Fonction polygamma
En mathématiques, la fonction polygamma d'ordre m est une fonction spéciale notée[1] ou et définie comme la m+1e dérivée du logarithme de la fonction gamma :
Ce qui équivaut à la dérivée me de la dérivée logarithmique de la fonction gamma :
- est la fonction digamma .
- . On appelle parfois la fonction (ou ) la fonction trigamma (en).
Définition par une intégrale
La fonction polygamma peut ĂȘtre reprĂ©sentĂ©e par :
Ceci n'est valable que pour Re (z) > 0 et m > 0. Pour m = 0, voir la définition de la fonction digamma.
Représentation dans le plan complexe
. | . | . | . | . | . |
Relation de récurrence
Elle vérifie la relation de récurrence
ThéorÚme de multiplication
Le théorÚme de multiplication (en) donne
valable pour m > 1 ; et pour m = 0, la formule de multiplication de la fonction digamma est :
Représentation par série
La fonction polygamma a pour représentation en série :
qui n'est valable que pour m > 0 et pour tout complexe z qui n'est pas Ă©gal Ă un nombre entier nĂ©gatif. Cette reprĂ©sentation peut ĂȘtre Ă©crite avec la fonction zĂȘta de Hurwitz par
On peut en conclure que la fonction zĂȘta de Hurwitz gĂ©nĂ©ralise la fonction polygamma Ă n'importe quel ordre appartenant Ă â \ (ââ).
SĂ©rie de Taylor
La série de Taylor au point z = 1 est
qui converge pour |z| < 1. Ici, ζ est la fonction zĂȘta de Riemann.
Notes et références
- Polygamma Function sur mathworld.wolfram.com.
Références
- (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, 1964 (ISBN 978-0-486-61272-0), section 6.4
- (en) Cet article est partiellement ou en totalitĂ© issu de lâarticle de WikipĂ©dia en anglais intitulĂ© « Polygamma function » (voir la liste des auteurs).