Magnétostatique

Il arrive souvent qu’on ait affaire à des systèmes présentant des surfaces où l’aimantation est discontinue. Par exemple, si un aimant avec aimantation uniforme est plongé dans le vide, l’aimantation à la surface de l’aimant passe de façon discontinue d’une valeur finie (à l’intérieur) à zéro (à l’extérieur). Dans ce cas, la densité de courant lié ∇×M peut être infinie. Dans un tel cas on remplace à la surface la densité volumique de courant lié par une densité surfacique :

${\displaystyle \mathbf {j} _{ms}=(\mathbf {M} _{1}-\mathbf {M} _{2})\times \mathbf {n} _{12}}$

où M₁ et M₂ sont les aimantations de chaque côté de la surface de discontinuité et n₁₂ est le vecteur unitaire normal à cette surface, orienté de 1 vers 2. L’effet sur le champ de ce courant surfacique est d’induire une discontinuité de B :

${\displaystyle \Delta \mathbf {B} =\mu _{0}\,\Delta \mathbf {M} _{\parallel }}$

où

• ΔM et ΔB représentent les discontinuités de M et B (comptées dans le même sens) ;
• ΔM_∥ représente la partie de ΔM qui est parallèle à la surface.

Cette discontinuité n’affecte que la partie de B parallèle à la surface. La partie normale de B reste quant à elle continue.

Deux relations intéressantes peuvent être obtenues en appliquant le théorème de Stokes aux relations locales. La relation ∇⋅B = 0 nous donne :

${\displaystyle \int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}\mathbf {B} \mathrm {d} \mathbf {S} =0}$

où l’intégrale, qui s’étend sur une surface fermée S, est le flux sortant de B. Il s’agit du théorème de flux-divergence. L’autre relation s’obtient en intégrant ∇×B = μ₀j sur une surface ouverte S :

${\displaystyle \oint _{\!\!\!\!\partial S}\mathbf {B} \mathrm {d} \mathbf {l} =\mu _{0}\iint _{S}\mathbf {j} \mathrm {d} \mathbf {S} }$

où l’intégrale de gauche est la circulation de B sur le contour de S. Cette relation est connue sous le nom de théorème d'Ampère. Le membre de droite s’interprète simplement comme le courant traversant la surface.

Ces relations intégrales permettent souvent de calculer B simplement dans les situations de haute symétrie.

Soit à calculer le champ créé par un conducteur rectiligne infini. Des considérations de symétrie donnent l’orientation du champ : celui-ci tourne dans des plans perpendiculaires au fil conducteur. Son module peut être calculé en appliquant le théorème d’Ampère à la surface S délimitée par une ligne de champ de rayon a :

${\displaystyle \oint _{\!\!\!\!\partial S}\mathbf {B} \mathrm {d} \mathbf {l} =2\,\pi \,a\,B=\mu _{0}\,I}$

où I est le courant transporté par le fil. On en déduit le module de B :

${\displaystyle B={\frac {\mu _{0}\,I}{2\,\pi \,a}}}$.

On voit que le champ décroît en proportion inverse de la distance au fil.

La divergence de B étant nulle, on peut faire dériver B d’un potentiel vecteur A :

${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$.

Pour assurer l’unicité de A, on le contraint en général à respecter la jauge de Coulomb :

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} =0}$.

Moyennant quoi, A est solution de l’équation de Poisson :

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} +\mu _{0}\,\mathbf {j} =\mathbf {0} }$.

On peut montrer que A est donné par l’intégrale

${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {\mu _{0}}{4\,\pi }}\iiint {\frac {\mathbf {j} }{r}}\mathrm {d} v}$

où l’intégrale s’étend à tout l’espace (ou du moins aux zones où j ≠ 0) et :

• r désigne la distance entre le point courant de l’intégrale et celui où A est calculé ;
• dv est l’élément de volume.

De la même manière, B est donné par :

${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}}{4\,\pi }}\iiint {\frac {\mathbf {j} \times \mathbf {r} }{r^{3}}}\mathrm {d} v}$

où :

• r est le vecteur allant du point courant de l’intégrale à celui où B est calculé ;
• r est le module de r.

Cette dernière relation est connue sous le nom de loi de Biot et Savart.

Dans le cas où il y a de la matière aimantée, il faut bien sûr tenir compte des courants liés en remplaçant j par j + ∇×M. En présence de courants liés de surface, il faut ajouter aux intégrales de volume des intégrales de surface qui se déduisent des précédentes par la substitution

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {M} \,\mathrm {d} v\longmapsto \mathbf {j} _{ms}\,\mathrm {d} S}$

Une situation rencontrée couramment est celle où le courant circule dans un circuit filiforme, et où on néglige la section du fil. Dans ce cas, les intégrales volumiques pour A et B sont remplacées par des intégrales linéiques le long du fil moyennant la substitution

${\displaystyle \mathbf {j} \,\mathrm {d} v\longmapsto I\,\mathrm {d} \mathbf {l} }$

où I est le courant dans le fil et dl l’élément de longueur, orienté selon I.

