Réduction de Gauss

Soit ${\displaystyle q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}}$ un tel polynôme, supposé non identiquement nul. Si le coefficient a est non nul, on procède par complétion du carré :

${\displaystyle q(x,y)=a\left(x^{2}+{\tfrac {b}{a}}xy\right)+cy^{2}=a\left(x+{\tfrac {b}{2a}}y\right)^{2}+\left({\frac {4ac-b^{2}}{4a}}\right)y^{2}}$

Si a est nul et c non nul, on procède de même avec c. Si a et c sont tous deux nuls, on remarque que ${\displaystyle bxy={\tfrac {b}{4}}\left((x+y)^{2}-(x-y)^{2}\right).}$

On va montrer par récurrence forte sur n que pour toute forme quadratique q à n variables, il existe n combinaisons linéaires l_i des variables (autrement dit n formes linéaires) linéairement indépendantes et n nombres c_i tels que

${\displaystyle q=\sum _{i=1}^{n}c_{i}l_{i}^{2}}$.

Si n = 0, il n'y a rien à démontrer.

Supposons maintenant n > 0. Si q est nulle, c_i = 0 convient, avec (par exemple) l_i(x) = x_i. Supposons donc q non nulle et écrivons-la sous la forme :

${\displaystyle q(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i\leq n}a_{ii}x_{i}^{2}+2\sum _{1\leq i<j\leq n}a_{ij}x_{i}x_{j}}$.

On distingue deux cas.

1) L'un des coefficients ${\displaystyle a_{ii}}$ des termes carrés est non nul.

On peut, quitte à permuter les vecteurs de base, supposer que ${\displaystyle a_{11}\neq 0}$. On écrit séparément les termes où ${\displaystyle x_{1}}$ intervient :

${\displaystyle q(x)=a_{11}x_{1}^{2}+2\sum _{i=2}^{n}a_{1i}x_{1}x_{i}+\sum _{2\leq i,j\leq n}a_{ij}x_{i}x_{j}}$.

On écrit ces derniers sous forme canonique :

${\displaystyle a_{11}x_{1}^{2}+2\sum _{i=2}^{n}a_{1i}x_{1}x_{i}=a_{11}\left(x_{1}+\sum _{i=2}^{n}{\frac {a_{1i}}{a_{11}}}x_{i}\right)^{2}-{\frac {1}{a_{11}}}\left(\sum _{i=2}^{n}a_{1i}x_{i}\right)^{2}}$.

On obtient ainsi que

${\displaystyle q(x)=a_{11}\left(x_{1}+\sum _{i=2}^{n}{\frac {a_{1i}}{a_{11}}}x_{i}\right)^{2}+q^{\prime }(x)=c_{1}l_{1}^{2}(x)+q^{\prime }(x)}$,

où

• ${\displaystyle c_{1}=a_{11}}$ et ${\displaystyle l_{1}(x)=x_{1}+\sum _{i=2}^{n}{\frac {a_{1i}}{a_{11}}}x_{i}}$ ;
• ${\displaystyle q^{\prime }}$ est un polynôme homogène de degré 2 par rapport à ${\displaystyle x_{2},\ldots x_{n}}$.

L'hypothèse de récurrence nous dit que

${\displaystyle q^{\prime }=\sum _{i=2}^{n}c_{i}l_{i}^{2}}$,

où ${\displaystyle l_{2},\dots ,l_{n}}$ sont des combinaisons linéaires de ${\displaystyle x_{2},\ldots ,x_{n}}$, indépendantes. La coordonnée ${\displaystyle x_{1}}$ n'apparaît pas dans leur écriture, et apparaît dans celle de ${\displaystyle l_{1}}$. Il en résulte que les formes ${\displaystyle (l_{i})_{1\leq i\leq n}}$ sont encore indépendantes, d'où le résultat.

2) Tous les ${\displaystyle a_{ii}}$ sont nuls.

Puisque q est supposée non nulle, il existe des entiers i et j distincts tels que ${\displaystyle a_{ij}\not =0}$. Comme dans le premier cas, on peut supposer qu'il s'agit de ${\displaystyle a_{12}}$. On écrit ${\displaystyle q(x)=2a_{12}x_{1}x_{2}+2x_{1}\left(\sum _{i=3}^{n}a_{1i}x_{i}\right)+2x_{2}\left(\sum _{i=3}^{n}a_{2i}x_{i}\right)+\sum _{3\leq i,j\leq n}a_{ij}x_{i}x_{j}}$. La somme des termes en ${\displaystyle x_{1}}$ ou ${\displaystyle x_{2}}$ s'écrit aussi ${\displaystyle 2\left(a_{12}x_{1}+\sum _{i=3}^{n}a_{2i}x_{i}\right)\left(x_{2}+{\frac {1}{a_{12}}}\sum _{i=3}^{n}a_{1i}x_{i}\right)-{\frac {2}{a_{12}}}\left(\sum _{i=3}^{n}a_{2i}x_{i}\right)\left(\sum _{i=3}^{n}a_{1i}x_{i}\right)}$. On voit que ${\displaystyle q(x)}$ est de la forme ${\displaystyle 2l_{1}(x)l_{2}(x)+q^{\prime }(x)}$, où ${\displaystyle q^{\prime }}$ ne dépend que de ${\displaystyle x_{3},\ldots x_{n}}$. On conclut en appliquant l'hypothèse de récurrence à ${\displaystyle q^{\prime }}$, et en remarquant que ${\displaystyle 4l_{1}l_{2}=(l_{1}+l_{2})^{2}-(l_{1}-l_{2})^{2}}$. L'indépendance des formes ${\displaystyle l_{i}}$ se montre comme dans le premier cas.

• Soit${\displaystyle q(x)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-2x_{1}x_{2}-2x_{2}x_{3}-2x_{3}x_{1}.}$Alors ${\displaystyle \quad q(x)=(x_{1}-x_{2}-x_{3})^{2}-4x_{2}x_{3}=(x_{1}-x_{2}-x_{3})^{2}-(x_{2}+x_{3})^{2}+(x_{2}-x_{3})^{2}}$.
• Autre exemple :${\displaystyle q(x)=x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3}.}$ On a alors${\displaystyle q(x)=(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{3})-x_{3}^{2}={\frac {1}{4}}(x_{1}+x_{2}+2x_{3})^{2}-{\frac {1}{4}}(x_{1}-x_{2})^{2}-x_{3}^{2}.}$

• Ces calculs sont valables pour tout corps de caractéristique différente de 2.
• Le nombre de carrés est égal au rang de la forme quadratique étudiée.
• Si les coefficients sont réels, le nombre de carrés positifs, comme de carrés négatifs, ne dépend pas de la méthode employée (loi d'inertie de Sylvester).

Marcel Berger, Géométrie [détail des éditions], vol. 2, Nathan, 1990, 13.4.8

Matrices congruentes