Problème des moments

• Considérons la forme linéaire φ définie sur les polynômes par :

${\displaystyle \varphi \left(\sum _{k}a_{k}x^{k}\right)=\sum _{k}a_{k}m_{k}.}$

• Si les m_n sont les moments d'une mesure de Borel μ sur [a,b] alors

${\displaystyle (1)\qquad \varphi (P)\geq 0}$ pour tout polynôme P positif sur [a,b].

Réciproquement, si cette condition est vérifiée alors, d'après le théorème de prolongement de M. Riesz, φ s'étend en une forme linéaire positive sur l'espace de fonctions continues C([a,b]).

• D'après le théorème de représentation de Riesz, l'existence d'un tel prolongement positif pour φ équivaut à l'existence d'une mesure μ telle que pour tout polynôme P,

${\displaystyle \varphi (P)=\int P~\mathrm {d} \mu .}$

• Ainsi, la condition (1) est nécessaire et suffisante pour qu'il existe une mesure sur [a,b] de moments m_n. En utilisant un théorème de représentation des polynômes positifs sur [a,b], la condition (1) peut se reformuler en une condition sur les matrices de Hankel.

Pour plus de détails, voir Shohat et Tamarkin 1943, Akhiezer 1965 et Krein et Nudelman 1977.

On démontre (par changement de variable) que pour tout entier naturel n, ${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }x^{n}f(x)\sin(2\pi \ln x)\,\mathrm {d} x=0}$.

Pour tout ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$, on définit ${\displaystyle g_{\alpha }:\left]0,+\infty \right[\to \mathbb {R} }$ par ${\displaystyle g_{\alpha }(x)=f(x)\,\left[1+\alpha \sin(2\pi \ln x)\right]}$.

Alors : quels que soient ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ et ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle m_{n}(g_{\alpha })=m_{n}(f)}$, bien que ${\displaystyle g_{\alpha }\neq f}$ dès que ${\displaystyle \alpha \neq 0}$.

Or si l'on prend ${\displaystyle \alpha \in \left[-1,1\right]}$, ${\displaystyle g_{\alpha }}$ est à valeurs positives donc (puisque ${\displaystyle m_{0}(g_{\alpha })=m_{0}(f)=1}$) c'est une densité de probabilité.