Lignes de champ autour d'une spire de courant.

Fil infini :

On peut reprendre l’exemple précédent et calculer le champ créé par un fil infini avec la loi de Biot et Savart :

${\displaystyle B={\frac {\mu _{0}\,I}{4\,\pi }}\int \cos(\theta ){\frac {\mathrm {d} l}{r^{2}}}={\frac {\mu _{0}I}{4\,\pi }}\int {\frac {1}{a}}\mathrm {d} (\sin(\theta ))={\frac {\mu _{0}\,I}{2\,\pi \,a}}}$.

Autres exemples :

• Champ créé sur l’axe d’une spire circulaire de rayon R :

${\displaystyle B={\frac {\mu _{0}\,I}{2}}{\frac {R^{2}}{(R^{2}+z^{2})^{3/2}}}}$

• Champ créé par un solénoïde infiniment long :

${\displaystyle B=\mu _{0}\,n_{1}\,I}$ à intérieur du solénoïde, le champ étant nul à l’extérieur. La quantité n₁ désigne le nombre de spires par unité de longueur.

En pratique, la charge magnétique se trouve souvent sous forme de charge surfacique localisée sur les surfaces de l’aimant. Cette charge surfacique découle des discontinuités de la composante de M normale à la surface, où -∇⋅M est localement infini. Les surfaces ainsi chargées sont appelées pôles de l’aimant. La surface chargée positivement est le pôle nord, celle chargée négativement est le pôle sud. Sur ces surfaces, on remplace la densité volumique de charge par une densité surfacique :

${\displaystyle \sigma _{m}=(\mathbf {M} _{1}-\mathbf {M} _{2})\cdot \mathbf {n} _{12}}$.

Cette charge surfacique a pour effet d’induire une discontinuité de H :

${\displaystyle \Delta \mathbf {H} =-\Delta \mathbf {M} _{\perp }}$

où ΔM_⟂ est la partie de ΔM qui est normale à la surface. Cette discontinuité n’affecte que la partie de H normale à la surface. La partie parallèle de H reste quant à elle continue.

Comme dans le cas de B, ces relations découlent de l’application du théorème de Stokes aux relations locales. Elles permettent aussi de calculer H dans des cas de haute symétrie. L’intégration de ∇⋅H = ρ_m sur un volume fini V donne :

${\displaystyle \int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{\partial V}\mathbf {H} \mathrm {d} \mathbf {S} =\iiint _{V}\rho _{m}\mathrm {d} v}$

où l’intégrale de gauche, qui s’effectue sur la surface délimitant V, est le flux sortant de H. Le membre de droite n’est autre que la charge totale contenue dans le volume. L’autre relation s’obtient en intégrant ∇×H = j sur une surface ouverte S :

${\displaystyle \oint _{\!\!\!\!\partial S}\mathbf {H} \mathrm {d} \mathbf {l} =\iint _{S}\mathbf {j} \mathrm {d} \mathbf {S} }$

où l’intégrale de gauche est la circulation de H sur le contour de S. Ceci est une version du théorème d'Ampère écrite pour H.

En pratique, l’approche coulombienne est privilégiée dans les situations où le champ est engendré exclusivement par de la matière aimantée (des aimants), en l’absence de courants électriques. Nous nous placerons par la suite dans ce cas où on a ∇×H = 0. Dans le cas général où il y aurait à la fois des courants et des aimants, on calculerait séparément la contribution à H provenant des courants (par une approche ampérienne) et celle provenant des aimants (par l’approche coulombienne).

Puisqu’on a supposé ∇×H = 0 (pas de courants), on peut faire dériver H d’un potentiel scalaire φ par :

${\displaystyle \mathbf {H} =-\nabla \phi }$

moyennant quoi φ est solution de l’équation de Poisson :

${\displaystyle \nabla ^{2}\phi +\rho _{m}=0}$.

Le fait que H dérive d’un potentiel scalaire alors que B dérive d’un potentiel vecteur vaut souvent à l’approche coulombienne la faveur des numériciens.

On montre, de même qu’en électrostatique, que φ et H sont donnés par les intégrales :

${\displaystyle \phi ={\frac {1}{4\pi }}\iiint {\frac {\rho _{m}}{r}}\mathrm {d} v}$

${\displaystyle \mathbf {H} ={\frac {1}{4\pi }}\iiint \rho _{m}{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}~\mathrm {d} v}$.

Dans le cas, fréquent, où il y a des charges de surface, il faut ajouter à ces intégrales des contributions de surface qui s’obtiennent par la substitution :

${\displaystyle \rho _{m}\,\mathrm {d} v\longmapsto \sigma _{m}\,\mathrm {d} S}$.

• Magnétisme: Fondements, ouvrage collectif dirigé par Étienne Du Trémolet de Lacheisserie, EDP Sciences, (ISBN 2-86883-463-9).
• (en) Hysteresis in magnetism: for physicists, materials scientists, and engineers, par Giorgio Bertotti, Academic Press.