Matrice de Hankel

À toute suite ${\displaystyle (b_{n})}$ on peut associer la suite des déterminants ${\displaystyle h_{n}}$ des matrices de Hankel successives[1]

${\displaystyle h_{n}={\begin{vmatrix}b_{0}&b_{1}&b_{2}&\dots &b_{n}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}&\dots &b_{n+1}\\b_{2}&b_{3}&b_{4}&\dots &b_{n+2}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\b_{n}&b_{n+1}&b_{n+2}&\dots &b_{2n}\\\end{vmatrix}}}$

• une suite est nulle si et seulement si sa transformée de Hankel est nulle

• une suite vérifie une relation de récurrence linéaire à coefficients constants si et seulement si la transformée de Hankel est nulle à partir d'un certain rang.

Un cas particulier de matrices de Hankel est celui de matrices anticirculantes, lorsque ${\displaystyle b_{n+j}=b_{j-1}}$.

Dans ce cas, on peut aisément diagonaliser les matrices de Hankel : On considère la base de diagonalisation des matrices circulantes de taille ${\displaystyle n}$ ; on note ${\displaystyle P}$ la matrice de passage associée d'éléments génériques ${\displaystyle w^{(i-1)(j-1)}}$ où ${\displaystyle w=\exp \left({\frac {2i\pi }{n}}\right)}$ est une racine ${\displaystyle n-}$ ième, primitive, de l'unité. On note ${\displaystyle C_{j}}$ ses colonnes.

Si ${\displaystyle M}$ est une matrice de Hankel, on note ${\displaystyle M'=P^{-1}MP}$. On remarque que ${\displaystyle M'C_{1}=LC_{1}}$, où ${\displaystyle L=b_{0}+b_{1}+b_{2}+\dots +b_{n-1}}$ est la somme des coefficients de chaque ligne.

Si ${\displaystyle n}$ est pair, -1 est racine n-ième de l'unité, le vecteur colonne ${\displaystyle C_{n+2 \over 2}}$ est ${\displaystyle (1,-1,1,\ldots ,-1)}$ et

${\displaystyle M'C_{n+2 \over 2}=L'C_{n+2 \over 2}}$, où ${\displaystyle L'=b_{0}-b_{1}+b_{2}+\dots -b_{n-1}}$ est la somme alternée des coefficients de chaque ligne.

Si ${\displaystyle j\not \in \{1,{n+2 \over 2}\}}$, on voit que ${\displaystyle M'C_{j}=L_{j}C_{n+2-j}}$ où ${\displaystyle L_{j}=b_{0}+b_{1}w^{j-1}+b_{2}w^{2(j-1)}+\dots -b_{n-1}w^{(n-1)(j-1)}}$ ; la valeur en ${\displaystyle w^{j-1}}$ du polynôme associé : ${\displaystyle P(X)=\sum _{k=0}^{n}b_{k}X^{k}}$.

On remarque que le plan ${\displaystyle Vect(C_{j},C_{n+2-j})}$ est stable sous l'action de l'endomorphisme canoniquement associé à ${\displaystyle M}$ ; la restriction à cet espace, de l'endomorphisme (complexe) associé, a pour matrice dans la base des deux colonnes ${\displaystyle (C_{j},C_{n+2-j})}$ : ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&L_{j}\\L_{n+2-j}&0\end{pmatrix}}}$ ; on en déduit ${\displaystyle M'}$, puis une diagonalisation de ${\displaystyle M}$.