Constante de Carter

L'éponymecol. 1''s.v.''Carter_(constante_de)_1-2">[1] de la constante de Cartercol. 1''s.v.''Carter_(constante_de)_1-3">[1] - chap. 5,_§ 5.2_2-0">[2] (en anglais : Carter constant)col. 1''s.v.''Carter_(constante_de)_1-4">[1] - chap. 4,_introd._3-0">[3] est le physicien australien Brandon Carter (1942-)col. 1''s.v.''Carter_(constante_de)_1-5">[1] - chap. 4,_§ 4.2_4-0">[4] qui en a découvert l'existence en 1968col. 1''s.v.''Carter_(constante_de)_1-6">[1] - chap. 4,_§ 4.2_4-1">[4] - chap. 3,_§ 3.4_5-0">[5] à partir de la séparabilitéchap. 3,_§ 3.4_5-1">[5] de l'équation de Hamilton-Jacobicol. 1''s.v.''Carter_(constante_de)_1-7">[1] - chap. 3,_§ 3.4_5-2">[5] - [6].

Soit une particule test de masse au repos ${\displaystyle \mu }$ et de charge électrique ${\displaystyle e}$ se mouvant dans le champ extérieur d'un trou noirchap. 33,_§ 33.5_7-0">[7] de Kerr-Newmannchap. 33,_§ 33.5_8-0">[8]. La constante de Carter, associée à la particule, est donnée parchap. 3,_sect._3.4,_§ 3.4.1_9-0">[9] - chap. 33,_§ 33.5_(4)_10-0">[10] :

${\displaystyle C=p_{\theta }^{2}+\cos ^{2}\theta \left[a^{2}\left(\mu ^{2}-E^{2}\right)+\sin ^{-2}\theta \,L_{z}^{2}\right]}$,

où :

• ${\displaystyle \cos }$ et ${\displaystyle \sin }$ sont respectivement le cosinus et le sinus ;
• ${\displaystyle \mu }$ est la masse au reposchap. 33,_§ 33.5_(3)_11-0">[11] ;
• ${\displaystyle E}$ est l'énergie à l'infinichap. 33,_§ 33.5_(1)_12-0">[12] ;
• ${\displaystyle L_{z}}$ est la composante axiale du moment cinétiquechap. 33,_§ 33.5_(2)_13-0">[13].

La constante K est souvent utilisée à la place de la constante Cchap. 33,_§ 33.5_(4)_14-0">[14] :

${\displaystyle K=C+\left(L_{z}-aE\right)^{2}}$.

La formulation la plus élégante de la constante de Carter fait appel au formalisme des tenseurs de Killing, objets dont l'existence assure celle d'une constante du mouvement associée. Ce tenseur de Killing s'écrit sous la forme

${\displaystyle K_{ab}=2\Sigma l_{(a}n_{b)}-r^{2}g_{ab}}$,

où les vecteurs l et n sont définis par

${\displaystyle l^{a}={\frac {1}{\Delta }}\left((r^{2}+a^{2})\left({\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{a}+a\left({\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)^{a}+\Delta \left({\frac {\partial }{\partial r}}\right)^{a}\right)}$,

${\displaystyle n^{a}={\frac {1}{2\Sigma }}\left((r^{2}+a^{2})\left({\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{a}+a\left({\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)^{a}-\Delta \left({\frac {\partial }{\partial r}}\right)^{a}\right)}$,

la quantité a représentant le moment cinétique par unité de masse du trou noir exprimé dans le système d'unités géométriques (tel que la vitesse de la lumière et la constante de gravitation ont pour valeur numérique 1), et le système de coordonnées ${\displaystyle (t,r,\theta ,\phi )}$ utilisé est celui dit de Boyer-Lindquist, utilisé habituellement pour décrire les métriques de ces objets.

Avec l'ensemble de ces notations, la constante de Carter, traditionnellement notée C, vaut

${\displaystyle C=K_{ab}u^{a}u^{b}}$,

où u est la quadrivitesse décrivant la trajectoire considérée, le long de laquelle C est donc constante.