Fonction zêta de Lerch

En mathématiques, la fonction zêta de Lerch, ou fonction zêta de Hurwitz-Lerch est une fonction spéciale qui généralise la fonction zêta de Hurwitz et le polylogarithme, nommée d'après le mathématicien Mathias Lerch. Elle est définie comme somme d'une série comme suit :

L(\lambda ,\alpha ,s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \lambda n}}{(n+\alpha )^{s}}}

La fonction zêta de Lerch est reliée à la fonction transcendante de Lerch, définie par la formule :

\Phi (z,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+\alpha )^{s}}}

par l'identité :

\Phi (\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \lambda },s,\alpha )=L(\lambda ,\alpha ,s)

Cas particuliers

La fonction zêta de Hurwitz est un cas particulier, donnée par :

\zeta (s,\alpha )=L(0,\alpha ,s)=\Phi (1,s,\alpha )

Le polylogarithme est un cas particulier de la fonction zêta de Lerch, donné par :

\operatorname {Li} _{s}(z)=z\Phi (z,s,1)

La fonction zêta de Riemann est le cas particulier suivant :

\zeta (s)=\zeta (s,1)=\operatorname {Li} _{s}(1)=\Phi (1,s,1)

La fonction êta de Dirichlet est aussi un cas particulier, donné par :

\eta (s)=\Phi (-1,s,1)=-\operatorname {Li} _{s}(-1)

Enfin, la fonction chi de Legendre admet l'expression :

\chi _{n}(z)=2^{-n}z\Phi (z^{2},n,1/2)

(en) Ramunas Garunkstis, « Approximation of the Lerch zeta-function », Lith. Math. J. (nl), vol. 44,‎ 2004, p. 140-144 (lire en ligne)
Matyáš Lerch, « Note sur la fonction ${\mathfrak {K}}(w,x,s)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {e^{2k\pi ix}}{\left({w+k}\right)^{s}}}$ », Acta Math., vol. 11,‎ 1887, p. 19-24 (lire en ligne)
(en) M. Jackson, « On Lerch's transcendent and the basic bilateral hypergeometric series $_{2}\psi _{2}$ », J. London Math. Soc., vol. 25,‎ 1950, p. 189-196 (DOI 10.1112/jlms/s1-25.3.189)

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