Transformation de Mellin
En mathĂ©matiques, la transformation de Mellin est une transformation intĂ©grale qui peut ĂȘtre considĂ©rĂ©e comme la version multiplicative (en) de la transformation de Laplace bilatĂ©rale. Cette transformation intĂ©grale est fortement reliĂ©e Ă la thĂ©orie des sĂ©ries de Dirichlet, et est souvent utilisĂ©e en thĂ©orie des nombres et dans la thĂ©orie des dĂ©veloppements asymptotiques ; elle est Ă©galement fortement reliĂ©e Ă la transformation de Laplace, Ă la transformation de Fourier, Ă la thĂ©orie de la fonction gamma et aux fonctions spĂ©ciales.
La transformation de Mellin a été nommée ainsi en l'honneur du mathématicien finlandais Hjalmar Mellin.
DĂ©finition
La transformée de Mellin d'une fonction f définie et continue par morceaux sur est la fonction notée ou et définie par l'intégrale généralisée :
Une condition suffisante d'existence de la transformée est donnée par le résultat suivant[1] :
ThĂ©orĂšme â On suppose que :
- f est continue sur ;
- pour un nombre réel quand ;
- quand (f tend vers 0 plus vite que toute puissance (négative) de x quand ).
Alors l'intégrale généralisée converge absolument pour Re (s) > α et définit une fonction holomorphe sur le demi-plan Re (s) > α.
Plus généralement, si
- f est continue sur ;
- pour des nombres rĂ©els α < ÎČ,
- quand et
- quand ,
alors l'intĂ©grale gĂ©nĂ©ralisĂ©e converge absolument pour α < Re (s) < ÎČ et dĂ©finit une fonction holomorphe sur la bande α < Re (s) < ÎČ.
Exemples
- La transformée d'une distribution de Dirac , avec a > 0, est une fonction exponentielle .
- La transformée de Mellin de la fonction , avec a > 0, est la fonction sur le demi-plan Re (s) > 0
(oĂč H est la fonction de Heaviside, f (x) = 1 si 0 < x < a et f (x) = 0 si x > a). - La transformĂ©e de Mellin de la fonction , avec a > 0, est la fonction sur le demi-plan Re (s) > 0
( est la fonction gamma d'Euler). - La transformée de Mellin de la fonction est la fonction sur le demi-plan Re (s) > 0.
- La transformĂ©e de Mellin de la fonction est la fonction sur la bande â1 < Re (s) < 1
(l'intégrale généralisée est semi-convergente si Re (s) ℠0). - La transformée de Mellin de la fonction est la fonction sur la bande 0 < Re (s) < 1
(l'intégrale généralisée est semi-convergente). - La transformée de Mellin de la fonction est la fonction sur la bande 0 < Re (s) < 1[2].
- Plus généralement, la transformée de Mellin de la fonction est la fonction sur la bande 0 < Re (s) < Re (a)
( est la fonction bĂȘta). - La transformĂ©e de Mellin de la fonction est la fonction sur la bande 0 < Re (s) < 2[3].
- La transformĂ©e de Mellin de la fonction est la fonction sur la bande â1 < Re (s) < 0[2].
- La transformée de Mellin de la fonction est la fonction sur le demi-plan Re (s) > 1
( est la fonction zĂȘta de Riemann).
Transformation de Mellin inverse
La transformation inverse est
La notation suppose que c'est une intégrale curviligne s'appliquant sur une droite verticale dans le plan complexe.
ThĂ©orĂšme â On suppose que[1] :
- f est continue sur ;
- pour un nombre réel quand ;
- quand (f tend vers 0 plus vite que toute puissance (négative) de x quand ).
On a la formule d'inversion de Mellin valide pour tout et tout x > 0 :
Relations avec les autres transformations
Avec la transformation de Laplace bilatérale
La transformation bilatĂ©rale de Laplace () peut ĂȘtre dĂ©finie en termes de transformation de Mellin par
- .
Inversement, on peut obtenir la transformation de Mellin à partir de la transformation de Laplace bilatérale par
- .
La transformation de Mellin peut ĂȘtre vue comme une intĂ©gration utilisant un noyau xs qui respecte la mesure de Haar multiplicative, , qui est invariante sous la dilatation , c'est-Ă -dire .
La transformation de Laplace bilatérale intÚgre en respectant la mesure de Haar additive , qui est invariante par translation, c'est-à -dire .
Avec la transformation de Fourier
On peut aussi définir la transformation de Fourier en termes de transformation de Mellin et vice-versa ; si nous définissons la transformation de Fourier comme ci-dessus, alors
- .
On peut aussi inverser le processus et obtenir
- .
La transformation de Mellin est aussi reliée aux séries de Newton ou aux transformations binomiales avec la fonction génératrice de la loi de Poisson, au moyen du cycle de Poisson-Mellin-Newton.
Intégrale de Cahen-Mellin
Pour , et sur la branche principale, on a
- .
Cette intégrale est connue sous le nom d'intégrale de Cahen-Mellin[4].
Applications
- La formule de Perron décrit la transformation de Mellin inverse appliquée aux séries de Dirichlet.
- La transformation de Mellin est utilisĂ©e dans certaines preuves de la fonction de compte des nombres premiers et apparaĂźt dans les discussions de la fonction zĂȘta de Riemann.
- La transformation de Mellin inverse apparaßt communément dans la moyenne de Riesz.
- On utilise souvent les transformĂ©es de Mellin pour le calcul analytique de toute une variĂ©tĂ© de sommes de rĂ©seaux, qui s'expriment sous forme de diverses fonctions spĂ©ciales comme les fonctions thĂȘta de Jacobi ou la fonction zĂȘta de Riemann[5].
Notes et références
- (en) Henri Cohen, Number Theory, vol. II : Analytic and Modern Tools, Springer, coll. « GTM » (no 240), (lire en ligne), p. 107.
- Cohen 2007, p. 150.
- Cohen 2007, p. 145.
- (en) G. H. Hardy et J. E. Littlewood, « Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes », Acta Mathematica, vol. 41, 1916, p. 119-196 (voir les notes dans cet article pour plus de références sur le travail de Cahen et Mellin, dont la thÚse de Cahen).
- (en) M. L. Glasser, « The evaluation of lattice sums. I. Analytic procedures », J. Math. Phys., vol. 14, no 3,â , p. 409-413.
Voir aussi
Articles connexes
Bibliographie
- (en) R. B. Paris et D. Kaminsky, Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals, Cambridge University Press, (lire en ligne)
- (en) A. D. Polyanin (en) et A. V. Manzhirov, Handbook of Integral Equations, CRC Press, , 2e Ă©d. (1re Ă©d. 1998) (ISBN 978-0-2038-8105-7, lire en ligne)
Liens externes
- (en) « Tables of Integral Transforms », sur EqWorld: The World of Mathematical Equations
- (en) Eric W. Weisstein, « Mellin Transform », sur MathWorld