Moment (probabilités)

En théorie des probabilités et en statistique, les moments d’une variable aléatoire réelle sont des indicateurs de la dispersion de cette variable. Le premier moment ordinaire, appelé moment d'ordre 1 est l'espérance (i.e la moyenne) de cette variable. Le deuxième moment centré d'ordre 2 est la variance. Ainsi, l'écart type est la racine carrée du moment centré d’ordre 2. Le moment d'ordre 3 est l'asymétrie. Le moment d'ordre 4 est le kurtosis. Le concept de moment est proche du concept de moment en physique.

Pour tout entier $r\in \mathbb {N}$ , le moment dit « ordinaire » d’ordre $r$ de la variable aléatoire réelle $X$ est défini, s’il existe, par l'espérance de $X^{r}$ :

m_{r}\triangleq \mathbb {E} (X^{r})

De manière analogue, on définira d’autres moments, étudiés ou évoqués dans la suite de l’article.

Notion de moment en analyse

La notion de moment en mathématiques, notamment en théorie des probabilités, a pour origine la notion de moment en physique.

Soit une fonction $f : I \to ℝ$ continue sur un intervalle $I$ (non réduit à un point) de $ℝ$ .

Étant donné un entier naturel $r$ , le moment d’ordre $r$ de $f$ est défini, sous réserve d’existence, par :

m_{r}(f)\triangleq \int _{x\in I}x^{r}\,f(x)\,\mathrm {d} x

Critère d’existence

Ce moment d’ordre $r$ est considéré comme existant si et seulement si $x r f (x)$ est intégrable, c’est-à-dire si et seulement si $\int x \in I | x r f (x)| d x$ converge. Ainsi, même si le moment est une intégrale impropre convergente[1], ce moment est tout de même considéré comme non existant.

De cette manière, si un moment n’existe pas à un ordre donné, alors tous les moments d’ordre supérieur n’existent pas non plus. Réciproquement, si un moment existe à un ordre donné, alors tous les moments d’ordre inférieur existent également.

Espace vectoriel

Pour un entier naturel $r$ donné, l’ensemble des fonctions continues sur $I$ dont le moment d’ordre $r$ existe est un espace vectoriel réel, et l’application $m r : f \mapsto m r (f)$ est une forme linéaire sur cet espace vectoriel.

Définitions

Soit $X$ une variable aléatoire réelle définie sur $I$ , de fonction de répartition $F X$ et de loi de probabilité $p$ .

Moment ordinaire

Le moment (ou moment ordinaire, ou moment en 0) d’ordre $r \in ℕ$ de $X$ est défini, s’il existe, par :

m_{r}\triangleq \mathbb {E} (X^{r})

On a donc, d’après le théorème de transfert :

m_{r}=\int _{x\in I}x^{r}\,\mathrm {d} F_{X}(x)

Cette intégrale de Stieltjes peut se réécrire :

si $X$ est discrète : $m_{r}=\sum _{k\in I}k^{r}\,p_{k}$
si $X$ est absolument continue : $m_{r}=\int _{x\in I}x^{r}\,p(x)\,\mathrm {d} x$

D’après le deuxième axiome des probabilités, on a alors $m 0 = 1$ .

On notera que, $p$ étant positive ou nulle sur $I$ (premier axiome des probabilités), le critère d’existence du moment d’ordre $r$ est la convergence de $\sum k \in I | k | r p k$ ou de $\int x \in I | x | r p (x) d x$ selon le cas.

Moment centré

Le moment centré d’ordre $r \in ℕ$ de $X$ est défini, s’il existe, par :

\mu _{r}\triangleq \mathbb {E} ([X-\mathbb {E} (X)]^{r})

On a donc, d’après le théorème de transfert :

\mu _{r}=\int _{x\in I}[x-\mathbb {E} (X)]^{r}\,\mathrm {d} F_{X}(x)

Cette intégrale de Stieltjes peut se réécrire :

si $X$ est discrète : $\mu _{r}=\sum _{k\in I}[k-\mathbb {E} (X)]^{r}\,p_{k}$
si $X$ est absolument continue : $\mu _{r}=\int _{x\in I}[x-\mathbb {E} (X)]^{r}\,p(x)\,\mathrm {d} x$

Par construction, on a alors $μ 0 = 1$ et $μ 1 = 0$ .

D’après le théorème de transfert, on peut également écrire $μ r (X) = m r (X - 𝔼(X))$ .

