Harmonique sphérique

On obtient alors l'expression inscrite plus bas. Une manière simple de retenir cette expression est la suivante :

${\displaystyle Y_{l,0}=P_{l}(\cos \theta )\cdot {\sqrt {\frac {2l+1}{4\pi }}}}$,

où P_l(x) est le polynôme de Legendre de degré l.

On obtient ensuite :

${\displaystyle J_{+}Y_{l,m}={\sqrt {(l^{2}-m^{2})+(l-m)}}\cdot Y_{l,m+1}}$

où

${\displaystyle J_{+}=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \phi }\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {\mathrm {i} }{\tan \theta }}\cdot {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)}$

est l'opérateur « d'échelle montante ».

Pour m négatif, ${\displaystyle Y_{l,m}=(-1)^{m}\cdot Y_{l,-m}^{*}}$

Souvent cette base se note ${\displaystyle |lm\rangle }$ :

toute fonction sur la sphère S² pourra donc s'écrire :

${\displaystyle f(\theta ,\phi )=f^{l,m}\cdot |lm\rangle }$

(en convention de sommation d'Einstein), les coefficients complexes f ^l,m jouant le rôle de composantes de f dans la base des ${\displaystyle |lm\rangle }$ (on dit parfois coefficients de Fourier généralisés).

En chimie ou en géophysique, il arrive qu'on préfère utiliser les harmoniques sphériques « réelles » et des coefficients de Fourier réels.

Les harmoniques sphériques formant une base orthogonale sur la sphère unité, toute fonction continue f(θ,φ) se décompose en une série d'harmoniques sphériques :

${\displaystyle f(\theta ,\varphi )=\sum _{l=0}^{+\infty }\sum _{m=-l}^{+l}C_{l}^{m}\cdot Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )}$

où l et m sont des indices entiers, Cm
l est un coefficient constant et souvent en mathématiques prend le nom de coefficient de Fourier généralisé relativement à cette base.

Le développement en harmoniques sphériques est l'équivalent, appliqué aux fonctions angulaires, du développement en séries de Fourier pour les fonctions périodiques.

Ym
l est la partie réelle d'une fonction complexe Ym
l

${\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )=\operatorname {Re} \left({\underline {Y_{l}^{m}}}(\theta ,\varphi )\right)}$

Ym
l est appelée « fonction associée de Legendre » et est définie par

${\displaystyle {\underline {Y_{l}^{m}}}(\theta ,\varphi )={\sqrt {\frac {2\cdot (l-m)!}{(l+m)!}}}\cdot P_{l}^{m}(\cos \theta )\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} m\varphi }}$

où i est l'imaginaire et Pm
l est le polynôme associé de Legendre :

${\displaystyle P_{l}^{m}(X)={\frac {(-1)^{m}}{2^{l}\cdot l!}}\cdot (1-X^{2})^{m/2}\cdot {\frac {\partial ^{m+l}}{\partial X^{m+l}}}\left[(X^{2}-1)^{l}\right]}$

On a donc

${\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {\frac {2\cdot (l-m)!}{(l+m)!}}}\cdot P_{l}^{m}(\cos \theta )\cdot \cos(m\varphi )}$

On a par exemple :

• ${\displaystyle P_{0}^{0}(\cos \theta )=1}$ (Y0
  0 est isotrope) ;
• ${\displaystyle P_{1}^{0}(\cos \theta )=\cos \theta }$ ;
• ${\displaystyle P_{1}^{1}(\cos \theta )=-\sin \theta }$ ;
• ${\displaystyle P_{3}^{1}(\cos \theta )={\frac {3}{2}}\cdot \sin \theta \cdot (-5\cdot \cos ^{2}\theta +1)}$ ;

Les fonctions Ym
l(θ, φ) présentent de plus en plus de symétries au fur et à mesure que l croît (sauf lorsque l = 0, puisque Y0
0 est une fonction constante et décrit donc une sphère).

Pour les harmoniques circulaires, on utilise des polynômes P_l de la fonction cosinus :

${\displaystyle Y_{l}(\theta )=P_{l}(\cos \theta )}$

Les polynômes P_l utilisés sont les polynômes de Legendre :

${\displaystyle P_{l}(X)={\frac {1}{2^{l}\cdot l!}}\cdot {\frac {d^{l}}{dX^{l}}}\left[(X^{2}-1)^{l}\right]}$ (formule de Rodrigues, mathématicien français)

On obtient :

• ${\displaystyle P_{0}(\cos \theta )=1~}$ (fonction isotrope) ;
• ${\displaystyle P_{1}(\cos \theta )=\cos \theta ~}$ ;
• ${\displaystyle P_{2}(\cos \theta )={\frac {1}{2}}(3\cos ^{2}\theta -1)}$ ;
• ${\displaystyle P_{3}(\cos \theta )={\frac {1}{2}}(5\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )}$ ;

Parmi les 2l +1 fonctions, l'habitude a été prise de sélectionner une base orthonormale sur la sphère ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$ munie de la mesure

${\displaystyle \mathrm {d} \mu ={\frac {1}{4\pi }}\sin \theta \ \mathrm {d} \theta \ \mathrm {d} \phi }$,

soit le produit scalaire (hermitien en fait) :

