Suite de Sheffer

Soit p_n une suite de polynômes (de variable x) telle que deg(p_n) = n. On définit un opérateur linéaire Q par : Q p_n(x) = np_n–1(x) ; la famille des p_n étant une base, ceci définit Q pour tous les polynômes.

La suite p_n est une suite de Sheffer si Q est « invariant par translation », c'est-à-dire si f (x) = g(x + a) (pour tout x) entraîne (Qf)(x) = (Qg)(x + a), autrement dit si Q commute avec tous les opérateurs de translation (on dit qu'un tel Q est un delta opérateur (en)).

L'ensemble des suites de Sheffer est un groupe pour l'opération de composition ombrale, définie de la manière suivante : soit { p_n(x) : n = 0, 1, 2, 3, … } et { q_n(x) : n = 0, 1, 2, 3, … } deux suites polynomiales, avec

${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k}\ {\mbox{et}}\ q_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}b_{n,k}x^{k}.}$

Alors leur composé ombral ${\displaystyle p\circ q}$ est la suite polynomiale dont le n-ème terme est

${\displaystyle (p\circ q)_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}q_{k}(x)=\sum _{0\leq \ell \leq k\leq n}a_{n,k}b_{k,\ell }x^{\ell }}$.

L'élément neutre de ce groupe est la base canonique des monômes ${\displaystyle e_{n}(x)=x^{n}=\sum _{k=0}^{n}\delta _{n,k}x^{k}}$ (où ${\displaystyle \delta }$ est le symbole de Kronecker).

Deux sous-groupes importants sont celui des suites d'Appell (contenant par exemple les polynômes d'Appell), pour lesquelles l'opérateur Q est la différentiation usuelle, et celui des suites de type binomial, qui sont celles vérifiant l'identité

${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)p_{n-k}(y).}$

Une suite de Sheffer { p_n(x): n = 0, 1, 2, ... } est de type binomial si et seulement si ${\displaystyle p_{0}(x)=1\,}$ et ${\displaystyle p_{n}(0)=0{\mbox{ pour }}n\geq 1.\,}$

Le groupe des suites d'Appell est abélien, et c'est un sous-groupe normal ; le groupe des suites de type binomial n'est ni abélien, ni normal. Le groupe des suites de Sheffer est le produit semi-direct de ces deux sous-groupes ; il en résulte que chaque classe de suites de Sheffer suivant le groupe des suites d'Appell contient exactement une suite de type binomial. Si s_n(x) est une suite de Sheffer et p_n(x) est la suite de type binomial dans la même classe, alors

${\displaystyle s_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)s_{n-k}(y).}$

En particulier, si { s_n(x) } est une suite d'Appell,

${\displaystyle s_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}s_{n-k}(y).}$

Les suites des polynômes d'Hermite et des polynômes de Bernoulli sont des exemples de suites d'Appell.

Une suite de Sheffer p_n est caractérisée par sa série génératrice exponentielle

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p_{n}(x)}{n!}}t^{n}=A(t)\exp(xB(t))\,}$

où A et B sont des séries formelles de puissances de t. Les suites de Sheffer sont ainsi des exemples de polynômes d'Appell généralisés et satisfont par conséquent à une relation de récurrence associée.

Parmi les suites de polynômes qui sont des suites de Sheffer, on trouve la suite des monômes ${\displaystyle (x^{n})}$, mais aussi :

• les polynômes d'Abel ;
• les polynômes de Bernoulli ;
• les polynômes d'Hermite ;
• les polynômes de Laguerre ;

ainsi que les polynômes de Mahler, les polynômes de Mott, etc.

• Calcul ombral

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Sheffer sequence » (voir la liste des auteurs).

• (en) G.-C. Rota, P. Doubilet, C. Greene, D. Kahaner, A. Odlyzko and R. Stanley, Finite Operator Calculus, Academic Press, 1975 (ISBN 0-12-596650-4)
• (en) I. M. Sheffer, « Some Properties of Polynomial Sets of Type Zero », Duke Mathematical Journal, vol. 5,‎ 1939, p. 590–622 (DOI 10.1215/S0012-7094-39-00549-1)
• (en) Steven Roman, The Umbral Calculus, Academic Press Inc. Harcourt Brace Jovanovich Publishers, 1984, 193 p. (ISBN 978-0-12-594380-2, MR 741185 Reprinted by Dover, 2005, lire en ligne)

• (en) Eric W. Weisstein, « Sheffer Sequence », sur MathWorld