Fonction de Debye

On a :

${\displaystyle \forall p>0,\ D_{p}(x)+{\overline {D_{p}}}(x)={\frac {p}{x^{p}}}\Gamma (p+1)\zeta (p+1).}$

Les fonctions de Debye sont fortement reliées aux fonctions polylogarithmes, les unes apparaissant dans les développements en série des autres (Abramowitz & Stegun, § 27.1) :

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*},\ \operatorname {Li} _{n}(\mathrm {e} ^{x})=\sum _{k=0}^{n-1}D_{n-k}(-x){x^{k} \over k!},\quad D_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n-1}\operatorname {Li} _{n-k}(\mathrm {e} ^{-x}){x^{k} \over k!}~~~~~~(n=1,2,3,\ldots )}$

Les fonctions de Debye ont pour développement en série entière[3] - [4]

${\displaystyle \forall x\in ,\quad D_{n}(x)=1-{\frac {n}{2(n+1)}}x+n\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k+n)(2k)!}}x^{2k},\quad |x|<2\pi ,\ n\geq 1,}$

où B_n est le n^e nombre de Bernoulli.

On a également[2]

${\displaystyle \forall x\in ,D_{n,\beta }(x)={\frac {n}{x^{n}}}\sum _{k=0}^{+\infty }(-1)^{k}{\frac {(-1)^{k}\Gamma (\beta +k)}{k!\Gamma (\beta )}}{\frac {\gamma (n+1,(\beta +k)x)}{(\beta +k)^{n+1}}}}$

où γ désigne la fonction gamma incomplète.

Toutes les fonctions de Debye tendent vers 1 en 0 :

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*},\ \lim _{x\to 0}D_{n}(x)=1.}$

Avec Γ la fonction Gamma d'Euler et ζ la fonction zêta de Riemann, on a[5],

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*},D_{n}(x)={\frac {n}{x^{n}}}\int _{0}^{x}{\frac {t^{n}\,\mathrm {d} t}{\mathrm {e} ^{t}-1}}\sim _{+\infty }{\frac {n}{x^{n}}}\Gamma (n+1)\zeta (n+1)}$

La dérivée vérifie l'équation fonctionnelle

${\displaystyle \forall x>0,\ \forall n\in \mathbb {N} ^{*},\ xD_{n}^{\prime }(x)=n(B(x)-D_{n}(x)),}$

avec ${\displaystyle B(x)=x/(\mathrm {e} ^{x}-1)}$, la fonction de Bernoulli.

Le modèle de Debye a une densité d'états vibrationnels

${\displaystyle g_{\rm {D}}(\omega )={\frac {9\omega ^{2}}{\omega _{\rm {D}}^{3}}}\quad \mathrm {pour} \quad 0\leq \omega \leq \omega _{\rm {D}}}$

avec ω_D la fréquence de Debye.

En insérant la densité g dans l'énergie interne

${\displaystyle U=\int _{0}^{\infty }\mathrm {d} \omega \,g(\omega )\,\hbar \omega \,n(\omega )}$

avec la distribution de Bose-Einstein

${\displaystyle n(\omega )={\frac {1}{\exp(\hbar \omega /k_{\rm {B}}T)-1}}}$.

on obtient

${\displaystyle U=3k_{\rm {B}}T\,D_{3}(\hbar \omega _{\rm {D}}/k_{\rm {B}}T)}$.

La capacité thermique est la dérivée vue au-dessus.

L'intensité de la diffraction des rayons X ou la diffraction des neutrons au nombre d'onde q est donnée par le facteur de Debye-Waller ou le facteur de Lamb-Mössbauer (en). Pour des systèmes isotropes, il prend la forme

${\displaystyle \exp(-2W(q))=\exp(-q^{2}\langle u_{x}^{2}\rangle }$).

Dans cette expression, le déplacement quadratique moyen renvoie à une seule composante cartésienne u_x du vecteur u qui décrit le déplacement d'atome à partir de leurs positions d'équilibre. En supposant l'harmonicité en développant les modes normaux[6], on retrouve

${\displaystyle 2W(q)={\frac {\hbar ^{2}q^{2}}{6Mk_{\rm {B}}T}}\int _{0}^{\infty }\mathrm {d} \omega {\frac {k_{\rm {B}}T}{\hbar \omega }}g(\omega )\coth {\frac {\hbar \omega }{2k_{\rm {B}}T}}={\frac {\hbar ^{2}q^{2}}{6Mk_{\rm {B}}T}}\int _{0}^{\infty }\mathrm {d} \omega {\frac {k_{\rm {B}}T}{\hbar \omega }}g(\omega )\left[{\frac {2}{\exp(\hbar \omega /k_{\rm {B}}T)-1}}+1\right].}$

En insérant les densités d'état depuis le modèle de Debye, on trouve

${\displaystyle 2W(q)={\frac {3}{2}}{\frac {\hbar ^{2}q^{2}}{M\hbar \omega _{\rm {D}}}}\left[2\left({\frac {k_{\rm {B}}T}{\hbar \omega _{\rm {D}}}}\right)D_{1}\left({\frac {\hbar \omega _{\rm {D}}}{k_{\rm {B}}T}}\right)+{\frac {1}{2}}\right]}$.

Avec le développement en série entière de D₁, on trouve le déplacement quadratique moyen à hautes températures, qui dépend linéairement de la température

${\displaystyle 2W(q)={\frac {3k_{\rm {B}}Tq^{2}}{M\omega _{\rm {D}}^{2}}}}$.

L'absence de ${\displaystyle \hbar }$ indique qu'il s'agit d'un résultat de physique classique. Puisque D₁(x) tend vers 0 pour ${\displaystyle x\to \infty }$ on trouve pour T = 0 (énergie du point zéro).

${\displaystyle 2W(q)={\frac {3}{4}}{\frac {\hbar ^{2}q^{2}}{M\hbar \omega _{\rm {D}}}}.}$