Accueil🇫🇷Chercher

Matrices congruentes

En algèbre linéaire, deux matrices carrées A et B (de même taille et à coefficients dans un même corps K) sont dites congruentes si elles représentent la même forme bilinéaire dans deux bases différentes, c'est-à-dire s'il existe une matrice inversible P telle que[1]

où PT est la transposée de P.

Propriétés

La congruence définit une relation d'équivalence sur les matrices carrées de même taille à coefficients dans K.

Deux matrices congruentes ont même rang.

Sur un corps de caractéristique différente de 2, toute matrice symétrique de rang r est congruente à une matrice diagonale à r coefficients non nuls[2].

Toute matrice symétrique réelle est congruente à une matrice diagonale n'ayant que des 0, des 1 et –1 sur la diagonale.

Deux matrices symétriques réelles A et B sont congruentes si et seulement si elles ont la même signature[3].

Notes et références

  1. Jean-Pierre Ramis, André Warusfel et al., Mathématiques. Tout-en-un pour la Licence, vol. 2, Dunod, , 2e éd. (1re éd. 2007), 880 p. (ISBN 978-2-10-071392-9, lire en ligne), p. 111.
  2. (en) Sam Perlis, Theory of Matrices, Dover Publications, (1re éd. 1952) (lire en ligne), p. 90.
  3. Marc Troyanov, Algèbre Linéaire Avancé II pour physiciens, Lausanne, , 109 p., Page 84

Articles connexes

Cet article est issu de wikipedia. Text licence: CC BY-SA 4.0, Des conditions supplémentaires peuvent s’appliquer aux fichiers multimédias.