Constante d'Euler-Mascheroni

Constante gamma (somme des aires des surfaces bleues) comme intégrale de 1/E(x) – 1/x de 1 à ∞.

Constante gamma comme intégrale de -ln(ln(1/x)) de 0 à 1.

La constante d'Euler-Mascheroni intervient dans plusieurs intégrales :

${\displaystyle \gamma =\int _{1}^{\infty }\left({1 \over E(x)}-{1 \over x}\right)\,{\rm {d}}x}$ (où E est la fonction partie entière)

${\displaystyle =1-\int _{1}^{\infty }\ {\frac {x-E(x)}{x^{2}}}\,{\rm {d}}x}$

${\displaystyle =-\int _{0}^{1}{\ln \ln \left({\frac {1}{x}}\right)}\,{\rm {d}}x}$

${\displaystyle =\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{\ln(x)}}+{\frac {1}{1-x}}\right)\,{\rm {d}}x}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\infty }{\left({\frac {1}{1-\mathrm {e} ^{-x}}}-{\frac {1}{x}}\right)\mathrm {e} ^{-x}}\,{\rm {d}}x}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\infty }{{\frac {1}{x}}\left({\frac {1}{1+x}}-\mathrm {e} ^{-x}\right)}\,{\rm {d}}x}$.

Il est possible (Sondow 2003, Sondow 2005) d'exprimer γ sous forme d'une intégrale double (avec ici la série équivalente) :

${\displaystyle \gamma =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1-x\,y)\ln(x\,y)}}\,{\rm {d}}x\,{\rm {d}}y=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-\ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)\right)}$.

Une autre constante s'exprime de façon analogue (Sondow 2005) :

${\displaystyle \ln \left({\frac {4}{\pi }}\right)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1+x\,y)\ln(x\,y)}}\,{\rm {d}}x\,{\rm {d}}y=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\left({\frac {1}{n}}-\ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)\right)}$.

Ces deux constantes sont également liées par deux séries (Sondow 2010) :

${\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)+N_{0}(n)}{2n(2n+1)}}}$

${\displaystyle \ln \left({\frac {4}{\pi }}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)-N_{0}(n)}{2n(2n+1)}}}$

où N₁(n) et N₀(n) sont le nombre de 1 et de 0 dans l'écriture de n en base 2.

On trouvera d'autres expressions non classiques de la constante d'Euler dans l'article « Mesure secondaire ».

La constante d'Euler-Mascheroni possède des liens avec d'autres fonctions analytiques particulières :

• Fonction gamma :
  • ${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-t}t^{z-1}\,{\rm {d}}t={\frac {\mathrm {e} ^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {n\mathrm {e} ^{z/n}}{n+z}}}$,
  • ${\displaystyle \Gamma (x)={\frac {1}{x}}-\gamma +o(1)}$ quand x tend vers 0,
  • ${\displaystyle \Gamma '(1)=\int _{0}^{\infty }{\mathrm {e} ^{-x}\ln x}\,{\rm {d}}x=-\gamma }$,
  • ${\displaystyle \Gamma ''(1)=\int _{0}^{\infty }{\mathrm {e} ^{-x}(\ln(x))^{2}}\,{\rm {d}}x=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}}$,
  • ${\displaystyle \Gamma '(1/2)=4\int _{0}^{\infty }{\mathrm {e} ^{-x^{2}}\ln(x)}\,{\rm {d}}x=-(\gamma +2\ln 2){\sqrt {\pi }}}$ ;
• Fonction exponentielle intégrale :
  • ${\displaystyle E_{1}(z)=\int _{z}^{\infty }{\mathrm {e} ^{-t} \over t}\,{\rm {d}}t=\int _{1}^{\infty }{\mathrm {e} ^{-zt} \over t}\,{\rm {d}}t=\mathrm {e} ^{-z}\int _{0}^{\infty }{\mathrm {e} ^{-zt} \over {1+t}}\,{\rm {d}}t}$

    ${\displaystyle ={\mathrm {e} ^{-z} \over z}\int _{0}^{\infty }{\mathrm {e} ^{-t} \over {1+t/z}}\,{\rm {d}}t=-\ln z-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1}z^{n} \over n\cdot n!}}$;

