Accueil🇫🇷Chercher

Fonction polylogarithme

La fonction polylogarithme (aussi connue sous le nom de fonction de Jonquière) est une fonction spéciale qui peut être définie pour tout s et |z| < 1 par :

Le paramètre s et l'argument z sont pris sur l'ensemble ℂ des nombres complexes. Les cas particuliers s = 2 et s = 3 sont appelés le polylogarithme d'ordre 2 ou dilogarithme et le polylogarithme d'ordre 3 ou trilogarithme respectivement. Le polylogarithme apparaît aussi dans la forme fermée de l'intégrale de la distribution de Fermi-Dirac et la distribution de Bose-Einstein et est quelquefois connue comme l'intégrale de Fermi-Dirac ou l'intégrale de Bose-Einstein.

Par prolongement analytique, on peut également donner un sens au polylogarithme pour |z| ≥ 1.

Différentes fonctions polylogarithmes dans le plan complexe :
Li-3(z) Li-2(z) Li-1(z) Li0(z) Li1(z) Li2(z) Li3(z)

Propriétés

Dans le cas important où le paramètre s est un nombre entier, il sera représenté par n (ou -n lorsqu'il est négatif). Il est souvent pratique de définir μ = ln(z)ln est la branche principale du logarithme naturel, c’est-à-dire . Ainsi, toute l'exponentiation sera supposée être à valeur unique. (e.g. zs = es ln(z)).

Dépendant du paramètre s, le polylogarithme peut être à valeurs multiples. La branche principale du polylogarithme est celle pour laquelle Lis(z) est réel pour z réel, 0 ≤ z ≤ 1 et est continu excepté sur l'axe des réels positifs, où une coupure est faite de z = 1 à l'infini telle que la coupure place l'axe réel sur le demi-plan le plus bas de z. En termes de μ, ceci s'élève à –π < arg(–μ) < π. Le fait que le polylogarithme puisse être discontinu en μ peut causer une certaine confusion.

Pour z réel et supérieur ou égal à 1, la partie imaginaire du polylogarithme est (Wood 1992) :

En traversant la coupure :

Les dérivées du polylogarithme s'expriment également avec le polylogarithme :

Valeurs particulières

Voir aussi la section « Relation de parenté avec les autres fonctions » ci-dessous.

Pour les valeurs entières de s, on peut écrire les expressions explicites suivantes :

Le polylogarithme, pour toutes les valeurs entières négatives de s, peut être exprimé comme une fraction rationnelle en z (voir les représentations en série ci-dessus). Certaines expressions particulières pour les demi valeurs entières de l'argument sont :

est la fonction zêta de Riemann. Aucune formule similaire de ce type n'est connue pour des ordres plus élevés (Lewin 1991, p. 2) ; par ailleurs, les seules valeurs connues de Li2 exprimables à l'aide des fonctions élémentaires sont les huit valeurs suivantes[1] :

ainsi que

;
.

Expressions alternatives

Celle-ci converge pour et tous les z excepté pour les z réels et supérieurs ou égaux à 1. Le polylogarithme dans ce contexte est quelquefois connu comme l'intégrale de Bose ou de Bose-Einstein.
Celle-ci converge pour et tous les z excepté pour les z réels et strictement inférieurs à -1. Le polylogarithme dans ce contexte est quelquefois connu comme l'intégrale de Fermi ou l'intégrale de Fermi-Dirac. (GNU)
  • Le polylogarithme peut plutôt être généralement représenté par une intégrale sur un contour de Hankel (en) (Whittaker et Watson 1927).
    • Tant que le pôle t = μ de l'intégrande n'est pas relié à l'axe réel positif, et , on a :
      H représente le contour de Hankel. L'intégrande possède une coupure le long de l'axe réel de zéro à l'infini, l'axe réel étant sur la moitié inférieure de la feuille ().
    • Pour le cas où μ est réel et positif, nous pouvons simplement ajouter la contribution limitante du pôle :
      R est le résidu du pôle :
  • La relation carrée est facilement vue à partir de l'équation (voir aussi Clunie 1954 et Schrödinger 1952)
La fonction de Kummer obéit à une formule de duplication très similaire.

