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Classification de Bianchi

La classification de Bianchi est une classification des algèbres de Lie réelles de dimension 3, donnée par Luigi Bianchi.

Classification de Bianchi

Type Description Exemple Groupe de Lie Matrice
Type IAbélienneR³, muni d'un crochet nulR³ comme groupe additifM = 0
Type IINilpotente et unimodulaireH³, l'algèbre de HeisenbergLe Groupe de Heisenberg de dimension 3M nilpotente non nulle
Type IIIRésoluble et pas unimodulaireRx...RxG : Produit direct du groupe additif R et du groupe G des matrices triangulaires supérieures de déterminant 1M a une unique valeur propre nulle
Type IVRésoluble et pas unimodulaireM est une matrice non semi-simple possédant une unique valeur propre, qui est non nulle.
Type VRésoluble et non unimodulaireM est une matrice semi-simple possédant une unique valeur propre.
Type VIRésoluble et non unimodulaireM a deux valeurs propres réelles distinctes non nulles et de somme non nulle.
Type VI0Résoluble et unimodulaireso(1,1)SO(1,1)M possède deux valeurs propres réelles distinctes de somme nulle.
Type VIIRésoluble et unimodulaireM a des valeurs propres non réelles et non imaginaires pures.
Type VII0Résoluble et unimodulaireGroupe des isométries directes du plan euclidienM ne possède que des valeurs propres imaginaires pures non nulles.
Type VIIISemisimple et unimodulairesl2(R)SL2(R)Irréalisable
Type IXSemisimple et unimodulaireo3(R) ou su2(C)SO3(R) ou SU2(C)Irréalisable

Intérêt pour la cosmologie

En cosmologie, cette classification est utilisée pour les espaces-temps homogènes de dimension 3+1. L'univers de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker est isotrope, ce qui est un cas particulier du type I, V et IX décrit ci-dessus. Le cas général correspond à univers homogène, mais dont l'expansion est anisotrope, c'est-à-dire dont le taux d'expansion est différent suivant trois directions orthogonales. Le type IX de la classification de Bianchi (la Métrique de Kasner est un cas particulier) révèle une dynamique particulièrement complexe de l'expansion. Celle-ci se faisant par la succession d'époques de type expansion anisotrope (avec deux directions en expansion, une en contraction) qui sont séparées par des périodes où les taux d'expansion dans les trois directions changent de façon brutale et relativement chaotique.

Références

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