• Fonction logarithme intégral :
  • ${\displaystyle {\rm {pour}}\;x>1,\ \mathrm {li} (x)=\gamma +\ln(\ln(x))+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln(x)^{n}}{n\cdot n!}}}$ ;
• Fonction cosinus intégral :
  • ${\displaystyle \forall x>0,\ \mathrm {Ci} (x)=\gamma +\ln(x)+\sum _{n=1}^{+\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!(2n)}}}$ ;
• Fonction psi :
  • ${\displaystyle \psi (z)={\Gamma '(z) \over \Gamma (z)}=-\gamma -{1 \over z}+\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n}-{1 \over n+z}}$,

    en particulier, ${\displaystyle \psi (1)=\Gamma '(1)=-\gamma }$ et ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{1 \over k}=\psi (n+1)+\gamma }$ ;

• Fonction zêta de Riemann :
  • ${\displaystyle \zeta (1+x)={\frac {1}{x}}+\gamma +o(1)}$ quand x tend vers 0,
  • ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n}}(\zeta (n)-1)=1-\gamma }$,
  • ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)2^{2n}}}(\zeta (2n+1)-1)=1-\gamma -\ln {\frac {3}{2}}}$,
  • ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n}}\zeta (n)=\gamma }$.

Dans ce paragraphe, p désigne un nombre premier.

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\ln(n)}}\prod _{p\leq n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)^{-1}=\mathrm {e} ^{\gamma }}$ (théorème de Mertens).
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\ln(n)}}\prod _{p\leq n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right)={\frac {6\mathrm {e} ^{\gamma }}{\pi ^{2}}}}$.
• Soit ${\displaystyle \Lambda }$ la fonction de von Mangoldt, définie sur les entiers par ${\displaystyle \Lambda (n)=\ln(p)}$ si n est une puissance du nombre premier p et ${\displaystyle \Lambda (n)=0}$ sinon. Alors ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)-1}{n}}=-2\gamma }$.
• Soit ${\displaystyle d(n)}$ le nombre de diviseurs de n (y compris 1 et n lui-même). Alors ${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}d(k)=\ln(n)+2\gamma -1+O\left({\frac {1}{\sqrt {n}}}\right)}$ quand n tend vers l'infini[2].
• Soit ${\displaystyle \sigma (n)}$ la somme des diviseurs de l'entier n. Alors ${\displaystyle \limsup {\frac {\sigma (n)}{n\ln(\ln(n))}}=\mathrm {e} ^{\gamma }}$, où lim sup désigne la limite supérieure de la suite[2].
• Soit ${\displaystyle \varphi }$ la fonction indicatrice d'Euler. Alors ${\displaystyle \liminf {\frac {\varphi (n)\ln(\ln(n))}{n}}=\mathrm {e} ^{-\gamma }}$, où lim inf désigne la limite inférieure de la suite[2].

• Constante de Brun
• Constante de Meissel-Mertens
• Table de constantes mathématiques

• (en) G. H. Hardy et E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers (1^re éd. 1938) [détail des éditions], pour les formules en relation avec les fonctions arithmétiques.
• (en) Julian Havil (de), Gamma : Exploring Euler's Constant, Princeton, PUP, 2003, 266 p. (ISBN 0-691-09983-9, lire en ligne)
• (en) Jeffrey Lagarias, Euler's constant: Euler's work and modern developments, 98 pages, 258 références. (2013) [lire en ligne]
• Matyáš Lerch, « Expressions nouvelles de la constante d'Euler », Sitzungsberichte der Königlich Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften, vol. 42,‎ 1897
• (en) Jonathan Sondow, « Criteria for irrationality of Euler's constant », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 131,‎ 2003, p. 3335-3344 (arXiv math.NT/0209070)
• (en) Jonathan Sondow, « Double integrals for Euler's constant and ln 4/π and an analog of Hadjicostas's formula », Amer. Math. Month., vol. 112,‎ 2005, p. 61-65 (arXiv math.CA/0211148)
• (en) Jonathan Sondow, « New Vacca-type rational series for Euler's constant and its 'alternating' analog ln 4/π », Additive Number Theory,‎ 2010, p. 331-340 (arXiv math.NT/0508042)
• (en) H. M. Srivastava et Junesang Choi, Zeta and q-Zeta Functions and Associated Series and Integrals, Amsterdam/Boston, Elsevier, 2012 (ISBN 978-0-12-385218-2, lire en ligne), p. 13-22

• (en) Eric W. Weisstein, « Euler-Mascheroni Constant », sur MathWorld
• (en) « Euler's Constant γ=0.577... Its Mathematics and History » par Stefan Krämer, de l'université de Göttingen
• (en) Simon Plouffe, « Miscellaneous Mathematical Constants - 170000 digits of Euler or gamma »