Moment centré réduit

En posant $μ = m 1$ et $σ = \sqrt μ 2$ , le moment centré réduit d’ordre $r \in ⟦2;+\infty⟦$ de $X$ est défini, s’il existe, par :

\beta _{r-2}\triangleq \mathbb {E} \left[\left({\frac {X-\mu }{\sigma }}\right)^{r}\right]

On a donc $β r -2 = μ r ⁄ σ r$ et, par construction, $β 0 = 1$ .

Moment spectral

Les moments spectraux permettent l'étude des vibrations aléatoires dans le domaine fréquentiel. En considérant la densité spectrale de puissance Φ d'une vibration aléatoire, le moment spectral d'ordre i, noté $m_{i}$ , peut s'écrire:

$m_{i}{\big [}\Phi (f){\big ]}=\int _{-\infty }^{+\infty }(2.\pi .f)^{i}.\Phi (f)\ \ \mathrm {d} f$

Moments remarquables

Certains moments, utilisés couramment pour caractériser une variable aléatoire réelle $X$ , sont connus sous un nom particulier :

l’espérance, moment d’ordre un : $\mu \triangleq m_{1}=\mathbb {E} (X)$ ;
la variance, moment centré d’ordre deux : $\operatorname {V} (X)\triangleq \mu _{2}=\mathbb {E} [(X-\mu )^{2}]$ , ainsi que sa racine carrée l’écart type : $\sigma \triangleq {\sqrt {\operatorname {V} (X)}}={\sqrt {\mu _{2}}}$ ;
le coefficient d’asymétrie, moment centré réduit d’ordre trois[2] : $\gamma _{1}\triangleq \beta _{1}=\mathbb {E} \left[\left({\frac {X-\mu }{\sigma }}\right)^{3}\right]$ ;
le kurtosis non normalisé, moment centré réduit d’ordre quatre : $\beta _{2}=\mathbb {E} \left[\left({\frac {X-\mu }{\sigma }}\right)^{4}\right]$ .

Fonction génératrice des moments

La fonction génératrice des moments $M X$ d’une variable aléatoire réelle $X$ est la série génératrice exponentielle associée à la suite $(m r) r \in ℕ$ des moments de $X$ , définie au voisinage de 0 et sous réserve d’existence de tous les moments :

M_{X}(t)\triangleq \sum _{r=0}^{\infty }m_{r}\,{\frac {t^{r}}{r!}}

Elle peut également s’écrire, au voisinage de 0 et sous réserve d’existence de l’espérance :

M_{X}(t)=\mathbb {E} \left(\mathrm {e} ^{tX}\right)

Les dérivées itérées en 0 de cette série génératrice exponentielle valent :

M_{X}^{(r)}(0)=m_{r}

Propriétés

Dimension

Soit $[X]$ la dimension de la variable aléatoire réelle $X$ .

Les moments ordinaire et centré d’ordre $r$ , s’ils existent, ont pour dimension $[X] r$ .

Démonstration

Dans l’écriture $\int x \in I x r d F X (x)$ du moment d’ordre $r$ , la variable $x$ a pour dimension $[X]$ . La mesure de probabilité $ℙ$ étant une grandeur sans dimension, la fonction de répartition $F X$ , définie par $\forall x \in I, F X (x) = ℙ(X \leq x)$ , est également adimensionnelle, de même donc pour son infinitésimal $d F X (x)$ . Donc $m r = \int x \in I x r d F X (x)$ a pour dimension $[X r]$ .

$𝔼(X) = m 1$ ayant pour dimension $[X]$ , c’est également le cas de $x - 𝔼(X)$ , donc $μ r = \int x \in I [x - 𝔼(X)] r d F X (x)$ a également pour dimension $[X r]$ .

Le moment centré réduit d’ordre $r$ , s’il existe, est une grandeur sans dimension.

Démonstration

$μ 2$ ayant pour dimension $[X 2]$ , $σ = \sqrt μ 2$ a pour dimension $[X]$ , donc $β r -2 = μ r ⁄ σ r$ a pour dimension $[X r ⁄ X r] = [1]$ .

