Formule de Perron
Soient (a (n ))n ∈ℕ* une fonction arithmétique et
A
(
x
)
=
∑
n
≤
x
⋆
a
(
n
)
,
{\displaystyle A(x)={\sum _{n\leq x}}^{\star }a(n),}
où l'étoile sur le symbole de sommation indique que le dernier terme doit être multiplié par 1/2 quand x est entier.série de Dirichlet classique
f
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
a
(
n
)
n
s
{\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}}
admet une abscisse de convergence simple finie σc .[1] c > max(0, σc ) et x
A
(
x
)
=
1
2
π
i
∫
c
−
i
∞
c
+
i
∞
f
(
s
)
x
s
s
d
s
,
{\displaystyle A(x)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{c-\mathrm {i} \infty }^{c+\mathrm {i} \infty }f(s){\frac {x^{s}}{s}}~\mathrm {d} s,}
où l'intégrale est semi-convergente pour x non entier et converge en valeur principale pour x entier.
Pour une série de Dirichlet générale, de la forme
f
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
a
(
n
)
e
−
λ
n
s
,
{\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a(n)\mathrm {e} ^{-\lambda _{n}s},}
on a de même[2] [3] [4] c > max(0, σc ) et y ∊ ]λn n + 1
∑
k
=
1
n
a
(
k
)
=
1
2
i
π
∫
c
−
i
∞
c
+
i
∞
f
(
s
)
e
s
y
s
d
s
.
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a(k)={\frac {1}{2\mathrm {i} \pi }}\int _{c-\mathrm {i} \infty }^{c+\mathrm {i} \infty }f(s){\frac {\mathrm {e} ^{sy}}{s}}~\mathrm {d} s.}
Soit
f
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
a
(
n
)
n
s
{\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}}
σ
>
σ
c
{\displaystyle \sigma >\sigma _{c}}
σ
a
{\displaystyle \sigma _{a}}
Alors on a[1]
x
≥
1
,
T
≥
1
,
c
>
max
(
0
,
σ
a
)
,
{\displaystyle x\geq 1,T\geq 1,c>\max(0,\sigma _{a}),}
∑
n
≤
x
a
(
n
)
=
1
2
i
π
∫
c
−
i
T
c
+
i
T
f
(
u
)
x
u
u
d
u
+
O
(
x
c
∑
n
≥
1
|
a
n
|
n
c
(
1
+
T
|
ln
(
x
/
n
)
|
)
)
.
{\displaystyle \sum _{n\leq x}a(n)={\frac {1}{2i\pi }}\int _{c-\mathrm {i} T}^{c+\mathrm {i} T}f(u){\frac {x^{u}}{u}}\;\mathrm {d} u+O\left(x^{c}\sum _{n\geq 1}{\frac {|a_{n}|}{n^{c}(1+T|\ln(x/n)|)}}\right).}
Soit
f
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
a
(
n
)
n
s
{\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}}
σ
>
σ
c
{\displaystyle \sigma >\sigma _{c}}
σ
a
{\displaystyle \sigma _{a}}
|
a
n
|
≤
ψ
(
n
)
,
{\displaystyle |a_{n}|\leq \psi (n),}
ψ
(
n
)
{\displaystyle \psi (n)}
croissante (au sens large).
On suppose de plus que, pour un nombre réel
α
≥
0
{\displaystyle \alpha \geq 0}
∑
n
=
0
∞
|
a
(
n
)
|
n
σ
=
O
(
1
(
σ
−
σ
a
)
α
)
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {|a(n)|}{n^{\sigma }}}=O\left({\frac {1}{(\sigma -\sigma _{a})^{\alpha }}}\right)}
σ
a
<
σ
≤
σ
a
+
1.
{\displaystyle \sigma _{a}<\sigma \leq \sigma _{a}+1.}
Alors on a[1]
x
≥
2
,
T
≥
2
,
σ
≤
σ
a
,
c
:=
σ
a
−
σ
+
1
/
ln
x
,
{\displaystyle x\geq 2,T\geq 2,\sigma \leq \sigma _{a},c:=\sigma _{a}-\sigma +1/\ln x,}
∑
n
≤
x
a
(
n
)
n
s
=
1
2
i
π
∫
c
−
i
T
c
+
i
T
f
(
u
+
s
)
x
u
u
d
u
+
O
(
x
σ
a
−
σ
(
ln
x
)
α
T
+
ψ
(
2
x
)
x
σ
(
1
+
x
ln
T
T
)
)
.
{\displaystyle \sum _{n\leq x}{\frac {a(n)}{n^{s}}}={\frac {1}{2\mathrm {i} \pi }}\int _{c-\mathrm {i} T}^{c+\mathrm {i} T}f(u+s){\frac {x^{u}}{u}}\;du+O\left(x^{\sigma _{a}-\sigma }{\frac {(\ln x)^{\alpha }}{T}}+{\frac {\psi (2x)}{x^{\sigma }}}\left(1+x{\frac {\ln T}{T}}\right)\right).}
Preuves Pour les trois formules concernant les séries de Dirichlet classiques, on part du lemme suivant établi par le calcul des résidus[1] [5]
Soit
h
(
x
)
{\displaystyle h(x)}
x > 1x = 1c , T , T' > 0
∀
x
≠
1
|
h
(
x
)
−
1
2
i
π
∫
c
−
i
T
′
c
+
i
T
x
u
u
d
u
|
≤
x
c
2
π
|
ln
x
|
(
1
T
+
1
T
′
)
,
|
h
(
1
)
−
1
2
i
π
∫
c
−
i
T
c
+
i
T
1
u
d
u
|
≤
c
T
+
c
.
{\displaystyle \forall x\neq 1\quad \left|h(x)-{\frac {1}{2\mathrm {i} \pi }}\int _{c-\mathrm {i} T'}^{c+\mathrm {i} T}{\frac {x^{u}}{u}}~\mathrm {d} u\right|\leq {\frac {x^{c}}{2\pi |\ln x|}}\left({\frac {1}{T}}+{\frac {1}{T'}}\right),\qquad \left|h(1)-{\frac {1}{2\mathrm {i} \pi }}\int _{c-\mathrm {i} T}^{c+\mathrm {i} T}{\frac {1}{u}}~\mathrm {d} u\right|\leq {\frac {c}{T+c}}.}
Il reste ensuite à multiplier par an /ns n .
Une preuve[1] c est strictement supérieur à l'abscisse de convergence absolue σa de la série. Si on a seulement c > σc c + 1 > σa théorème intégral de Cauchy permet de se ramener au cas précédent.
Notes et références Gérald Tenenbaum, Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres , Paris, Belin, 2015 (en) Eric W. Weisstein , « Perron's Formula MathWorld (en) Władysław Narkiewicz The Development of Prime Number Theory: From Euclid to Hardy and Littlewood , Springer , 2000 (lire en ligne ) , p. 196 G. Valiron , « Théorie générale des séries de Dirichlet », Mémorial des sciences mathématiques , vol. 17, 1926 , p. 1-56 (lire en ligne ) (en) Tom M. Apostol , Introduction to Analytic Number Theory , New York, Springer , 1976 (lire en ligne ) , p. 243-246
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