Espace de de Sitter

On peut définir l'espace de de Sitter comme une sous-variété d'un espace de Minkowski généralisé à une dimension supplémentaire. Considérons l'espace de Minkowski R^1,n muni de la métrique standard :

${\displaystyle ds^{2}=-dx_{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}dx_{i}^{2}.}$

L'espace de de Sitter est la sous-variété décrite par l'hyperboloïde à une nappe

${\displaystyle -x_{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}=\alpha ^{2}}$

où ${\displaystyle \alpha }$ est une constante non nulle. La métrique dans un espace de de Sitter est celle induite par la métrique de Minkowski ambiante. Elle est non dégénérée, de signature lorentzienne. (Remarque : si l'on remplace ${\displaystyle \alpha ^{2}}$ par ${\displaystyle -\alpha ^{2}}$ dans la définition ci-dessus, on obtient un hyperboloïde à deux nappes. La métrique induite est dans ce cas définie positive, et chaque nappe constitue un exemplaire d'un espace hyperbolique de dimension n. Pour une démonstration détaillée, voir géométrie de l'espace de Minkowski.)

Topologiquement, l'espace de de Sitter est R × Sⁿ⁻¹ (de telle sorte que, si n ≥ 3 alors l'espace de de Sitter est simplement connexe).

Le groupe d'isométrie de l'espace de de Sitter est le groupe de Lorentz O(1, n). La métrique possède donc n(n + 1)/2 vecteurs de Killing indépendants et possède une symétrie maximale. Tout espace à symétrie maximale a une courbure constante. Le tenseur de courbure de Riemann est donné par

${\displaystyle R_{\rho \sigma \mu \nu }={1 \over \alpha ^{2}}(g_{\rho \mu }g_{\sigma \nu }-g_{\rho \nu }g_{\sigma \mu }).}$

L'espace de de Sitter est une variété d'Einstein puisque le tenseur de courbure de Ricci est proportionnel à la métrique :

${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {n-1}{\alpha ^{2}}}g_{\mu \nu }}$

Cela signifie que l'espace de de Sitter est solution des équations d'Einstein dans le vide, pour une constante cosmologique

${\displaystyle \Lambda ={\frac {(n-1)(n-2)}{2\alpha ^{2}}}.}$

La courbure scalaire de l'espace de de Sitter vaut :

${\displaystyle R={\frac {n(n-1)}{\alpha ^{2}}}={\frac {2n}{n-2}}\Lambda .}$

Dans le cas n = 4, on obtient Λ = 3/α² et R = 4Λ = 12/α².

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