Relation de parenté avec les autres fonctions

η(s) est la fonction êta de Dirichlet.
Pour des arguments imaginaires purs, nous avons :
β(s) est la fonction bêta de Dirichlet.
  • Le polylogarithme est équivalent à l'intégrale de Fermi-Dirac (GNU)
Γ(s) est la fonction Gamma d'Euler. Ceci est valable pour

et aussi pour

(l'équation équivalente d'Erdélyi et al. 1981, § 1.11-16 n'est pas correcte si on suppose que les branches principales du polylogarithme et le logarithme sont utilisés simultanément).
Cette équation fournit le prolongement analytique de la représentation en série du polylogarithme au-delà de son cercle de convergence |z| = 1.
qui reste valable pour tous les x réels et n entier positif, il peut être remarqué que :
sous les mêmes contraintes sur s et x que ci-dessus. (L'équation correspondante d'Erdélyi et al. 1981, § 1.11-18 n'est pas correcte). Pour les valeurs entières négatives du paramètre, on a pour tous les z (Erdélyi et al. 1981, § 1.11-17) :
  • La fonction tangente intégrale inverse (en) Tis(z) (Lewin 1958, ch. VII, § 1.2) peut être exprimée en termes de polylogarithmes :
Une expression remarquablement similaire relie la fonction de Debye au polylogarithme :

Représentations en séries

On peut représenter le polylogarithme comme une série de puissances pour μ = 0 comme suit (Robinson 1951). Considérons la transformation de Mellin :

Le changement de variables t = ab, u = a(1-b) permet à l'intégrale d'être séparée :

pour f = 1 on a, à travers la transformation inverse de Mellin :

c est une constante à droite des pôles de l'intégrande.

Le chemin d'intégration peut être converti en un contour fermé, et les pôles de l'intégrande sont ceux de Γ(r) à r = 0 , –1, –2, … et de ζ(s+r) à r = 1–s. Sommer les résidus donne, pour et

Si le paramètre s est un entier positif n, ainsi que le k = n–1e terme, la fonction gamma devient infinie, bien que leur somme ne l'est pas. Pour un entier k > 0, nous avons :

et pour k = 0 :

Ainsi, pour s = nn est un entier positif et , nous avons :

Hn-1 est un nombre harmonique :

Le problème des termes contient maintenant -ln(-μ) qui, lorsqu'ils sont multipliés par μk, tendront vers zéro quand μ tend vers zéro, excepté pour k = 0. Ceci reflète le fait qu'il existe une vraie singularité logarithmique en Lis(z) en s = 1 et z = 1, puisque :

En utilisant la parenté entre la fonction zêta de Riemann et les nombres de Bernoulli Bk

on obtient pour les valeurs entières négatives de s et :

puisque, excepté pour B1, tous les nombres de Bernoulli impairs sont égaux à zéro. Nous obtenons le terme n = 0 en utilisant . Encore, l'équation équivalent d'Erdélyi et al. 1981, § 1.11-15 n'est pas correcte si nous supposons que les branches principales du polylogarithme et le logarithme sont utilisées simultanément, puisque n'est pas uniformément égal à –ln(z).

L'équation définie peut être étendue aux valeurs négatives du paramètre s en utilisant une intégrale sur un contour de Hankel (en) (Wood 1992 et Gradshteyn et Ryzhik 1980) :

H est le contour de Hankel qui peut être modifié pour qu'il entoure les pôles de l'intégrande, à t – μ = 2k, l'intégrale peut être évaluée comme la somme des résidus :

Ceci restera valable pour et tous les z excepté pour z = 1.

Pour les entiers négatifs s, le polylogarithme peut être exprimé comme une série impliquent les nombres eulériens

sont les nombres eulériens.

