Groupe de Heisenberg

${\displaystyle H_{3}(A)}$ est un sous-groupe du groupe linéaire GL(3, A).

La loi sur A³ induite par la bijection

${\displaystyle A^{3}\to H_{3}(A),\quad (a,b,c)\mapsto {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}},}$

est :

${\displaystyle (a,b,c)(a',b',c')=(a+a',b+b',c+c'+ab').}$

C'est donc le produit semi-direct A⋉(A×A), le groupe additif A agissant sur le produit direct A×A par : a⋅(b, c) = (b, c + ab).

Par construction, A³ muni de cette loi est un groupe isomorphe à ${\displaystyle H_{3}(A)}$, dans lequel :

• les puissances n-ièmes sont données par ${\displaystyle (a,b,c)^{n}=\left(na,nb,nc+{\frac {n(n-1)}{2}}ab\right)}$,
• le symétrique de ${\displaystyle (a,b,c)}$ est ${\displaystyle (-a,-b,-c+ab)}$, donc
• le commutateur ${\displaystyle \left[x,y\right]:=xyx^{-1}y^{-1}}$ de ${\displaystyle x:=(a,b,c)}$ et ${\displaystyle y:=(a',b',c')}$ est ${\displaystyle (0,0,ab'-ba')}$, donc
• le groupe dérivé et le centre sont égaux à 0×0×A.

Le groupe ${\displaystyle H_{3}(A)}$ est par conséquent nilpotent de classe 2, donc non abélien (sauf si A est l'anneau nul, auquel cas le groupe est trivial).

${\displaystyle H_{3}(\mathbb {R} )}$ est un groupe de Lie réel de dimension 3. Le groupe de Heisenberg discret ${\displaystyle H_{3}(\mathbb {Z} )}$ en est un réseau.

Plus généralement, on peut associer un groupe de Heisenberg à tout espace vectoriel symplectique ${\displaystyle (V,\omega )}$ (${\displaystyle \omega }$ est une forme bilinéaire non dégénérée alternée sur ${\displaystyle V}$). Le groupe de Heisenberg ${\displaystyle H(V)}$ est l'espace topologique produit ${\displaystyle V\times \mathbb {R} }$, muni de la loi de groupe :

${\displaystyle (v_{1},t_{1})*(v_{2},t_{2})=\left(v_{1}+v_{2},t_{1}+t_{2}+{\tfrac {1}{2}}\omega (v_{1},v_{2})\right).}$

Le groupe ${\displaystyle H(V)}$ est une extension du groupe additif de ${\displaystyle V}$. L'algèbre de Lie de ${\displaystyle H(V)}$ est l'espace vectoriel ${\displaystyle h(V)=V\oplus \mathbb {R} }$, muni du crochet de Lie

${\displaystyle [(v_{1},t_{1}),(v_{2},t_{2})]=(0,\omega (v_{1},v_{2})).}$

Le groupe ${\displaystyle H_{3}(\mathbb {Z} )}$, identifié à ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{3}}$ muni de la loi ci-dessus, est engendré par ${\displaystyle x:=(1,0,0)}$ et ${\displaystyle y:=(0,1,0)}$. En faisant intervenir leur commutateur ${\displaystyle z:=\left[x,y\right]=(0,0,1)}$, on démontre qu'une présentation de ce groupe est donnée par trois générateurs ${\displaystyle x,y,z}$ et trois relations : ${\displaystyle z=xyx^{-1}y^{-1}}$, ${\displaystyle xz=zx}$ et ${\displaystyle yz=zy}$.

D'après le théorème de Bass, ${\displaystyle H_{3}(\mathbb {Z} )}$ a une croissance (en) polynomiale d'ordre 4.

D'après sa structure (voir supra) :

• ${\displaystyle H_{3}({\rm {F}}_{p})}$ a un centre d'ordre p et son quotient par ce centre est un p-groupe abélien élémentaire (en) (isomorphe à (ℤ/pℤ)×(ℤ/pℤ)) : on dit que ${\displaystyle H_{3}({\rm {F}}_{p})}$ est un p-groupe extra-spécial (en) ;
• ce quotient est aussi l'abélianisé de ${\displaystyle H_{3}({\rm {F}}_{p})}$.