Moyenne de Riesz

La moyenne de Riesz d'une série de terme général ${\displaystyle s_{n}}$ est définie par :

${\displaystyle s^{\delta }(\lambda )=\sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }s_{n}}$

et sa moyenne de Riesz généralisée est définie par :

${\displaystyle R_{n}={\frac {1}{\lambda _{n}}}\sum _{k=0}^{n}(\lambda _{k}-\lambda _{k-1})^{\delta }s_{k},}$

où ${\displaystyle (\lambda _{n})~}$ est une suite arbitraire telle que ${\displaystyle \lambda _{n}\to \infty }$ et ${\displaystyle \lambda _{n+1}/\lambda _{n}\to 1}$ quand ${\displaystyle n\to \infty }$.

Les moyennes de Riesz sont souvent utilisées pour explorer la sommabilité des séries ; les théorèmes de sommabilité usuels traitent du cas de ${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=0}^{n}s_{n}}$. Typiquement, une série est sommable lorsque la limite ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }R_{n}}$ existe, ou la limite ${\displaystyle \lim _{\delta \to 1,\lambda \to \infty }s^{\delta }(\lambda )}$ existe, néanmoins, les théorèmes de sommabilité précis en question imposent souvent des conditions supplémentaires.

Soit ${\displaystyle s_{n}=1}$ quel que soit ${\displaystyle n}$. Alors

${\displaystyle \sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (s)}{\Gamma (1+\delta +s)}}\zeta (s)\lambda ^{s}~\mathrm {d} s={\frac {\lambda }{1+\delta }}+\sum _{n}b_{n}\lambda ^{-n}.}$

Ici, on doit prendre ${\displaystyle c>1}$ ; ${\displaystyle \Gamma }$ est la fonction gamma et ${\displaystyle \zeta }$ est la fonction zêta de Riemann. On peut montrer que la série de puissances ${\displaystyle \sum _{n}b_{n}\lambda ^{-n}}$ converge pour ${\displaystyle \lambda >1}$. Remarquons que l'intégrale est de la forme d'une transformée de Mellin inverse.

Un autre cas intéressant relié à la théorie des nombres survient en prenant ${\displaystyle s_{n}=\Lambda (n)}$ où ${\displaystyle \Lambda (n)}$ est la fonction de von Mangoldt. Alors

${\displaystyle \sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }\Lambda (n)=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (s)}{\Gamma (1+\delta +s)}}{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}\lambda ^{s}~\mathrm {d} s={\frac {\lambda }{1+\delta }}+\sum _{\rho }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (\rho )}{\Gamma (1+\delta +\rho )}}+\sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}.}$

De nouveau, on doit prendre ${\displaystyle c>1}$. La somme sur ${\displaystyle \rho }$ est la somme sur les zéros de la fonction zêta de Riemann, et ${\displaystyle \sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}}$ converge pour ${\displaystyle \lambda >1}$.

Les intégrales qui apparaissent ici sont similaires à l'intégrale de Nörlund-Rice ; très grossièrement, elles peuvent être reliées à cette intégrale par la formule de Perron.

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