Métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker

Les éponymes de la métrique sont Alexandre Friedmann, Georges Lemaître, Howard Percy Robertson et Arthur Geoffrey Walkercol. 1''s.v.''_Robertson-Walker_(métrique_de)_2-1">[2] - [6] - chap. 3,_sec. 3.1,_§ 3.1.4_7-0">[7].

Friedmann obtient la métrique dès 1922chap. 2,_sec. 2.9_8-0">[8] pour le cas d'un univers ferméII,_chap. 17,_sec. 17.1_9-0">[9] - [10] puis en 1924 pour celui d'un univers ouvertII,_chap. 17,_sec. 17.1_9-1">[9] - [11]. Indépendamment de Friedmannchap. 2,_sec. 2.9_8-1">[8], Lemaître obtient la métrique en 1927chap. 2,_sec. 2.9_8-2">[8] pour le cas d'un univers ouvertII,_chap. 17,_sec. 17.1_9-2">[9] - [12]. Robertson obtient en 1929 la métrique pour le cas le plus simple d'un univers platII,_chap. 17,_sec. 17.1_9-3">[9]. Robertson en 1933 puis Walker en 1935[13] obtiennent la métrique généraleII,_chap. 17,_sec. 17.1_14-0">[14]. Il en démontrent, en 1935, l'unicité : elle est l'unique métrique pour un espace-temps homogène et isotropechap. 2,_sec. 2.9_8-3">[8].

Il a été noté[6] une tendance à se référer à la métrique sous le nom de métrique de Robertson-Walkercol. 1''s.v.''_Robertson-Walker_(métrique_de)_2-2">[2] - s.v.''_Robertson-Walker_metric_15-0">[15] - s.v.''_Robertson-Walker_(métrique_de)_16-0">[16] - [N 1] (RW) et à réserver le nom de Friedmann-Lemaître aux équations qui en décrivent sa dynamique[6]. Mais, suivant les préférences géographiques ou historiques, la métrique FLRW, et son modèle cosmologique conséquent, peuvent être désignés selon d'autres combinaisons des noms d'une partie des quatre scientifiqueschap. 12,_notes,_6_21-0">[20]. On trouvera, par exemple : Friedmann-Robertson-Walker (FRW), Friedmann-Lemaître (FL)…

La métrique FLRW décrit la géométrie moyenne de l'Univers aux grandes échelles. Elle nous donne sa dynamique et nous permet de connaître l'évolution de sa taille (contraction ou expansion de l'Univers).

Un univers homogène et isotrope demeure au cours de son évolution homogène et isotrope. Il ne peut rendre compte de la formation des structures le composant, de densité inhomogène par définition. La formation de ses structures, tels que les filaments ou les amas de galaxies, est permise par l'introduction de perturbations autour de cette métrique FLRW. Ces perturbations croissent au cours du temps, par attraction gravitationnelle, et entraînent la création des grandes structures observées. Elles sont supposées d'origine quantique, et leur existence nous est donnée par l'observation du fond diffus cosmologique, réalisée grâce aux satellites COBE, WMAP, et plus récemment Planck.

La métrique FLRW est de forme[21] - chap. 2,_sec. 2.2_23-0">[22] - chap. 2,_sec. 2.1,_§ 2.1.1_24-0">[23] - § 4.1.1_25-0">[24] :

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=g_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\mathrm {d} x^{\nu }=c^{2}\mathrm {d} t^{2}-a^{2}(t)\gamma _{ij}\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}}$,

où :

• ${\displaystyle x^{\mu }(\mu =0,1,2,3)}$ sont les coordonnées d'espace-temps, avec :
  • ${\displaystyle x^{0}=t}$, la coordonnée de temps ;
  • ${\displaystyle x^{i}(i=1,2,3)}$, les trois coordonnées d'espace ;
• ${\displaystyle c}$ est la vitesse de la lumièrecol. 1''s.v.''_Robertson-Walker_(métrique_de)_2-3">[2] dans le vide ;
• ${\displaystyle \gamma _{ij}}$ est la métrique induitechap. 2,_sec. 2.1,_§ 2.1.1_24-1">[23] - § 4.1.1_25-1">[24] sur les hypersurfaces à trois dimensionschap. 2,_sec. 2.1,_§ 2.1.1_24-2">[23] de genre espacechap. 2,_sec. 2.1,_§ 2.1.1_24-3">[23] - § 4.1.1_25-2">[24].