Sur les moments ordinaires

Le moment ordinaire d’ordre 1, s’il existe, est linéaire :

\forall (\theta ,\lambda )\in \mathbb {R} ^{2},m_{1}(\theta \,X+\lambda )=\theta \,m_{1}(X)+\lambda

Démonstration

Soit $Λ = {λ}$ la variable aléatoire constante valant $λ$ avec une probabilité 1. La translation de longueur $λ$ des valeurs d’une variable aléatoire correspond à la somme de cette variable aléatoire et de $Λ$ : $θ X + λ ≜ θ X + Λ$ . Sachant que $𝔼(Λ) = λ$ , on a donc, par linéarité de l’espérance :

m_{1}(\theta \,X+\lambda )=\mathbb {E} (\theta \,X+\lambda )=\mathbb {E} (\theta \,X+\Lambda )=\theta \,\mathbb {E} (X)+\mathbb {E} (\Lambda )=\theta \,\mathbb {E} (X)+\lambda =\theta \,m_{1}(X)+\lambda

Le moment ordinaire d’ordre $r > 1$ de $θ X + λ$ , s’il existe, ne s’exprime pas uniquement en fonction du moment d’ordre $r$ de $X$ :

\forall (\theta ,\lambda )\in \mathbb {R} ^{2},m_{r}(\theta \,X+\lambda )=\sum _{i=0}^{r}C_{r}^{i}\,\theta ^{r-i}\,\lambda ^{i}\,m_{r-i}(X)=\sum _{i=0}^{r}C_{r}^{i}\,\theta ^{i}\,\lambda ^{r-i}\,m_{i}(X)

Démonstration

En développant le binôme $(θ X + λ) r$ et par linéarité de l’espérance, on a :

m_{r}(\theta \,X+\lambda )=\mathbb {E} [(\theta \,X+\lambda )^{r}]=\mathbb {E} \left[\sum _{i=0}^{r}C_{r}^{i}\,(\theta \,X)^{i}\,\lambda ^{r-i}\right]=\sum _{i=0}^{r}C_{r}^{i}\,\theta ^{i}\,\lambda ^{r-i}\,\mathbb {E} (X^{i})=\sum _{i=0}^{r}C_{r}^{i}\,\theta ^{i}\,\lambda ^{r-i}\,m_{i}(X).

On retrouve ainsi la linéarité de $m 1$ et la constance de $m 0$ .

Sur les moments centrés

Le moment centré d’ordre $r$ , s’il existe, est invariant par translation et homogène de degré $r$ :

\forall (\theta ,\lambda )\in \mathbb {R} ^{2},\mu _{r}(\theta \,X+\lambda )=\theta ^{r}\,\mu _{r}(X)

Démonstration 1

Sachant que $𝔼(θ X + λ) = θ 𝔼(X) + λ$ (voir transformation affine sur le moment ordinaire d’ordre 1), on a :

(\theta \,X+\lambda )-\mathbb {E} (\theta \,X+\lambda )=\theta \,X+\lambda -\theta \,\mathbb {E} (X)-\lambda =\theta \,[X-\mathbb {E} (X)]

Par linéarité de l’espérance, on a donc :

\mu _{r}(\theta \,X+\lambda )=\mathbb {E} ([\theta \,X+\lambda -\mathbb {E} (\theta \,X+\lambda )]^{r})=\mathbb {E} (\theta ^{r}\,[X-\mathbb {E} (X)]^{r})=\theta ^{r}\,\mathbb {E} ([X-\mathbb {E} (X)]^{r})=\theta ^{r}\,\mu _{r}(X)

Démonstration 2

Sachant que $μ r (X) = m r (X - 𝔼(X))$ , la fonction génératrice des moments centrés de $X$ est donc la fonction génératrice des moments ordinaires de $X - 𝔼(X)$ :

{\mathcal {M}}_{X}(t)=M_{X-\mathbb {E} (X)}(t)=\mathbb {E} \left(e^{t[X-\mathbb {E} (X)]}\right)

Sachant que $(θ X + λ) - 𝔼(θ X + λ) = θ [X - 𝔼(X)]$ (voir démonstration 1), on a donc :

{\mathcal {M}}_{\theta \,X+\lambda }(t)=\mathbb {E} \left(e^{t[(\theta \,X+\lambda )-\mathbb {E} (\theta \,X+\lambda )]}\right)=\mathbb {E} \left(e^{\theta t[X-\mathbb {E} (X)]}\right)={\mathcal {M}}_{X}(\theta t)

Par dérivation itérée de cette fonction composée, on a donc :

{\mathcal {M}}_{\theta \,X+\lambda }^{(r)}(t)=[{\mathcal {M}}_{X}(\theta t)]^{(r)}=\theta ^{r}{\mathcal {M}}_{X}^{(r)}(\theta t)

D’où, en 0 :

