Vecteur de Killing

L'opérateur ${\displaystyle D/d\tau }$ peut se réécrire, d'après la définition d'une géodésique,

${\displaystyle D/d\tau =u^{b}D_{b}}$.

On a donc

${\displaystyle {\frac {D}{d\tau }}(u^{a}\xi _{a})=u^{b}D_{b}(u^{a}\xi _{a})}$.

En utilisant la règle de Leibniz des dérivées, on obtient alors

${\displaystyle u^{b}D_{b}(u^{a}\xi _{a})=u^{b}u^{a}D_{b}\xi _{a}+u^{b}\xi _{a}D_{b}u^{a}}$.

Le second terme de l'égalité est nul. En effet, la définition même d'une géodésique est que son vecteur tangent est conservé le long de la géodésique, soit

${\displaystyle {\frac {D}{d\tau }}u^{a}=u^{b}D_{b}u^{a}=0}$.

Le premier terme de l'égalité est également nul. En effet, l'équation de Killing indique que le tenseur ${\displaystyle D_{a}\xi _{b}}$ est antisymétrique. Sa contraction avec un tenseur symétrique est donc nulle. Ainsi, on a bien

${\displaystyle {\frac {D}{d\tau }}(u^{a}\xi _{a})=0}$.

À partir de l'équation de Killing, on effectue une dérivation supplémentaire. On obtient donc :

${\displaystyle D_{ca}\xi _{b}+D_{cb}\xi _{a}=0}$.

Les dérivées covariantes ne commutent pas en général, mais peuvent être commutées si on leur adjoint un terme supplémentaire faisant appel au tenseur de Riemann (c'est même la définition du tenseur de Riemann) :

${\displaystyle D_{cb}\xi _{a}=D_{bc}\xi _{a}-R_{\;acb}^{d}\xi _{d}}$ .

On obtient ainsi

${\displaystyle D_{ca}\xi _{b}+D_{bc}\xi _{a}=R_{\;acb}^{d}\xi _{d}}$ .

On peut réécrire cette équation en effectuant des permutations sur les indices a, b et c :

${\displaystyle D_{ab}\xi _{c}+D_{ca}\xi _{b}=R_{\;bac}^{d}\xi _{d}}$ .

${\displaystyle D_{bc}\xi _{a}+D_{ab}\xi _{c}=R_{\;cba}^{d}\xi _{d}}$ .

En effectuant la somme de ces trois égalités, on obtient

${\displaystyle 2D_{ca}\xi _{b}+2D_{bc}\xi _{a}+2D_{ab}\xi _{c}=(R_{\;acb}^{d}+R_{\;bac}^{d}+R_{\;cba}^{d})\xi _{d}}$ .

En vertu de la première identité de Bianchi, les termes du membre de droite s'annulent. On a donc

${\displaystyle D_{ca}\xi _{b}+D_{bc}\xi _{a}+D_{ab}\xi _{c}=0}$ .

En soustrayant ceci à la première égalité faisant intervenir le tenseur de Riemann, il vient alors

${\displaystyle D_{ab}\xi _{c}=-R_{\;acb}^{d}\xi _{d}}$ .

En effet, la divergence de la quantité ${\displaystyle T^{ab}\xi _{b}}$ donne

${\displaystyle D_{a}(T^{ab}\xi _{b})=T^{ab}D_{a}\xi _{b}+\xi _{b}D_{a}T^{ab}}$.

Le premier terme est nul, car il est la contraction d'un tenseur symétrique (${\displaystyle T^{ab}}$) et d'un tenseur antisymétrique (${\displaystyle D_{a}\xi _{b}}$, d'après l'équation de Killing). Le second terme est également nul car le tenseur énergie impulsion est par définition de divergence nulle (${\displaystyle D_{a}T^{ab}=0}$). On a donc

${\displaystyle D_{a}(T^{ab}\xi _{b})=0}$.

