Spire de courant

En supposant que le courant I ne varie pas dans le temps, le problème vérifie alors les lois de la magnétostatique. On peut alors expliciter une propriété générale : les antisymétries du système permettent de montrer que le champ ${\displaystyle {\vec {B}}}$ n'a pas de composantes selon l'axe ${\displaystyle {\vec {e}}_{\theta }}$; en effet tout plan contenant l'axe Oz est un plan d'antisymétrie du courant et le champ résultant est donc contenu dans ce plan pour tout point M de ce plan. Dans un repère à coordonnées cylindriques ${\displaystyle ({\vec {e}}_{r},{\vec {e}}_{\theta },{\vec {e}}_{z})}$, cela se traduit par l'écriture suivante :

${\displaystyle {\vec {B}}(r,\theta ,z)=B_{r}(r,z){\vec {e}}_{r}+B_{z}(r,z){\vec {e}}_{z}}$.

L'axe Oz étant l'intersection des plans d'antisymétrie le champ pour M sur Oz est dirigé suivant Oz axe de la spire.

La loi de Biot et Savart est relativement simple à appliquer au centre O de la spire. En effet, il suffit de sommer la contribution ${\displaystyle {\vec {dB}}}$ de chaque petit élément de longueur ${\displaystyle {\vec {dl}}}$ de la spire :

${\displaystyle {\vec {dB}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi R^{2}}}Idl{\vec {e}}_{z}}$

où ${\displaystyle \mu _{0}}$ est la constante magnétique (anciennement appelée perméabilité du vide)[2], I l'intensité du courant passant dans le spire de courant et R le rayon de la spire de courant.

En faisant la somme de chacune de ces contributions, on obtient :

${\displaystyle {\vec {B}}(O)={\frac {\mu _{0}I}{2R}}{\vec {e}}_{z}}$.

On peut remarquer que ce champ, comme on aurait pu le prévoir, augmente lorsqu'on élève la valeur du courant et lorsque le rayon de la spire diminue.

Par exemple, pour un courant de 0,1 A parcourant une spire de rayon 1 cm, cela donne un champ magnétique d'environ 10⁻⁵ T. Pour augmenter cette valeur, une méthode simple est d'effectuer plusieurs tours avec le fil électrique : c'est le principe des bobines et du solénoïde.

Pour obtenir la valeur du champ sur l'axe de la spire en un point M tel que OM = z, il faut utiliser la même méthode que pour le paragraphe précédent, c'est-à-dire additionner les champs créés par des éléments de la spire. En définissant l'angle ${\displaystyle \alpha }$ par ${\displaystyle \tan(\alpha )=z/R}$ ,

on obtient le résultat suivant grâce à la loi de Biot et Savart :

${\displaystyle {\vec {B}}(z)={\vec {B}}(O)\cos ^{3}(\alpha )}$.

Cette expression montre que, sur l'axe de la spire, le champ créé diminue lorsqu'on s'éloigne du centre O. On obtient la relation lorsque z devient très grand devant R :

${\displaystyle {\vec {B}}(z)\simeq {\frac {\mu _{0}I}{2}}{\frac {R^{2}}{z^{3}}}{\vec {e}}_{z}}$.

On retrouve ainsi une forme analogue au dipôle magnétique.

Dans ce cas, on retrouve l'expression obtenue pour le moment magnétique d'un dipôle.

On retrouve l'expression d'un dipôle magnétique oscillant.

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