilisés pour analyser des circuits contenant des couplages mutuels et des réseaux actifs. Le poids d'une arête dirigée dans ces graphes représente un gain, tel que dans un amplificateur. En général, les graphes de flux de signaux ne correspondent pas à la topologie de l'agencement physique des composantes, contrairement aux graphes dirigés réguliers décrits ci-dessus[46].

La deuxième approche consiste à étendre la méthode classique afin d'y inclure des couplages mutuels et des composantes actives. Plusieurs méthodes ont été proposées pour y parvenir. Dans l'une, deux graphes sont construits, l'un représentant les courants dans le circuit et l'autre les tensions. Les composantes passives auront des mailles identiques dans les deux arborescences, mais pas les composantes actives. La méthode repose sur l'identification d'arbres couvrants communs aux deux graphes. Une méthode alternative pour étendre l'approche classique qui ne nécessite qu'un seul graphe a été proposée par Chen en 1965[note 5]. La méthode de Chen se base sur un arbre enraciné[46].

Une autre façon d'étendre la théorie classique des graphes pour les composantes actives consiste à utiliser des hypergraphes. Les graphes ne peuvent représenter simplement certaines composantes électroniques. Le transistor a trois points de connexion, mais une maille de graphe normale ne peut se connecter qu'à deux nœuds. Les circuits intégrés modernes ont encore plus de connexions. Ce problème peut être résolu en utilisant des hypergraphes au lieu des graphes ordinaires[48].

Dans une représentation conventionnelle, les composantes sont représentées par des arêtes, où chacune se connecte à deux nœuds. Dans un hypergraphe, les composantes sont représentées par des hyper-arêtes pouvant se connecter à un nombre arbitraire de nœuds. Les hyper-arêtes ont des tentacules reliant l'hyper-arête aux nœuds. La représentation graphique d'une hyper-arête peut être une boîte (en comparaison avec l'arête, qui est une ligne). Les représentations de ses tentacules sont des lignes de la boîte aux nœuds connectés. Dans un hypergraphe dirigé, les tentacules portent des étiquettes déterminées par l'étiquette de l'hyper-arête. Un graphe dirigé conventionnel peut être considéré comme un hypergraphe avec des hyper-arêtes dont chacune a deux tentacules. Ces deux tentacules sont étiquetés source et cible. Ils sont généralement indiqués par une flèche. Dans un hypergraphe général avec plus de tentacules, un étiquetage plus complexe sera nécessaire[49].

On peut caractériser les hypergraphes par leurs matrices d'incidence. Un graphe régulier contenant uniquement des composantes à deux terminaux aura exactement deux entrées non nulles dans chaque ligne de la matrice. Toute matrice d'incidence ayant plus de deux entrées non nulles dans une ligne est une représentation d'un hypergraphe. Le nombre d'entrées non nulles consécutives est le rang de la maille correspondante alors que le rang de la maille le plus élevé est le rang de la matrice d'incidence[50].

L'analyse de réseau classique présente un ensemble d'équations de réseau dont les variables sont homogènes soit en courant (analyse des boucles), soit en tension (analyse des nœuds). L'ensemble des variables du réseau ainsi trouvé ne constitue pas forcément le minimum nécessaire pour former un ensemble d'équations indépendantes. Le nombre de variables peut différer entre une analyse de boucle et une analyse de nœud. Dans certains cas, le nombre minimal possible peut être encore inférieur si l'on assouplit l'exigence d'homogénéité et que l'on autorise ainsi un mélange de variables de courant et de variables de tension. Kishi et Katajini ont démontré en 1967 [note 6] que le nombre minimal absolu de variables nécessaires pour décrire le comportement du réseau est donné par la distance maximale [note 7] entre deux forêts couvrantes [note 8] du graphe du réseau[46].

On peut appliquer la théorie des graphes à la synthèse de réseaux. La synthèse de réseau classique réalise le réseau requis sous une forme canonique. Les formes canoniques existent d'ailleurs en grand nombre. Parmi les exemples de formes canoniques, on trouve la réalisation d'une impédance au point de conduite par le réseau d'échelles canoniques de Cauer, la forme canonique de Foster ou la réalisation par Brune d'une immittance à partir de ses fonctions positives-réelles. Les méthodes topologiques, en revanche, ne partent pas d'une forme canonique donnée. La forme est plutôt le résultat de la représentation mathématique. Certaines formes canoniques nécessitent des inductances mutuelles pour leur réalisation. Éliminer la nécessité de ces inductances mutuelles a constitué un objectif majeur des méthodes topologiques de synthèse de réseau. Un théorème issu de la topologie énonce que la réalisation d'une impédance de point d'attaque sans couplage mutuel est minimale si et seulement s'il n'y a aucune boucle contenant uniquement soit des inducteurs, soit des condensateurs[51].

La théorie des graphes est à son plus puissant dans la synthèse de réseaux dans deux cas. Le premier est lorsque les éléments du réseau peuvent être représentés par des nombres réels, comme dans les réseaux à un élément tels les réseaux résistifs. Le deuxième est rencontré dans les états binaires tels les réseaux de commutation[46].

Le premier réseau avec un graphe infini à être étudié fut peut-être le réseau en échelle représentant les lignes de transmission que Heaviside développa dans sa forme finale en 1881. Sans doute que toutes les études initiales sur les réseaux infinis furent limitées à des structures périodiques telles que des échelles ou des grilles où on répétait les mêmes éléments à l'infini. Ce n'est qu'à la fin du XX^e siècle que des outils d'analyse des réseaux infinis à topologie arbitraire devinrent disponibles[52].

Les réseaux infinis sont principalement d'un intérêt théorique amusant les mathématiciens. Les réseaux infinis dépourvus de restrictions dans le monde réel peuvent posséder des propriétés pas du tout physiques. Par exemple, les lois de Kirchhoff peuvent échouer dans certains cas. Des échelles de résistance infinies peuvent être définies ayant une impédance de point d'attaque dépendant de la terminaison à un point à l'infini. Une autre propriété non physique des réseaux infinis théoriques est qu'ils dissiperont généralement une puissance infinie, à moins qu'on leur impose des contraintes s'ajoutant aux lois habituelles, telles que les lois d'Ohm et de Kirchhoff. Des applications réelles existent néanmoins. L'exemple de la ligne de transmission fait partie d'une classe de problèmes pratiques qu'on peut modéliser par des éléments infinitésimaux (le modèle à éléments distribués). Des exemples supplémentaires sont le lancement d'ondes dans un milieu continu, les problèmes de champ de franges et la mesure de la résistance entre les points d'un substrat ou dans un trou de forage[53].

Les réseaux transfinis étendent l'idée des réseaux infinis encore davantage. Un nœud à une extrémité d'un réseau infini peut se connecter à une autre maille menant à un autre réseau. Ce nouveau réseau peut lui-même être infini. Des topologies peuvent ainsi être construites ayant des paires de nœuds sans chemin fini entre eux. De tels réseaux de réseaux infinis se nomment réseaux transfinis[54].