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Formule de Perron

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie analytique des nombres, la formule de Perron est une formule d'Oskar Perron pour calculer la fonction sommatoire () d'une fonction arithmétique, au moyen d'une transformation de Mellin inverse de la série de Dirichlet associée.

La formule de Perron

Soient (a(n))n∈ℕ* une fonction arithmétique et

où l'étoile sur le symbole de sommation indique que le dernier terme doit être multiplié par 1/2 quand x est entier.
Nous supposons que la série de Dirichlet classique

admet une abscisse de convergence simple finie σc.
Alors, la formule de Perron est[1] : pour tous réels c > max(0, σc) et x > 0,

où l'intégrale est semi-convergente pour x non entier et converge en valeur principale pour x entier.

Formule de Perron pour une série de Dirichlet générale

Pour une série de Dirichlet générale, de la forme

on a de même[2] - [3] - [4], pour tous nombres réels c > max(0, σc) et y ∊ ]λn, λn + 1[,

Formules effectives

Première formule de Perron effective

Soit pour , d'abscisse de convergence absolue finie .

Alors on a[1], si

Seconde formule de Perron effective

Soit pour , d'abscisse de convergence absolue finie , et où pour une fonction croissante (au sens large).

On suppose de plus que, pour un nombre réel ,

quand

Alors on a[1], si

Preuves

Pour les trois formules concernant les séries de Dirichlet classiques, on part du lemme suivant établi par le calcul des résidus[1] - [5].

Soit la fonction valant 0 sur l'intervalle [0,1[, 1 sur l'intervalle x > 1 (et 1/2 pour x = 1). Alors, pour tous c, T, T' > 0 :

Il reste ensuite à multiplier par an/ns et sommer sur n.

Une preuve[1] de la formule de Perron pour une série de Dirichlet classique consiste à appliquer d'abord ce lemme lorsque c est strictement supérieur à l'abscisse de convergence absolue σa de la série. Si on a seulement c > σc, alors c + 1 > σa et le théorème intégral de Cauchy permet de se ramener au cas précédent.

Notes et références

  1. Gérald Tenenbaum, Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, Paris, Belin,
  2. (en) Eric W. Weisstein, « Perron's Formula », sur MathWorld
  3. (en) Władysław Narkiewicz, The Development of Prime Number Theory: From Euclid to Hardy and Littlewood, Springer, (lire en ligne), p. 196
  4. G. Valiron, « Théorie générale des séries de Dirichlet », Mémorial des sciences mathématiques, vol. 17, , p. 1-56 (lire en ligne), p. 9
  5. (en) Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, New York, Springer, (lire en ligne), p. 243-246
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