Polynôme de Touchard

• La valeur en 1 du ${\displaystyle n}$-ième polynôme de Touchard est le ${\displaystyle n}$-ième nombre de Bell, c'est-à-dire le nombre de partitions d'un ensemble de taille ${\displaystyle n}$ :

  ${\displaystyle T_{n}(1)=B_{n}}$.

• Les polynômes de Touchard vérifient

  ${\displaystyle T_{n}(x)=\mathrm {e} ^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}k^{n}}{k!}}}$.

• La suite de polynômes est de type binomial, et satisfait les identités

  ${\displaystyle T_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(x)T_{n-k}(y)}$.

• Les polynômes de Touchard sont la seule suite polynomiale de type binomial dont le coefficient du terme de degré 1 est égal à 1 dans chaque polynôme.

• Les polynômes de Touchard vérifient une formule de Rodrigues :

  ${\displaystyle T_{n}\left(\mathrm {e} ^{x}\right)=\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{x}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\;\mathrm {e} ^{\mathrm {e} ^{x}}.}$

• Les polynômes de Touchard vérifient les relations de récurrence :

  ${\displaystyle T_{n+1}(x)=x\left(1+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)T_{n}(x)}$ et ${\displaystyle T_{n+1}(x)=x\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(x)}$.

Pour ${\displaystyle x=1}$, elle se réduit à la formule de récurrence pour les nombres de Bell.

• Avec la notation ${\displaystyle T^{n}(x)=T_{n}(x)}$ empruntée au calcul ombral, ces formules deviennent :

  ${\displaystyle T_{n}(x+y)=\left(T(x)+T(y)\right)^{n},}$ et ${\displaystyle T_{n+1}(x)=x\left(1+T(x)\right)^{n}.}$

• La série génératrice des polynômes de Touchard est :

  ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{T_{n}(x) \over n!}t^{n}=\mathrm {e} ^{x\left(\mathrm {e} ^{t}-1\right)}}$,

ce qui correspond à la série génératrice des nombres de Stirling de seconde espèce.

• Les polynômes de Touchard admettent une représentation par intégrale de contour :

  ${\displaystyle T_{n}(x)={\frac {n!}{2\mathrm {i} \pi }}\oint {\frac {\mathrm {e} ^{x({\mathrm {e} ^{t}}-1)}}{t^{n+1}}}\,\mathrm {d} t}$.

Les zéros des polynômes de Touchard sont réels négatifs[7]. Le plus petit zéro est minoré, en valeur absolue, par[8] :

${\displaystyle {\frac {1}{n}}{\binom {n}{2}}+{\frac {n-1}{n}}{\sqrt {{\binom {n}{2}}^{2}-{\frac {2n}{n-1}}\left({\binom {n}{3}}+3{\binom {n}{4}}\right)}},}$

et il est conjecturé que le plus petit zéro croît linéairement avec l'index n.

On peut encadrer la mesure de Mahler ${\displaystyle M(T_{n})}$ des polynômes de Touchard comme suit[9] :

${\displaystyle {\frac {\displaystyle {\left\{{n \atop \Omega _{n}}\right\}}}{\displaystyle {\binom {n}{\Omega _{n}}}}}\leq M(T_{n})\leq {\sqrt {n+1}}\left\{{n \atop K_{n}}\right\}}$