Constantes de Stieltjes

En utilisant la formule intégrale de Cauchy on trouve :

${\displaystyle \gamma _{n}={\frac {(-1)^{n}n!}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\mathrm {e} ^{-n\mathrm {i} x}\zeta \left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}+1\right)\mathrm {d} x.}$

Et une comparaison série-intégrale montre que :

${\displaystyle |\gamma _{n}|\leq \left({\frac {n}{\mathrm {e} }}\right)^{n}}$.

Cela dit, c'est un majorant d'une précision assez médiocre.

Matsuoka, en 1985[1], a montré que pour n > 4,

${\displaystyle |\gamma _{n}|\leq 10^{-4}\mathrm {e} ^{n\ln \ln n}=10^{-4}(\ln n)^{n}.}$

On sait aussi qu'il y a asymptotiquement la moitié de ces nombres qui sont positifs.

Voici les quelques premières valeurs[2] :

Valeurs approchées des coefficients de Stieltjes

	Valeur
${\displaystyle \gamma =\gamma _{0}}$	0,577 215 664 901 532 860 606 512 090 082
${\displaystyle \gamma _{1}}$	−0,0728158454836767300000000000000
${\displaystyle \gamma _{2}}$	−0,00969036319287232000000000000000
${\displaystyle \gamma _{3}}$	0,00205383442030334600000000000000
${\displaystyle \gamma _{4}}$	0,00232537006546730000000000000000
${\displaystyle \gamma _{5}}$	0,000793323817301062700000000000000
${\displaystyle \gamma _{6}}$	−0,000238769345430199600000000000000
${\displaystyle \gamma _{7}}$	−0,000527289567057751000000000000000
${\displaystyle \gamma _{8}}$	−0,000352123353803039500000000000000
${\displaystyle \gamma _{9}}$	−0,0000343947744180880500000000000000
${\displaystyle \gamma _{10}}$	0,000205332814909064800000000000000
${\displaystyle \gamma _{11}}$	0,000270184439543903500000000000000
${\displaystyle \gamma _{12}}$	0,000167272912105140200000000000000
${\displaystyle \gamma _{13}}$	−0,0000274638066037601580000000000000
${\displaystyle \gamma _{14}}$	−0,000209209262059299960000000000000
${\displaystyle \gamma _{15}}$	−0,000283468655320241400000000000000

Plus généralement, on définit les constantes γ_n(a) comme coefficients du développement en série de Laurent de la fonction zêta de Hurwitz :

${\displaystyle \zeta (s,a)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}(a)(s-1)^{n}.}$

Une formule dite de réflexion, souvent attribuée à Almkvist et Meurman (qui l'ont découverte dans les années 1990), avait en fait été obtenue par Carl Johan Malmsten dès 1846[3] : ${\displaystyle \gamma _{1}{\biggl (}{\frac {m}{n}}{\biggr )}-\gamma _{1}{\biggl (}1-{\frac {m}{n}}{\biggr )}=2\pi \sum _{l=1}^{n-1}\sin {\frac {2\pi ml}{n}}\cdot \ln \Gamma {\biggl (}{\frac {l}{n}}{\biggr )}-\pi (\gamma +\ln 2\pi n)\cot {\frac {m\pi }{n}}}$ (m et n entiers positifs avec m<n).