\mu _{r}(\theta \,X+\lambda )={\mathcal {M}}_{\theta \,X+\lambda }^{(r)}(0)=\theta ^{r}{\mathcal {M}}_{X}^{(r)}(0)=\theta ^{r}\mu _{r}(X)

Sur les moments centrés réduits

Par transformation affine de coefficient directeur non nul (afin que $σ$ soit non nul), le moment centré réduit d’ordre $r$ , s’il existe, est simplement multiplié par le signe du coefficient directeur élevé à la puissance $r$ :

\forall (\theta ,\lambda )\in \mathbb {R} ^{*}\!\!\times \!\mathbb {R} ,\beta _{r-2}(\theta \,X+\lambda )=\operatorname {sgn}(\theta )^{r}\,\beta _{r-2}(X)

La valeur absolue d’un moment centré réduit est donc invariante par transformation affine de pente non nulle.

Démonstration

L’écart type de $θ X + λ$ vaut :

\sigma _{\theta \,X+\lambda }={\sqrt {\mu _{2}(\theta \,X+\lambda )}}={\sqrt {\theta ^{2}\mu _{2}(X)}}=|\theta |\sigma _{X}

Le moment centré réduit d’ordre $r$ de $θ X + λ$ vaut donc :

\beta _{r-2}(\theta \,X+\lambda )={\frac {\mu _{r}(\theta \,X+\lambda )}{\sigma _{\theta \,X+\lambda }^{\ r}}}={\frac {\theta ^{r}\mu _{r}(X)}{(|\theta |\sigma _{X})^{r}}}=\left({\frac {\theta }{|\theta |}}\right)^{r}{\frac {\mu _{r}(X)}{\sigma _{X}^{r}}}=\operatorname {sgn}(\theta )^{r}\,\beta _{r-2}(X)

En distinguant selon le signe de $θ$ et la parité de $r$ , on peut donc écrire :

\forall (\theta ,\lambda )\in \mathbb {R} ^{*}\!\!\times \!\mathbb {R} ,\beta _{r}(\theta \,X+\lambda )={\begin{cases}\beta _{r}(X)&{\text{si }}\theta >0{\text{ ou }}r{\text{ est pair}}\\-\beta _{r}(X)&{\text{si }}\theta <0{\text{ et }}r{\text{ est impair}}\end{cases}}

Additivité

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires réelles, on a alors :

$m_{1}(X+Y)=m_{1}(X)+m_{1}(Y)$

Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, on a en outre :

$\mu _{2}(X+Y)=\mu _{2}(X)+\mu _{2}(Y)$
$\mu _{3}(X+Y)=\mu _{3}(X)+\mu _{3}(Y)$

Cette propriété d’additivité n’existe que pour les trois moments particuliers cités[3]. Les mesures de risque vérifiant cette propriété sont appelés les cumulants.

Moments centrés en fonction des moments ordinaires

Le moment centré d’ordre $r$ , s’il existe, s’écrit :

\mu _{r}=\sum _{i=0}^{r}C_{r}^{i}\,m_{r-i}\,(-m_{1})^{i}=\sum _{i=0}^{r}C_{r}^{i}\,m_{i}\,(-m_{1})^{r-i}

Démonstration

En développant le binôme dans l’expression de $μ r$ et par linéarité de l’espérance, on a :

\mu _{r}=\mathbb {E} [(X-m_{1})^{r}]=\mathbb {E} \left[\sum _{i=0}^{r}C_{r}^{i}\,X^{r-i}\,(-m_{1})^{i}\right]=\sum _{i=0}^{r}C_{r}^{i}\,\mathbb {E} (X^{r-i})\,(-m_{1})^{i}=\sum _{i=0}^{r}C_{r}^{i}\,m_{r-i}\,(-m_{1})^{i}

Puis, en rappelant que $C k n = C n - k n$ , on obtient la seconde écriture par le changement de variable $i \mapsto r - i$ .

