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Constante de Carter

La constante de Carter est, en relativité générale, une constante du mouvement pour des particules qui suivent des géodésiques de l'espace-temps associé à un trou noir en rotation de Kerr ou de Kerr-Newmanncol. 1''s.v.''Carter_(constante_de)_1-0">[1]. C'est une fonction quadratique de la quantité de mouvement de la particulecol. 1''s.v.''Carter_(constante_de)_1-1">[1]. Elle correspond à la quatrième constante du mouvement dans les métriques décrivant les trous noirs en rotation, assurant ainsi que les trajectoires de particules uniquement soumises au champ de gravitation de ces objets sont intégrables.

Histoire

L'éponymecol. 1''s.v.''Carter_(constante_de)_1-2">[1] de la constante de Cartercol. 1''s.v.''Carter_(constante_de)_1-3">[1] - chap. 5,_§ 5.2_2-0">[2] (en anglais : Carter constant)col. 1''s.v.''Carter_(constante_de)_1-4">[1] - chap. 4,_introd._3-0">[3] est le physicien australien Brandon Carter (-)col. 1''s.v.''Carter_(constante_de)_1-5">[1] - chap. 4,_§ 4.2_4-0">[4] qui en a découvert l'existence en col. 1''s.v.''Carter_(constante_de)_1-6">[1] - chap. 4,_§ 4.2_4-1">[4] - chap. 3,_§ 3.4_5-0">[5] à partir de la séparabilitéchap. 3,_§ 3.4_5-1">[5] de l'équation de Hamilton-Jacobicol. 1''s.v.''Carter_(constante_de)_1-7">[1] - chap. 3,_§ 3.4_5-2">[5] - [6].

Formule

Soit une particule test de masse au repos et de charge électrique se mouvant dans le champ extérieur d'un trou noirchap. 33,_§ 33.5_7-0">[7] de Kerr-Newmannchap. 33,_§ 33.5_8-0">[8]. La constante de Carter, associée à la particule, est donnée parchap. 3,_sect._3.4,_§ 3.4.1_9-0">[9] - chap. 33,_§ 33.5_(4)_10-0">[10] :

,

où :

  • et sont respectivement le cosinus et le sinus ;
  • est la masse au reposchap. 33,_§ 33.5_(3)_11-0">[11] ;
  • est l'énergie à l'infinichap. 33,_§ 33.5_(1)_12-0">[12] ;
  • est la composante axiale du moment cinétiquechap. 33,_§ 33.5_(2)_13-0">[13].

La constante K est souvent utilisée à la place de la constante Cchap. 33,_§ 33.5_(4)_14-0">[14] :

.

La formulation la plus élégante de la constante de Carter fait appel au formalisme des tenseurs de Killing, objets dont l'existence assure celle d'une constante du mouvement associée. Ce tenseur de Killing s'écrit sous la forme

,

où les vecteurs l et n sont définis par

,
,

la quantité a représentant le moment cinétique par unité de masse du trou noir exprimé dans le système d'unités géométriques (tel que la vitesse de la lumière et la constante de gravitation ont pour valeur numérique 1), et le système de coordonnées utilisé est celui dit de Boyer-Lindquist, utilisé habituellement pour décrire les métriques de ces objets.

Avec l'ensemble de ces notations, la constante de Carter, traditionnellement notée C, vaut

,

u est la quadrivitesse décrivant la trajectoire considérée, le long de laquelle C est donc constante.

Notes et références

  1. col. 1''s.v.''Carter_(constante_de)-1" class="mw-reference-text">Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v.Carter (constante de), p. 102, col. 1.
  2. chap. 5,_§ 5.2-2" class="mw-reference-text">Gialis et Désert 2015, chap. 5, § 5.2, p. 159.
  3. chap. 4,_introd.-3" class="mw-reference-text">O'Neill 2014, chap. 4, introd., p. 177.
  4. chap. 4,_§ 4.2-4" class="mw-reference-text">O'Neill 2014, chap. 4, § 4.2, p. 183.
  5. chap. 3,_§ 3.4-5" class="mw-reference-text">Camenzind 1997, chap. 3, § 3.4, p. 84.
  6. Carter 1968.
  7. chap. 33,_§ 33.5-7" class="mw-reference-text">Misner, Thorne et Wheeler 1973, chap. 33, § 33.5, p. 897.
  8. chap. 33,_§ 33.5-8" class="mw-reference-text">Misner, Thorne et Wheeler 1973, chap. 33, § 33.5, p. 898.
  9. chap. 3,_sect._3.4,_§ 3.4.1-9" class="mw-reference-text">Frolov et Nivikov 1998, chap. 3, sect. 3.4, § 3.4.1, p. 70 (3.4.7).
  10. chap. 33,_§ 33.5_(4)-10" class="mw-reference-text">Misner, Thorne et Wheeler 1973, chap. 33, § 33.5 (4), p. 899 (33.31d).
  11. chap. 33,_§ 33.5_(3)-11" class="mw-reference-text">Misner, Thorne et Wheeler 1973, chap. 33, § 33.5 (3), p. 899.
  12. chap. 33,_§ 33.5_(1)-12" class="mw-reference-text">Misner, Thorne et Wheeler 1973, chap. 33, § 33.5 (1), p. 898-899.
  13. chap. 33,_§ 33.5_(2)-13" class="mw-reference-text">Misner, Thorne et Wheeler 1973, chap. 33, § 33.5 (2), p. 898-899.
  14. chap. 33,_§ 33.5_(4)-14" class="mw-reference-text">Misner, Thorne et Wheeler 1973, chap. 33, § 33.5 (4), p. 899 (31.31e).

Voir aussi

Bibliographie

Articles connexes

Liens externes

  • [Gourgoulhon 2014] É. Gourgoulhon, Relativité générale (cours d'introd. à la relativité générale, donné en 2de an. du master Astronomie, astrophysique et ingénierie spatiale de la Fédération des enseignements d'astronomie et d'astrophysique d'Île-de-France (observ. de Paris, univ. Paris-VI, VII et XI, ENS), an. univ. -), , 1 vol., 341, 21 × 29,7 cm (présentation en ligne, lire en ligne).
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