Transformateur électrique

Soit une bobine comportant N spires, à laquelle on applique une tension sinusoïdale de valeur ${\displaystyle u(t)=u_{\mathrm {max} }\cdot \sin(\omega t)={\sqrt {2}}U\cdot \sin(\omega t)}$ avec ${\displaystyle \omega =2\pi f}$, avec f la fréquence f à ses bornes et U la tension efficace. Notons de plus le flux alternatif induit par cette bobine ${\displaystyle \phi }$. On note ${\displaystyle u_{q}}$ la tension induite. L'équation de Maxwell-Faraday donne :

${\displaystyle u_{q}=N{\frac {d\phi }{dt}}}$

En remplaçant ${\displaystyle u_{q}}$ par la valeur de la tension sinusoïdale et en intégrant on obtient :

${\displaystyle \phi ={\frac {{\sqrt {2}}U}{\omega N}}\cos(\omega t)}$

Et donc :

${\displaystyle U={\sqrt {2}}\cdot f\cdot N\cdot \pi \cdot \phi _{\mathrm {max} }\approx 4{,}44\cdot f\cdot N\cdot \phi _{\mathrm {max} }}$[46] - [47].

Maintenant considérons le cas d'un transformateur idéal, par définition il n'a aucune perte et son noyau est infiniment perméable. Autrement dit, le flux magnétique est le même dans les deux bobines. On a donc :

${\displaystyle \phi _{\mathrm {max} }={\frac {U_{1}}{{\sqrt {2}}\cdot f\cdot N_{1}\cdot \pi }}={\frac {U_{2}}{{\sqrt {2}}\cdot f\cdot N_{2}\cdot \pi }}}$

Soit en simplifiant :

${\displaystyle {\frac {U_{1}}{N_{1}}}={\frac {U_{2}}{N_{2}}}}$[43]

Schéma d'un transformateur.

Un transformateur est constitué principalement de deux bobines, liées par un circuit magnétique. On peut le modéliser en notant deux inductances propres L₁ et L₂, ainsi qu'une inductance mutuelle, notée M, ou parfois L₁₂. Sur le schéma les tensions sont notées e₁ et e₂, par la suite on les notera U₁et U₂ comme dans la partie précédente. Les courants I₁ et I₂ sont rentrants. On note enfin ${\displaystyle \phi _{1}}$ le flux au primaire et ${\displaystyle \phi _{2}}$ celui au secondaire. Les résistances sont négligées ici afin de rendre plus lisible les calculs. Au départ on écrira que le flux au primaire vaut :

${\displaystyle \phi _{1}=L_{1}\cdot I_{1}+M\cdot I_{2}}$

Au secondaire :

${\displaystyle \phi _{2}=L_{2}\cdot I_{2}+M\cdot I_{1}}$

En dérivant on obtient le système suivant :

${\displaystyle {\begin{cases}U_{1}=L_{1}{dI_{1} \over dt}+M{dI_{2} \over dt}\\U_{2}=L_{2}{dI_{2} \over dt}+M{dI_{1} \over dt}\end{cases}}}$.

Schéma électrique équivalent d'un transformateur électrique non-idéal où les résistances sont négligées.

On introduit alors le schéma équivalent ci-contre, qui permet de différencier les paramètres liées au flux de fuite et ceux liés à l'inductance mutuelle. Les équations associées à ce schéma sont :

${\displaystyle {\begin{cases}U_{1}=L_{f1}\cdot {\frac {dI_{1}}{dt}}+L_{\mu }\cdot ({\frac {dI_{1}}{dt}}+m{\frac {dI_{2}}{dt}})=(L_{f1}+L_{\mu }){\frac {dI_{1}}{dt}}+m\cdot L_{\mu }{\frac {dI_{2}}{dt}}\\U_{2}=m\cdot U_{\mu }=m\cdot L_{\mu }({\frac {dI_{1}}{dt}}+m{\frac {dI_{2}}{dt}})=m\cdot L_{\mu }{\frac {dI_{1}}{dt}}+m^{2}\cdot L_{\mu }{\frac {dI_{2}}{dt}}\end{cases}}}$.

En identifiant les paramètres du second schéma avec ceux du premier on trouve :

${\displaystyle m={\frac {L_{2}}{M}}}$

${\displaystyle L_{\mu }={\frac {M^{2}}{L_{2}}}={\frac {M}{m}}}$

${\displaystyle L_{f1}=L_{1}-{\frac {M^{2}}{L_{2}}}=L_{1}-L_{\mu }}$

Si on note ${\displaystyle \phi _{1}}$ le flux traversant la bobine primaire et ${\displaystyle \phi _{12}}$ le flux parvenant au secondaire. Pour définir le flux de fuite, on peut dire que c'est le flux produit par le primaire auquel on soustrait le flux arrivant dans le secondaire :

${\displaystyle L_{f1}\cdot I_{1}=N_{1}\cdot \phi _{f1}=N_{1}(\phi _{1}-\phi _{12})}$

