Type binomial

• En conséquence de cette définition, la formule du binôme de Newton peut être énoncée en disant que la suite des monômes {x ⁿ : n = 0, 1, 2, … } est de type binomial.

• La suite des factorielles décroissantes est définie par

$${\displaystyle (x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdot \cdots \cdot (x-n+1).}$$

De même les factorielles croissantes

$${\displaystyle x^{(n)}=x(x+1)(x+2)\cdot \cdots \cdot (x+n-1)}$$

• Les polynômes d'Abel
  $${\displaystyle p_{n}(x)=x(x-an)^{n-1}}$$

  
• Les polynômes de Touchard
  $${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}S(n,k)x^{k}}$$

  

On peut montrer qu'une suite polynomiale {p_n(x) : n = 0, 1, 2, … } est de type binomial si et seulement si les trois conditions suivantes sont remplies :

• La transformation linéaire sur l'espace des polynômes en x est caractérisée par
  $${\displaystyle p_{n}(x)\mapsto np_{n-1}(x)}$$

  
• p₀(x) = 1 pour tout x, et
• p_n(0) = 0 pour n > 0.

(la propriété d'équivariance par décalage de cet opérateur revient à dire que la suite polynomiale est une suite de Sheffer ; l'ensemble des suites de type binomial est proprement inclus dans l'ensemble des suites de Sheffer).

Pour toute suite a₁, a₂, a₃, … de scalaires, soit

${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1})x^{k}}$

où B_{n, k} (a₁, …, a_{n − k +1}) est le polynôme de Bell . Alors cette suite polynomiale est de type binomial. On remarque que pour chaque n ≥ 1,

${\displaystyle p_{n}'(0)=a_{n}.}$

Voici le résultat principal de cette section :

Un résultat dans Mullin et Rota, répété dans Rota, Kahaner et Odlyzko indique que chaque suite polynomiale {p_n(X)}_n de type binomial est déterminé par la suite {p_n′(0)}_n, mais ces sources ne mentionnent pas les polynômes de Bell.

Cette suite de scalaires est également liée à l'opérateur delta. Soit

${\displaystyle P(t)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}t^{n}.}$

Alors

${\displaystyle P^{-1}\left({\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\right)}$

est l'opérateur delta de cette suite.

Pour les suites a_n, b_n, n = 0, 1, 2, …, on définit une méthode de convolution par

${\displaystyle (a{\mathbin {\diamondsuit }}b)_{n}=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}a_{j}b_{n-j}.}$

Soit ${\displaystyle a_{n}^{k\diamondsuit }}$ le n^e terme de la suite

${\displaystyle \underbrace {a\mathbin {\diamondsuit } \cdots \mathbin {\diamondsuit } a} _{k{\text{ facteurs}}}.}$

Alors pour toute suite a_i, i = 0, 1, 2, ..., avec a₀ = 0, la suite définie par p₀(x) = 1 et

${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}{a_{n}^{k\diamondsuit }x^{k} \over k!}\,}$

pour n ≥ 1, est de type binomial, et toute suite de type binomial est de cette forme.

Les suites polynomiales de type binomial sont précisément celles dont les fonctions génératrices sont des séries de puissances formelles (pas nécessairement convergentes) de la forme

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{p_{n}(x) \over n!}t^{n}=\mathrm {e} ^{xf(t)}}$

où f(t) est une série formelle de puissances dont le terme constant est nul et dont le terme du premier degré n'est pas nul. Cela peut être démontré par l'utilisation de la version en série de puissance de la formule de Faà di Bruno qui

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=1}^{\infty }{p_{n}'(0) \over n!}t^{n}.}$

L'opérateur delta de la suite est f ^{− 1}(D), de sorte que

${\displaystyle f^{-1}(D)p_{n}(x)=np_{n-1}(x).}$

L'ensemble de toutes les suites polynomiales de type binomial est un groupe dans lequel l'opération de groupe est la "composition ombrale" de suites polynomiales. Cette opération est définie comme suit. Supposons que {p_n(X) : n = 0, 1, 2, 3, ... } et {q_n(X) : n = 0, 1, 2, 3, ... } sont des suites de polynômes, et

${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}\,x^{k}.}$

Alors la composition ombrale p o q est la suite polynomiale dont le n ième terme est

${\displaystyle (p_{n}\circ q)(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}\,q_{k}(x)}$

(l'indice n apparaît dans p_n, puisqu'il s'agit du terme n de cette suite, mais pas dans q, puisque cela fait référence à la suite dans son ensemble plutôt qu'à l'un de ses termes).

Avec l'opérateur delta défini par une série de puissance dans D comme ci-dessus, la bijection naturelle entre les opérateurs delta et les suites polynomiales de type binomial, également définies ci-dessus, est un isomorphisme de groupe, dans lequel l'opération de groupe sur la série de puissance est la composition formelle de la puissance formelle série.

La suite κ_n de coefficients des termes du premier degré dans une suite polynomiale de type binomial peut être appelée les cumulants de la suite polynomiale. On peut montrer que toute la suite polynomiale de type binomial est déterminée par ses cumulants. Ainsi

${\displaystyle p_{n}'(0)=\kappa _{n}=}$ le n^e cumulant

et

${\displaystyle p_{n}(1)=\mu _{n}'=}$ le n^e instant.

Ce sont des cumulants « formels » et des moments « formels », par opposition aux cumulants d'une distribution de probabilité et aux moments d'une distribution de probabilité.

Soit

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\kappa _{n}}{n!}}t^{n}}$

être la fonction (formelle) génératrice des cumulants. Alors

${\displaystyle f^{-1}(D)}$

est l'opérateur delta associé à la suite polynomiale, c'est-à-dire qu'on a

${\displaystyle f^{-1}(D)p_{n}(x)=np_{n-1}(x).}$

Le concept de type binomial a des applications en combinatoire, en probabilité, en statistique et dans une variété d'autres domaines.

• Filtre à ondelettes de Daubechies

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Binomial type » (voir la liste des auteurs).
• Gian-Carlo Rota, D. Kahaner et Andrew Odlyzko, « Finite Operator Calculus, », Journal of Mathematical Analysis and its Applications, vol. 42, n^o 3,‎ juin 1973. Réimprimé dans le livre du même titre, Academic Press, New York, 1975.
• R. Mullin et Gian-Carlo Rota, Graph Theory and Its Applications : On the Foundations of Combinatorial Theory III: Theory of Binomial Enumeration, New York, Bernard Harris, 1970.

Comme le titre l'indique, la seconde de ce qui précède concerne explicitement les applications à l'énumération combinatoire .

• Alessandro di Bucchianico, Probabilistic and Analytical Aspects of the Umbral Calculus, Amsterdam, CWI, 1997.
• (en) Eric W. Weisstein, « Binomial-Type Sequence », sur MathWorld