Théorème de Kennelly

Le théorème de Kennelly, ou transformation triangle-étoile, ou transformation Y-Δ, ou encore transformation T-Π, est une technique mathématique qui permet de simplifier l'étude de certains réseaux électriques.

Présentation des montages sous forme de triangle (à gauche) et d'étoile (à droite).

Ce théorème, nommé ainsi en hommage à Arthur Edwin Kennelly, permet de passer d'une configuration « triangle » (ou Δ, ou Π, selon la façon dont on dessine le schéma) à une configuration « étoile » (ou, de même, Y ou T). Le schéma ci-contre est dessiné sous la forme « triangle-étoile » ; les schémas ci-dessous sous la forme T-Π.

Ce théorème est utilisé en électrotechnique ou en électronique de puissance afin de simplifier des systèmes triphasés. Il est aussi d'utilisation courante en électronique pour simplifier le calcul de filtres ou d'atténuateurs.

Transformation étoile vers triangle

Tableau des formules de transformation (étoile vers triangle)
Avec les impédances	Avec les admittances
La somme des produits des impédances divisée par l'impédance opposée.	Le produit des admittances adjacentes divisé par la somme totale des admittances.
$Z_{AB}={\frac {Z_{AT}.Z_{BT}+Z_{BT}.Z_{CT}+Z_{CT}.Z_{AT}}{Z_{CT}}}$ $Z_{BC}={\frac {Z_{AT}.Z_{BT}+Z_{BT}.Z_{CT}+Z_{CT}.Z_{AT}}{Z_{AT}}}$ $Z_{AC}={\frac {Z_{AT}.Z_{BT}+Z_{BT}.Z_{CT}+Z_{CT}.Z_{AT}}{Z_{BT}}}$	$Y_{AB}={\frac {Y_{AT}.Y_{BT}}{Y_{AT}+Y_{BT}+Y_{CT}}}$ $Y_{BC}={\frac {Y_{BT}.Y_{CT}}{Y_{AT}+Y_{BT}+Y_{CT}}}$ $Y_{AC}={\frac {Y_{CT}.Y_{AT}}{Y_{AT}+Y_{BT}+Y_{CT}}}$

Démonstration

Cette démonstration peut être transposée à tous les énoncés du théorème.

Considérons le schéma précédent et utilisons le principe de superposition. On peut alors virtuellement annuler les potentiels en $B$ et $C$ , c'est-à-dire mettre ces points à la masse, dans les deux schémas. Calculons alors l'admittance équivalente entre le point $A$ et la masse, qui doit être identique dans les deux cas.

Schéma en étoile: $Y_{eq_{1}}={\frac {Y_{AT}.(Y_{BT}+Y_{CT})}{Y_{AT}+Y_{BT}+Y_{CT}}}$
Schéma en triangle: $Y_{eq_{1}}=Y_{AC}+Y_{AB}$
(Voir Impédance pour les détails de calcul) En répétant le calcul en éteignant successivement $V_{A}$ et $V_{B}$ puis $V_{A}$ et $V_{C}$ on obtient alors le système suivant:

$Y_{AB}+Y_{AC}=Y_{eq_{1}}(1)$
$Y_{AB}+Y_{BC}=Y_{eq_{2}}(2)$
$Y_{AC}+Y_{BC}=Y_{eq_{3}}(3)$

Soit en calculant membre à membre (1) + (2) - (3):

$Y_{AB}={\frac {Y_{eq_{1}}+Y_{eq_{2}}-Y_{eq_{3}}}{2}}$
$Y_{AB}={\frac {Y_{AT}.(Y_{BT}+Y_{CT})+Y_{BT}.(Y_{AT}+Y_{CT})-Y_{CT}.(Y_{AT}+Y_{BT})}{2.(Y_{AT}+Y_{BT}+Y_{CT})}}$
$Y_{AB}={\frac {Y_{AT}.Y_{BT}}{Y_{AT}+Y_{BT}+Y_{CT}}}$

De même (2) + (3) - (1) nous donne $Y_{BC}$

et (1) + (3) - (2) nous donne

Y_{AC}

Transformation triangle vers étoile

On parle ici d'une équivalence d'un circuit en T avec un circuit en π. Dans la pratique, on utilise davantage la transformation qui consiste à passer d'un circuit en π à un circuit en T.

Tableau des formules de conversion (triangle vers étoile)
Avec les impédances	Avec les admittances
Le produit des impédances adjacentes divisé par la somme totale des impédances.	La somme des produits des admittances divisée par l'admittance opposée.
$Z_{AT}={\frac {Z_{AB}.Z_{AC}}{Z_{AB}+Z_{BC}+Z_{AC}}}$ $Z_{BT}={\frac {Z_{AB}.Z_{BC}}{Z_{AB}+Z_{BC}+Z_{AC}}}$ $Z_{CT}={\frac {Z_{AC}.Z_{BC}}{Z_{AB}+Z_{BC}+Z_{AC}}}$	$Y_{AT}={\frac {Y_{AB}.Y_{BC}+Y_{CA}.Y_{AB}+Y_{BC}.Y_{CA}}{Y_{BC}}}$ $Y_{BT}={\frac {Y_{AB}.Y_{BC}+Y_{CA}.Y_{AB}+Y_{BC}.Y_{CA}}{Y_{CA}}}$ $Y_{CT}={\frac {Y_{AB}.Y_{BC}+Y_{CA}.Y_{AB}+Y_{BC}.Y_{CA}}{Y_{AB}}}$

Voir aussi

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