En coordonnées sphériques ${\displaystyle (r,\theta ,\phi )}$[25], l'élément de longueur d'espace-temps ${\displaystyle ds}$, pour la métrique FLRW, se note :

${\displaystyle {\rm {d}}s^{2}=c^{2}{\rm {d}}t^{2}-a(t)^{2}\left({\frac {{\rm {d}}r^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}{\rm {d}}\Omega ^{2}\right)}$

en choisissant la signature de la métrique (en) ${\displaystyle (+---)}$ où :

• ${\displaystyle a(t)\;}$est le facteur d'échelle. Le signe de ${\displaystyle {\dot {a}}(t)}$ renseigne sur l'évolution de l'Univers : ${\displaystyle {\dot {a}}(t)>0}$ pour un univers en expansion, ${\displaystyle {\dot {a}}(t)<0}$ pour un univers en contraction et ${\displaystyle {\dot {a}}(t)=0}$ pour un univers statique, le tout considéré au temps ${\displaystyle t}$. Pour un temps ${\displaystyle t_{a}}$ tel que ${\displaystyle a(t_{a})=N>1}$, l'univers est ${\displaystyle N}$ fois plus grand que maintenant. Pour un temps ${\displaystyle t_{b}}$ tel que ${\displaystyle a(t_{b})=1/N<1}$, l'univers est ${\displaystyle N}$ fois plus petit que maintenant ;
• ${\displaystyle k\;}$est le facteur de courbure[26] et peut valoir ${\displaystyle -1}$, ${\displaystyle 0}$ ou ${\displaystyle 1}$. La valeur ${\displaystyle k=-1}$ correspond à un espace à courbure ouverte (correspondant à une géométrie hyperbolique), la valeur ${\displaystyle k=0}$ correspond à un espace à courbure nulle (correspondant à l'espace euclidien de la relativité restreinte), et la valeur ${\displaystyle k=1}$ correspond à un espace à courbure fermée (correspondant à une géométrie sphérique) ;
• ${\displaystyle \textstyle {\rm {d}}\Omega ^{2}={\rm {d}}\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \;{\rm {d}}\phi ^{2}}$[25] est la métrique sur la sphère ;
• ${\displaystyle a}$ est homogène à une longueur[21] ;
• ${\displaystyle t}$ est le temps cosmique[26] ;
• ${\displaystyle r}$ est sans dimension[21] ;

En introduisant le changement de coordonnées : ${\displaystyle {\begin{cases}r=\sin(\chi /R_{0})&{\textrm {si}}\ k=1\\r=\chi /R_{0}&{\textrm {si}}\ k=0\\r=\sinh(\chi /R_{0})&{\textrm {si}}\ k=-1\\\end{cases}}}$ où ${\displaystyle \chi \;}$ permet de déterminer la distance comobile, l'élément de longueur ${\displaystyle ds}$ se reformule :

${\displaystyle {\rm {d}}s^{2}=c^{2}{\rm {d}}t^{2}-a(t)^{2}\left({\rm {d}}\chi ^{2}+S_{k}^{2}(\chi ){\rm {d}}\Omega ^{2}\right)}$

• ${\displaystyle S_{k}(\chi )=R(t_{0}){\begin{cases}\sin(\chi /R(t_{0}))&{\textrm {si}}\ k=1\\\chi /R(t_{0})&{\textrm {si}}\ k=0\\\sinh(\chi /R(t_{0}))&{\textrm {si}}\ k=-1\\\end{cases}}\;}$.