Fonction zêta de Hurwitz

${\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{\operatorname {\Gamma } (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}\operatorname {e} ^{-tq}}{1-\operatorname {e} ^{-t}}}\,\mathrm {d} t}$,

où Γ désigne la fonction Gamma[1].

La fonction ${\displaystyle \zeta (\cdot ,q)}$ s'étend en une fonction méromorphe, d'unique pôle s = 1, simple, avec un résidu égal à 1[2].

Son développement de Laurent en ce pôle est

${\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}(q)(s-1)^{n}}$

où les coefficients

${\displaystyle \gamma _{n}(q)=\lim _{N\to \infty }\left\{\left(\sum _{k=0}^{N}{\frac {\ln ^{n}(k+q)}{k+q}}\right)-{\frac {\ln ^{n+1}(N+q)}{n+1}}\right\},\qquad n\in \mathbb {N} }$[3]

sont les « constantes de Stieltjes généralisées » (les constantes de Stieltjes usuelles ${\displaystyle \gamma _{n}(1)}$ correspondent à la fonction zêta de Riemann).

La généralisation correspondante de la formule de Jensen-Franel est la formule de Hermite[4] :

${\displaystyle \gamma _{n}(q)=\left({\frac {1}{2q}}-{\frac {\ln q}{n+1}}\right)\ln ^{n}q-\mathrm {i} \int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{\operatorname {e} ^{2\pi x}-1}}\left\{{\frac {\ln ^{n}(q-\mathrm {i} x)}{q-\mathrm {i} x}}-{\frac {\ln ^{n}(q+\mathrm {i} x)}{q+\mathrm {i} x}}\right\}}$.

La constante d'indice 0 est l'opposée de la fonction digamma[4] :

${\displaystyle \gamma _{0}(q)=-\psi (q)=-{\frac {\Gamma '(q)}{\Gamma (q)}}}$.

La formule de Hurwitz[3] - [5] est le théorème suivant, valide pour 0 < q < 1 et Re(s) > 0, ainsi que pour q = 1 et Re(s) > 1 :

${\displaystyle \zeta (1-s,q)={\frac {\Gamma (s)}{(2\pi )^{s}}}\left[{\rm {e}}^{-{\rm {i}}\pi s/2}F(q,s)+{\rm {e}}^{{\rm {i}}\pi s/2}F(-q,s)\right]}$

où

${\displaystyle F(q,s):=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi {\rm {i}}kq)}{k^{s}}}={\mbox{Li}}_{s}({\rm {e}}^{2\pi {\rm {i}}q})}$,

Li_s étant la fonction polylogarithme.

L'équation fonctionnelle relie les valeurs de la fonction zêta sur le côté gauche — et droit — du plan complexe. Pour les nombres entiers ${\displaystyle 1\leq m\leq n,}$

${\displaystyle \zeta \left(1-s,{\frac {m}{n}}\right)={\frac {2\Gamma (s)}{(2\pi n)^{s}}}\sum _{k=1}^{n}\cos \left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {2\pi km}{n}}\right)\;\zeta \left(s,{\frac {k}{n}}\right)}$

reste valable pour toutes les valeurs de s.

La dérivée partielle de la fonction zêta est une suite de Sheffer :

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q}}\zeta (s,q)=-s\zeta (s+1,q)}$.

Ainsi, la série de Taylor peut être écrite comme suit :

${\displaystyle \zeta (s,x+y)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}{\frac {\partial ^{k}}{\partial x^{k}}}\zeta (s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose s-1}(-y)^{k}\zeta (s+k,x)}$.

La transformée de Fourier discrète de la fonction zêta de Hurwitz par rapport à l'ordre s est la fonction chi de Legendre.

La fonction zêta de Hurwitz apparaît principalement en théorie des nombres, mais aussi dans les statistiques appliquées ; voir la loi de Zipf et la loi de Zipf-Mandelbrot (en).