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Transformation de Mellin

En mathĂ©matiques, la transformation de Mellin est une transformation intĂ©grale qui peut ĂȘtre considĂ©rĂ©e comme la version multiplicative (en) de la transformation de Laplace bilatĂ©rale. Cette transformation intĂ©grale est fortement reliĂ©e Ă  la thĂ©orie des sĂ©ries de Dirichlet, et est souvent utilisĂ©e en thĂ©orie des nombres et dans la thĂ©orie des dĂ©veloppements asymptotiques ; elle est Ă©galement fortement reliĂ©e Ă  la transformation de Laplace, Ă  la transformation de Fourier, Ă  la thĂ©orie de la fonction gamma et aux fonctions spĂ©ciales.

La transformation de Mellin a été nommée ainsi en l'honneur du mathématicien finlandais Hjalmar Mellin.

DĂ©finition

La transformée de Mellin d'une fonction f définie et continue par morceaux sur est la fonction notée ou et définie par l'intégrale généralisée :

.

Une condition suffisante d'existence de la transformée est donnée par le résultat suivant[1] :

ThĂ©orĂšme — On suppose que :

  • f est continue sur ;
  • pour un nombre rĂ©el quand ;
  • quand (f tend vers 0 plus vite que toute puissance (nĂ©gative) de x quand ).

Alors l'intégrale généralisée converge absolument pour Re (s) > α et définit une fonction holomorphe sur le demi-plan Re (s) > α.

Plus généralement, si

  • f est continue sur ;
  • pour des nombres rĂ©els α < ÎČ,
    • quand et
    • quand ,

alors l'intĂ©grale gĂ©nĂ©ralisĂ©e converge absolument pour α < Re (s) < ÎČ et dĂ©finit une fonction holomorphe sur la bande α < Re (s) < ÎČ.

Exemples

  • La transformĂ©e d'une distribution de Dirac , avec a > 0, est une fonction exponentielle .
  • La transformĂ©e de Mellin de la fonction , avec a > 0, est la fonction sur le demi-plan Re (s) > 0
    (oĂč H est la fonction de Heaviside, f (x) = 1 si 0 < x < a et f (x) = 0 si x > a).
  • La transformĂ©e de Mellin de la fonction , avec a > 0, est la fonction sur le demi-plan Re (s) > 0
    ( est la fonction gamma d'Euler).
  • La transformĂ©e de Mellin de la fonction est la fonction sur le demi-plan Re (s) > 0.
  • La transformĂ©e de Mellin de la fonction est la fonction sur la bande –1 < Re (s) < 1
    (l'intĂ©grale gĂ©nĂ©ralisĂ©e est semi-convergente si Re (s) ≄ 0).
  • La transformĂ©e de Mellin de la fonction est la fonction sur la bande 0 < Re (s) < 1
    (l'intégrale généralisée est semi-convergente).
  • La transformĂ©e de Mellin de la fonction est la fonction sur la bande 0 < Re (s) < 1[2].
  • Plus gĂ©nĂ©ralement, la transformĂ©e de Mellin de la fonction est la fonction sur la bande 0 < Re (s) < Re (a)
    ( est la fonction bĂȘta).
  • La transformĂ©e de Mellin de la fonction est la fonction sur la bande 0 < Re (s) < 2[3].
  • La transformĂ©e de Mellin de la fonction est la fonction sur la bande –1 < Re (s) < 0[2].
  • La transformĂ©e de Mellin de la fonction est la fonction sur le demi-plan Re (s) > 1
    ( est la fonction zĂȘta de Riemann).

Transformation de Mellin inverse

La transformation inverse est

.

La notation suppose que c'est une intégrale curviligne s'appliquant sur une droite verticale dans le plan complexe.

ThĂ©orĂšme — On suppose que[1] :

  • f est continue sur ;
  • pour un nombre rĂ©el quand ;
  • quand (f tend vers 0 plus vite que toute puissance (nĂ©gative) de x quand ).

On a la formule d'inversion de Mellin valide pour tout et tout x > 0 :

.

Relations avec les autres transformations

Avec la transformation de Laplace bilatérale

La transformation bilatĂ©rale de Laplace () peut ĂȘtre dĂ©finie en termes de transformation de Mellin par

.

Inversement, on peut obtenir la transformation de Mellin à partir de la transformation de Laplace bilatérale par

.

La transformation de Mellin peut ĂȘtre vue comme une intĂ©gration utilisant un noyau xs qui respecte la mesure de Haar multiplicative, , qui est invariante sous la dilatation , c'est-Ă -dire .

La transformation de Laplace bilatérale intÚgre en respectant la mesure de Haar additive , qui est invariante par translation, c'est-à-dire .

Avec la transformation de Fourier

On peut aussi définir la transformation de Fourier en termes de transformation de Mellin et vice-versa ; si nous définissons la transformation de Fourier comme ci-dessus, alors

.

On peut aussi inverser le processus et obtenir

.

La transformation de Mellin est aussi reliée aux séries de Newton ou aux transformations binomiales avec la fonction génératrice de la loi de Poisson, au moyen du cycle de Poisson-Mellin-Newton.

Intégrale de Cahen-Mellin

Pour , et sur la branche principale, on a

.

Cette intégrale est connue sous le nom d'intégrale de Cahen-Mellin[4].

Applications

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalitĂ© issu de l’article de WikipĂ©dia en anglais intitulĂ© « Mellin transform » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) Henri Cohen, Number Theory, vol. II : Analytic and Modern Tools, Springer, coll. « GTM » (no 240), (lire en ligne), p. 107.
  2. Cohen 2007, p. 150.
  3. Cohen 2007, p. 145.
  4. (en) G. H. Hardy et J. E. Littlewood, « Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes », Acta Mathematica, vol. 41, 1916, p. 119-196 (voir les notes dans cet article pour plus de références sur le travail de Cahen et Mellin, dont la thÚse de Cahen).
  5. (en) M. L. Glasser, « The evaluation of lattice sums. I. Analytic procedures », J. Math. Phys., vol. 14, no 3,‎ , p. 409-413.

Voir aussi

Articles connexes

Bibliographie

Liens externes

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