Loi d'inertie de Sylvester

Soient ${\displaystyle e=(e_{1},\ldots ,e_{n})}$ et ${\displaystyle e'=(e'_{1},\ldots ,e'_{n})}$ deux bases orthogonales. Désignons provisoirement par r et r' (resp. s et s' ) le nombre de vecteurs de chaque base pour lesquels Q est strictement positive (resp. strictement négative). On va d'abord montrer que r = r' et s = s'.

On note ${\displaystyle I=\{{i\mid Q(e_{i})>0\}}}$ et ${\displaystyle J=\{{j\mid Q(e'_{j})\leqslant 0\}}}$.

Alors la famille constituée des vecteurs ${\displaystyle (e_{i})_{i\in I}}$ et ${\displaystyle (e'_{j})_{j\in J}}$ est libre. En effet, si ${\displaystyle \sum _{i\in I}x_{i}.e_{i}+\sum _{j\in J}y_{j}.e'_{j}=0_{V}}$, le vecteur ${\displaystyle z=\sum _{i\in I}x_{i}e_{i}=-\sum _{j\in J}y_{j}e'_{j}}$ vérifie ${\displaystyle Q(z)=\sum _{i\in I}x_{i}^{2}Q(e_{i})=\sum _{j\in J}y_{j}^{2}Q(e'_{j})}$[4]. La définition de I et J implique la nullité de tous ${\displaystyle x_{i},i\in I}$ par antisymétrie. Alors ${\displaystyle \sum _{j\in J}y_{j}.e'_{j}=0_{V}}$, d'où cette fois la nullité des ${\displaystyle y_{j},j\in J}$. L'indépendance obtenue implique ${\displaystyle \mathrm {card} I+\mathrm {card} J\leqslant n}$, soit ${\displaystyle r+(n-r')\leqslant n}$ et donc ${\displaystyle r\leqslant r'}$. Par symétrie des rôles de ${\displaystyle e}$ et ${\displaystyle e'}$, ${\displaystyle r'\leqslant r}$ et donc par antisymétrie r = r'. Le même argument montre que s = s'.

Soit maintenant F un sous-espace de dimension maximale q sur lequel Q est définie négative, et ${\displaystyle F^{\perp }}$ son sous-espace orthogonal. Comme tout vecteur v de ${\displaystyle F\cap F^{\perp }}$ vérifie ${\displaystyle Q(v)=0}$, on a ${\displaystyle F\cap F^{\perp }=0}$. Comme d'autre part ${\displaystyle \dim F+\dim F^{\perp }\geq n}$,

${\displaystyle V=F\bigoplus F^{\perp }\quad {\text{(somme directe)}}}$.

On peut donc trouver une base orthogonale ${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$ dont les q premiers vecteurs forment une base de F et les n – q suivant une base de l'orthogonal de F. Mais ${\displaystyle Q(e_{i})\geq 0}$ pour i > q : sinon, sur l'espace ${\displaystyle F\bigoplus \mathbb {K} e_{i}}$, la forme Q serait encore définie négative, contrairement à l'hypothèse de dimension maximale pour F. D'après la première partie de la preuve, q = s ; de même, p = r.

${\displaystyle -\sum _{i=1}^{q}c_{i}x_{i}^{2}+\sum _{i=q+1}^{q+p}c_{i}x_{i}^{2}}$

où les ${\displaystyle x_{i}}$ sont les coordonnées par rapport à cette base, les ${\displaystyle c_{i}\in \mathbb {K} }$ sont strictement positifs. Si ${\displaystyle \mathbb {K} }$ est quadratiquement clos, dans la base orthogonale obtenue en remplaçant ${\displaystyle e_{i}\,(1\leq i\leq p+q)}$ par ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {c_{i}}}}e_{i}}$, Q s'écrit

${\displaystyle -\sum _{i=1}^{q}x_{i}^{2}+\sum _{i=q+1}^{q+p}x_{i}^{2}}$,

ce qui montre que deux formes de même signature sont équivalentes. (La condition est nécessaire : si ${\displaystyle Q^{\prime }=Q\circ \phi }$, où ${\displaystyle \phi :V\rightarrow V}$ est linéaire inversible, l'image par ${\displaystyle \phi }$ d'une base orthogonale pour Q' est orthogonale pour Q.)