Le crochet de Lie de ${\displaystyle \xi }$ par ${\displaystyle \zeta }$ s'écrit, en termes de composantes,

${\displaystyle \zeta ^{b}D_{b}\xi ^{a}-\xi ^{b}D_{b}\zeta ^{a}}$.

Pour que ce vecteur soit un vecteur de Killing, il faut et il suffit qu'il satisfasse à l'équation de Killing. On calcule donc

${\displaystyle D_{a}\left(\zeta ^{c}D_{c}\xi _{b}-\xi ^{c}D_{c}\zeta _{b}\right)-D_{b}\left(\zeta ^{c}D_{c}\xi _{a}-\xi ^{c}D_{c}\zeta _{a}\right)}$

${\displaystyle =\zeta ^{c}\left(D_{ac}\xi _{b}-D_{bc}\xi _{a}\right)+\xi ^{c}\left(D_{bc}\zeta _{a}-D_{ac}\zeta _{b}\right)+D_{a}\zeta ^{c}\;D_{c}\xi _{b}-D_{c}\zeta _{b}\;D_{a}\xi ^{c}-D_{b}\zeta ^{c}\;D_{c}\xi _{a}+D_{c}\zeta _{a}\;D_{b}\xi ^{c}}$.

Les termes comprenant des produits de deux dérivées premières peuvent être manipulés en utilisant l'équation de Killing pour ${\displaystyle \xi }$ et ${\displaystyle \zeta }$, de sorte que l'indice c ne porte pas sur la dérivée covariante, mais sur le vecteur. Ainsi, on a

${\displaystyle D_{a}\zeta ^{c}\;D_{c}\xi _{b}-D_{c}\zeta _{b}\;D_{a}\xi ^{c}-D_{b}\zeta ^{c}\;D_{c}\xi _{a}+D_{c}\zeta _{a}\;D_{b}\xi ^{c}=-D_{a}\zeta ^{c}\;D_{b}\xi _{c}+D_{b}\zeta _{c}\;D_{a}\xi ^{c}-D_{b}\zeta ^{c}\;D_{a}\xi _{c}+D_{a}\zeta _{c}\;D_{b}\xi ^{c}=0}$,

car les termes s'annulent deux à deux. Pour les termes comprenant des dérivées seconde, on utilise également les équations de Killing pour chasser l'indice c des dérivées covariantes. On a

${\displaystyle \zeta ^{c}\left(D_{ac}\xi _{b}-D_{bc}\xi _{a}\right)+\xi ^{c}\left(D_{bc}\zeta _{a}-D_{ac}\zeta _{b}\right)=\zeta ^{c}\left(-D_{ab}\xi _{c}+D_{ba}\xi _{c}\right)+\xi ^{c}\left(D_{ba}\zeta _{c}-D_{ab}\zeta _{c}\right).}$

On reconnaît le commutateur des dérivées covariantes, que l'on peut réécrire à l'aide du tenseur de Riemann :

${\displaystyle \zeta ^{c}\left(-D_{ab}\xi _{c}-D_{ba}\xi _{c}\right)+\xi ^{c}\left(D_{ba}\zeta _{c}-D_{ab}\zeta _{c}\right)=\zeta ^{c}R_{\;cab}^{d}\xi _{d}-\xi ^{c}R_{\;cba}^{d}\zeta _{d}}$.

En utilisant enfin les relations d'antisymétrie sur les deux paires d'indices du tenseur de Riemann et en intervertissant les indices muets c et d sur un des deux membres du résultat, on obtient

${\displaystyle \zeta ^{c}R_{\;cab}^{d}\xi _{d}-\xi ^{c}R_{\;cba}^{d}\zeta _{d}=\zeta ^{c}\xi ^{d}R_{dcab}-\xi ^{c}\zeta ^{d}R_{dcba}=\zeta ^{c}\xi ^{d}R_{dcab}-\zeta ^{c}\xi ^{d}R_{cdba}=\zeta ^{c}\xi ^{d}(R_{dcab}-R_{cdba})=\zeta ^{c}\xi ^{d}(R_{dcab}-R_{dcab})=0}$.