Fonction bêta de Dirichlet

L'équation fonctionnelle suivante permet d'étendre la fonction β à la partie gauche du plan complexe Re(s) < 1.

${\displaystyle \beta (s)=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{s-1}\Gamma (1-s)\cos \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\,\beta (1-s)}$

où Γ est la fonction gamma d'Euler.

On peut noter les valeurs particulières suivantes :

• ${\displaystyle \beta (0)={\frac {1}{2}}}$,
• ${\displaystyle \beta (1)={\frac {\pi }{4}}}$[1],
• ${\displaystyle \beta (2)=}$ la constante de Catalan,
• ${\displaystyle \beta (3)={\frac {\pi ^{3}}{32}}}$,
• ${\displaystyle \beta (4)={\frac {\psi _{3}\left(1/4\right)-8\pi ^{4}}{768}}}$, où ${\displaystyle \psi _{3}}$ est la fonction polygamma d'indice 3,
• ${\displaystyle \beta (5)={\frac {5\pi ^{5}}{1536}}}$,
• ${\displaystyle \beta (7)={\frac {61\pi ^{7}}{184320}}}$.

Plus généralement, les valeurs prises par la fonction β aux entiers positifs impairs sont des multiples rationnels de puissances de π.

• ${\displaystyle \beta (2k+1)={\frac {E_{2k}}{2(2k)!}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2k+1}}$,

  où les ${\displaystyle E_{2k}}$ sont des nombres d'Euler. Et les valeurs de β aux entiers négatifs pairs sont données aussi par les nombres d'Euler avec :

• ${\displaystyle \beta (-k)={{E_{k}} \over 2}}$.

Par contre, on ne connaît pas grand chose sur les valeurs aux entiers positifs pairs.