Pour rappel, par définition d'une inductance :

${\displaystyle N_{1}\cdot \phi _{1}=L_{1}\cdot I_{1}}$

On définit l'inductance mutuelle M tel que pour le secondaire on ait :

${\displaystyle \Phi {12}=M\cdot I_{1}=N_{2}\cdot \phi _{12}}$

En combinant les deux équations on obtient :

${\displaystyle L_{f1}\cdot I_{1}=L_{1}\cdot I_{1}-{\frac {N_{1}\cdot M}{N_{2}}}\cdot I_{1}}$

Donc :

${\displaystyle L_{f1}=L_{1}-{\frac {M}{m}}}$

Si on recommance le même raisonnement en alimentant par le secondaire, on obtient :

${\displaystyle L_{f2}=L_{2}-m\cdot M}$

D'où :

${\displaystyle M={\sqrt {(L_{1}-L_{f1})(L_{2}-L_{f2})}}}$

Dans le cas idéal les inductances de fuite sont nulles, : ${\displaystyle M={\sqrt {L_{1}\cdot L_{2}}}}$. On définit le coefficient de dispersion de Blondel, aussi appelé coefficient de fuite, s pour noter l'écart avec ce cas :

${\displaystyle \sigma ={\frac {L_{f}}{L_{1}}}=1-{\frac {M^{2}}{L_{1}L_{2}}}}$

Si on ramène toutes les pertes aux primaires. On obtient :

${\displaystyle L_{ftotale,1}=L_{1}-{\frac {M^{2}}{L_{2}}}}$

On remarque que

${\displaystyle L_{ftotale,1}=L_{1}\cdot \sigma }$

On définit de plus le coefficient de couplage k :

${\displaystyle k={\frac {M}{\sqrt {L_{1}L_{2}}}}}$

Si on reprend la première équation de la tension au secondaire, en considérant le transformateur à vide, donc I₂ nul :

${\displaystyle U_{1}=L_{1}{\frac {dI_{1}}{dt}}}$ et ${\displaystyle U_{2}=M{\frac {dI_{1}}{dt}}}$

D'où

${\displaystyle U_{2}={\frac {MU_{1}}{L_{1}}}}$

Soit par définition de m :

${\displaystyle m={\frac {M}{L_{1}}}={\frac {k{\sqrt {L_{1}L_{2}}}}{L_{1}}}=k{\sqrt {\frac {L_{2}}{L_{1}}}}}$

On note « cc » les valeurs en court-circuit. R la résistance des enroulements. Z leur impédance, X l'inductance, P la puissance active, U la tension et I le courant.

${\displaystyle P_{cc}=I_{cc}^{2}\cdot R}$

${\displaystyle Z={\frac {U_{cc}}{I_{cc}}}}$

${\displaystyle X={\sqrt {\left({\frac {U_{cc}}{I_{cc}}}\right)^{2}-R^{2}}}}$

On note ${\displaystyle R_{Fe}}$ la résistance équivalente aux pertes fer, ${\displaystyle X_{\mu }}$ l'inductance principale, ${\displaystyle P_{0}}$ la puissance active à vide, ${\displaystyle U_{1}}$ la tension au primaire, ${\displaystyle I_{Fe}}$ la composante réelle du courant et ${\displaystyle I_{\mu }}$ sa composante imaginaire[63].

${\displaystyle I_{Fe}={\frac {P_{0}}{U_{1}}}}$

${\displaystyle R_{Fe}={\frac {U_{1}}{I_{Fe}}}}$

${\displaystyle X_{\mu }={\frac {U_{1}}{I_{\mu }}}}$

En ce qui concerne ${\displaystyle V_{1}}$, le premier transformateur est branché entre la borne a et c du triphasé, donc :

${\displaystyle V_{tr1}=U_{AC}={\sqrt {3}}Ve^{-j{\frac {\pi }{6}}}}$

Comme le rapport des spires du premier transformateur est égal à ${\displaystyle 1}$,

${\displaystyle V_{1}=V_{tr1}={\sqrt {3}}Ve^{-j{\frac {\pi }{6}}}}$

En ce qui concerne ${\displaystyle V_{2}}$, le second transformateur est branché entre la moitié du bobinage du premier transformateur et la borne b, donc :

${\displaystyle V_{tr2}={\frac {U_{AC}}{2}}-U_{BC}={\frac {\sqrt {3}}{2}}Ve^{-j{\frac {\pi }{6}}}-{\sqrt {3}}Ve^{-j{\frac {\pi }{2}}}}$

${\displaystyle V_{tr2}={\frac {3}{2}}Ve^{j{\frac {\pi }{3}}}}$

Comme le rapport des spires du second transformateur est égal à ${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$,

${\displaystyle V_{2}=V_{tr2}*{\frac {2}{\sqrt {3}}}={\sqrt {3}}Ve^{j{\frac {\pi }{3}}}}$