Tenseur de Killing

Un tenseur symétrique ${\displaystyle \xi }$ est un tenseur de Killing s'il vérifie :

${\displaystyle D_{(a}\xi _{b)}=0\,}$

où D est la dérivée covariante associée à la métrique riemannienne de la variété considérée, et les parenthèses désignent le fait que l'on a symétrisé l'équation sur les indices a et b.

Cette équation peut formellement se généraliser à un tenseur X d'ordre n quelconque sous la forme :

${\displaystyle D_{(a}X_{b_{1}\ldots b_{n})}=0\,}$.

Tout tenseur obéissant à une telle équation est un tenseur de Killing[1].

Il n'existe pas d'interprétation géométrique simple d'un tenseur de Killing. Par contre ceux-ci possèdent la même propriété que les vecteurs de Killing vis-à-vis des géodésiques, à savoir qu'ils permettent de définir une constante du mouvement si on les contracte avec le vecteur tangent u à une géodésique.

La quantité C définie par :

${\displaystyle C=X_{b_{1}\ldots b_{n}}u^{b_{1}}\ldots \;u^{b_{n}}}$

est en effet constante le long d'une géodésique.

Ceci permet dans certains cas la résolution explicite des équations du mouvement dans un espace possédant un tenseur de Killing. C'est en particulier le cas dans la métrique de Kerr où un tel tenseur a été trouvé par Brandon Carter dans les années 1960. On parle de la constante de Carter, qui assure qu'un mouvement dans la géométrie de Kerr est intégrable[2].

Il prend ainsi un rôle important dans la compréhension des trajectoires décrites en relativité générale.

Il existe une autre généralisation du concept de vecteur de Killing à des tenseurs d'ordre plus élevé. Il s'agit des tenseurs de Killing-Yano, introduits en 1952 par Kentaro Yano[3].