En rappelant que $m 0 = 1$ , les premiers moments centrés s’expriment donc, en fonction des moments ordinaires :

\mu _{2}=m_{2}-m_{1}^{2}

\mu _{3}=m_{3}-3\,m_{2}\,m_{1}+2\,m_{1}^{3}

\mu _{4}=m_{4}-4\,m_{3}\,m_{1}+6\,m_{2}\,m_{1}^{2}-3\,m_{1}^{4}

\mu _{5}=m_{5}-5\,m_{4}\,m_{1}+10\,m_{3}\,m_{1}^{2}-10\,m_{2}\,m_{1}^{3}+4\,m_{1}^{5}

\mu _{6}=m_{6}-6\,m_{5}\,m_{1}+15\,m_{4}\,m_{1}^{2}-20\,m_{3}\,m_{1}^{3}+15\,m_{2}\,m_{1}^{4}-5\,m_{1}^{6}

Moments ordinaires en fonction des moments centrés

Réciproquement, en posant $μ = 𝔼(X)$ , le moment ordinaire d’ordre $r$ , s’il existe, s’écrit :

m_{r}=\sum _{i=0}^{r}C_{r}^{i}\,\mu _{r-i}\,\mu ^{i}=\sum _{i=0}^{r}C_{r}^{i}\,\mu _{i}\,\mu ^{r-i}

Démonstration

En développant le binôme dans l’expression de $m r$ et par linéarité de l’espérance, on a :

m_{r}=\mathbb {E} (X^{r})=\mathbb {E} [(X-\mu +\mu )^{r}]=\mathbb {E} \left[\sum _{i=0}^{r}C_{r}^{i}\,(X-\mu )^{r-i}\,\mu ^{i}\right]=\sum _{i=0}^{r}C_{r}^{i}\,\mathbb {E} [(X-\mu )^{r-i}]\,\mu ^{i}=\sum _{i=0}^{r}C_{r}^{i}\,\mu _{r-i}\,\mu ^{i}

Puis, en rappelant que $C k n = C n - k n$ , on obtient la seconde écriture par le changement de variable $i \mapsto r - i$ .

En rappelant que $μ 0 = 1$ et $μ 1 = 0$ , les premiers moments ordinaires s’expriment donc, en fonction des moments centrés et de $μ$ :

m_{2}=\mu _{2}+\mu ^{2}

m_{3}=\mu _{3}+3\,\mu _{2}\,\mu +\mu ^{3}

m_{4}=\mu _{4}+4\,\mu _{3}\,\mu +6\,\mu _{2}\,\mu ^{2}+\mu ^{4}

m_{5}=\mu _{5}+5\,\mu _{4}\,\mu +10\,\mu _{3}\,\mu ^{2}+10\,\mu _{2}\,\mu ^{3}+\mu ^{5}

m_{6}=\mu _{6}+6\,\mu _{5}\,\mu +15\,\mu _{4}\,\mu ^{2}+20\,\mu _{3}\,\mu ^{3}+15\,\mu _{2}\,\mu ^{4}+\mu ^{6}

Estimateur non biaisé des moments ordinaires

À partir d’un échantillon ${X 1, X 2, \dots, X n}$ de la variable aléatoire réelle $X$ , on peut utiliser comme estimateur sans biais du moment ordinaire d’ordre $r$ , s’il existe, l’estimateur suivant :

{\hat {m_{r}}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{\ r}

Problème des moments

Tandis que le calcul des moments consiste à déterminer les moments $m r$ d’une loi de probabilité $p$ donnée, le problème des moments consiste inversement à étudier l’existence et l’unicité d’une loi de probabilité $p$ dont les moments $m r$ sont donnés.

Extension de la notion de moment

Sur le modèle des moments $𝔼(X r)$ , d’autres moments peuvent être définis :

le moment inverse en 0 d’ordre $r$ sur $I ∌ 0$ : $\mathbb {E} (X^{-r})$ ;
le moment logarithmique d’ordre $r$ sur $I \subset ℝ * +$ : $\mathbb {E} \left[\ln ^{r}(X)\right]$ ;
le moment factoriel d’ordre $r$ : $\mathbb {E} \left[(X)_{r}\right]$ (factorielle décroissante).

Notes et références

Ce cas arrive par exemple pour les moments d’ordre impair d’une fonction paire définie sur $ℝ$ : même si $\int x \inℝ | x r f (x)| d x$ diverge, la fonction $x \mapsto x r f (x)$ est impaire donc a une primitive paire, d’où $\forall t \in ℝ, \int t - t x r f (x) d x = 0$ , donc $\int x \inℝ x r f (x) d x$ est une intégrale impropre convergente valant 0.
Pour des raisons historiques et en accord avec la notation des cumulants réduits, le coefficient d’asymétrie est noté $γ 1$ plutôt que $β 1$ .
Formellement parlant, sachant que $μ 1 = 0$ , on pourrait ajouter le cas dégénéré $μ 1 (X + Y) = μ 1 (X) + μ 1 (Y)$ , mais cela n’apporte aucune information utile à l’étude de $X + Y$ .

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