Matrices anticirculantes

Une matrice anticirculante standard de taille n à coefficients complexes est de la forme générale[1] :

${\displaystyle C={\begin{pmatrix}c_{0}&c_{1}&c_{2}&\dots &\ldots &c_{n-1}\\c_{1}&&&c_{n-2}&c_{n-1}&c_{0}\\c_{2}&&c_{n-2}&c_{n-1}&c_{0}&c_{1}\\\dots &&&\dots &\dots \\\dots &&&\dots &\dots \\\dots &&&\dots &\dots \\c_{n-1}&c_{0}&c_{1}&c_{2}&\dots &c_{n-2}\end{pmatrix}}}$

où les coefficients c_i sont des complexes. La valeur des coefficients demeure constante sur les diagonales secondaires de la matrice et leur somme en ligne, comme celle en colonne demeure constante[2].

Une autre définition donne les matrices anticirculantes de Hankel (g-circulant ou H-skew-circulant) en opposition aux matrices circulantes de Hankel (ou f-circulant), comme les matrices de Hankel « antisymétriques » par rapport à la seconde diagonale de la matrice.

Elles sont de la forme :

${\displaystyle C={\begin{pmatrix}c_{0}&c_{1}&c_{2}&\dots &\ldots &0\\c_{1}&&&c_{n-2}&0&-c_{n-2}\\c_{2}&&c_{n-2}&0&-c_{n-2}&-c_{n-3}\\\dots &&&\dots &\dots \\\dots &&&\dots &\dots \\\dots &&&\dots &&-c_{1}\\0&-c_{n-2}&-c_{n-3}&\dots &-c_{1}&-c_{0}\end{pmatrix}}.}$

On montre que toute matrice de Hankel est somme d'une matrice circulante et d'une matrice anticirculante[3].

On appelle parfois matrices anticirculantes de Toeplitz, les matrices de la forme[4] :

${\displaystyle C={\begin{pmatrix}c_{0}&-c_{1}&-c_{2}&\dots &-c_{n-1}\\c_{n-1}&c_{0}&-c_{1}&&-c_{n-2}\\c_{n-2}&c_{n-1}&c_{0}&&-c_{n-3}\\\vdots &&&\ddots &\vdots \\c_{1}&c_{2}&c_{3}&\dots &c_{0}\end{pmatrix}}.}$

Elles sont également appelées matrices circulantes gauche (skew en anglais) et entrent dans la décomposition des matrices de Toeplitz[5].

Elles forment un sous-espace vectoriel de l'espace des carrés magiques.

Elles ne forment pas une sous-algèbre de l'algèbre des matrices carrées de taille n.

Elles sont diagonalisables dans ℂ (voir matrice de Hankel).

Cas particulier de la dimension 3

On montre que tout carré magique s'écrit comme somme d'une matrice circulante et d'une matrice anticirculante.

Cette décomposition n'est pas unique et n'a plus lieu dans les dimensions supérieures.