Une autre formule explicite pour les entiers négatifs s est (Wood 1992) :

S(n,k) sont les nombres de Stirling de deuxième espèce.

Comportement aux limites

Les limites suivantes restent valables pour le polylogarithme (Wood 1992) :

Échelles de polylogarithmes

Leonard Lewin a découvert une remarquable généralisation d'un grand nombre de relations classiques sur les polylogarithmes pour des valeurs particulières. Celles-ci sont maintenant appelées les échelles de polylogarithmes. Définissons comme l'inverse du nombre d'or. Alors, deux exemples simples des résultats issus des échelles incluent

donné par Coxeter en 1935, et[2]

donné par Landen. Les échelles de polylogarithmes apparaissent naturellement et profondément en K-théorie.

Notes et références

Bibliographie

  • (en) David Bailey, Peter Borwein et Simon Plouffe, « On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants », Math. Comp., vol. 66, no 218, , p. 903–913 (lire en ligne)
  • (en) David H. Bailey et David J. Broadhurst, « A Seventeenth-Order Polylogarithm Ladder », 1999, « math.CA/9906134 », texte en accès libre, sur arXiv.
  • (en) Jonathan M. Borwein, David M. Bradley, David J. Broadhurst et Petr Lisonek, « Special Values of Multidimensional Polylogarithms », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 353, , p. 907-941 (lire en ligne), « math.CA/9910045 », texte en accès libre, sur arXiv.
  • (en) B. C. Berndt, Ramanujan's Notebooks, Part IV, Springer, , p. 323-326
  • (en) B. Fornberg et K. S. Kölbig, « Complex zeros of the Jonquiére or polylogarithm function », Math. Comp., vol. 29, no 130, , p. 582-599
  • (en) GNU Scientific Library, Reference Manual
  • (en) Eugen Jahnke et Fritz Emde (de), Tables of Functions with Formulae and Curves, Dover,
  • (en) K. S. Kölbig, J. A. Mignaco et E. Remiddi, « On Nielsen's generalized polylogarithms and their numerical calculation », BIT, vol. 10, , p. 38-74
  • (en) K. S. Kölbig, « Nielsen's Generalized Polylogarithms », SIAM J. Math. Anal., vol. 17, , p. 1232-1258
  • (en) L. Lewin, Polylogarithms and Associated Functions, North-Holland,
  • (en) J. McDougall et E. C. Stoner (en), « The computation of Fermi-Dirac functions », Philos. Trans. Royal Soc., Series A, vol. 237, , p. 67-104 (lire en ligne)
  • (en) B. Markman, « The Riemann Zeta Function », BIT, vol. 5, , p. 138-141
  • (de) N. Nielsen (de), « Der Eulersche Dilogarithmus und seine Verallgemeinerungen », Nova Acta Leopoldina, vol. 90, , p. 123-211
  • (en) A. P. Prudnikov, O. I. Marichev (de) et Yu. A. Brychkov, The Generalized Zeta Function, Bernoulli Polynomials, Euler Polynomials, and Polylogarithms, Vol. 3: More Special Functions, Gordon and Breach, , p. 23-24, § 1.2
  • (en) C. Truesdell, « On a function which occurs in the theory of the structure of polymers », Ann. of Math., 2e série, vol. 46, no 1, , p. 144-1457
  • (en) Don Zagier, « Appendix A : Special Values and Functional Equations of Polylogarithms », dans L. Lewin (éd.), Structural Properties of Polylogarithms, AMS,
  • (en) Don Zagier, « The Dilogarithm Function », dans P. Cartier, B. Julia, P. Moussa, P. Vanhove (éds.), Frontiers in Number Theory, Physics and Geometry II, Springer-Verlag, (lire en ligne)
Cet article est issu de wikipedia. Text licence: CC BY-SA 4.0, Des conditions supplémentaires peuvent s’appliquer aux fichiers multimédias.