${\displaystyle \langle f_{1}\mid f_{2}\rangle ={\frac {1}{4\pi }}\iint _{S^{2}}f_{1}^{*}f_{2}\sin \theta \ \mathrm {d} \theta \ \mathrm {d} \phi }$

Les harmoniques sphériques sont les solutions de l'équation aux valeurs propres[1] :

${\displaystyle -\Delta Y_{l,m}(\theta ,\varphi )=l(l+1)Y_{l,m}(\theta ,\varphi )}$

où l'opérateur laplacien s'écrit en coordonnées sphériques sur la sphère de rayon unité J² :

${\displaystyle \Delta f(\theta ,\varphi ){\stackrel {\rm {def}}{=}}J^{2}f={\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial ~}{\partial \theta }}\left(\sin \theta \,{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}}$

Elles sont fonctions propres de l'opérateur ${\displaystyle J_{3}=-\mathrm {i} {\tfrac {\partial }{\partial \phi }}}$ :

${\displaystyle J_{3}Y_{l,m}=m\cdot Y_{l,m}}$

Celles-ci, une fois normées sur la sphère sont alors notées usuellement Y_l,m(θ , φ), où les angles (θ , φ) sont les coordonnées sphériques sur la sphère de rayon unité, et l et m sont deux nombres entiers tels que 0 ≤ l et –l ≤ m ≤ +l

Les harmoniques sphériques constituent une base orthonormale de fonctions propres de l'opérateur laplacien sur la sphère de rayon unité S₂ au sens où :

Elles sont orthogonales pour le produit scalaire suivant :

${\displaystyle \iint _{S_{2}}\mathrm {d} \Omega (\theta ,\varphi ){\overline {Y}}_{l',m'}(\theta ,\varphi )Y_{l,m}(\theta ,\varphi )=\delta _{l,l'}\delta _{m,m'}}$

Dans cette formule, dΩ(θ, φ) représente l'angle solide élémentaire :

${\displaystyle \mathrm {d} \Omega (\theta ,\varphi )=\sin \theta \ \mathrm {d} \theta \ \mathrm {d} \varphi }$

Toute fonction f(θ , φ) suffisamment régulière admet un développement en série :

${\displaystyle f(\theta ,\varphi )=\sum _{l=0}^{+\infty }\sum _{m=-l}^{+l}a_{l,m}Y_{l,m}(\theta ,\varphi )}$

où les coefficients complexes a_l,m se calculent par :

${\displaystyle a_{l,m}=\iint _{S_{2}}\mathrm {d} \Omega (\theta ,\varphi ){\overline {Y}}_{l,m}(\theta ,\varphi )f(\theta ,\varphi )}$

Les harmoniques sphériques généralisées sont définies sur la sphère S₃. La normalisation des harmoniques sphériques conduit à l'expression finale :

${\displaystyle Y_{l,m}(\theta ,\varphi )=(-1)^{{\frac {1}{2}}(m+|m|)}{\sqrt {{\frac {(2l+1)}{4\pi }}{\frac {(l-|m|)!}{(l+|m|)!}}}}P_{l,|m|}(\cos \theta )\mathrm {e} ^{i\,m\,\varphi }}$

Si m ≠ 0 les harmoniques sphériques ${\displaystyle Y_{\ell ,m}}$ ont des valeurs complexes. Il est cependant possible, pour une valeur donnée de ${\displaystyle \ell }$ de définir des combinaisons linéaires des ${\displaystyle Y_{\ell ,m}}$ qui soient réelles, tout en constituant toujours une base normalisée sur la sphère unité.

Il suffit pour cela de prendre les combinaisons linéaires suivantes :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {Y}}_{\ell m}&={\begin{cases}\displaystyle {\mathrm {i} \over {\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{m}-(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{-m}\right)&{\text{si}}\ m<0,\\\displaystyle Y_{\ell }^{0}&{\text{si}}\ m=0,\\\displaystyle {1 \over {\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-m}+(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{m}\right)&{\text{si}}\ m>0.\end{cases}}\\&={\begin{cases}\displaystyle {\mathrm {i} \over {\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-|m|}-(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{|m|}\right)&{\text{si}}\ m<0,\\\displaystyle Y_{\ell }^{0}&{\text{si}}\ m=0,\\\displaystyle {1 \over {\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-|m|}+(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{|m|}\right)&{\text{si}}\ m>0.\end{cases}}\\\end{aligned}}}$

Il est facile de vérifier que ces expressions sont bien normalisées à l'unité. Ces relations s'inversent sans difficulté pour donner :

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}={\begin{cases}\displaystyle {1 \over {\sqrt {2}}}\left({\tilde {Y}}_{\ell |m|}-\mathrm {i} {\tilde {Y}}_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{si}}\ m<0,\\\displaystyle {\tilde {Y}}_{\ell 0}&{\text{si}}\ m=0,\\\displaystyle {(-1)^{m} \over {\sqrt {2}}}\left({\tilde {Y}}_{\ell |m|}+\mathrm {i} {\tilde {Y}}_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{si}}\ m>0.\end{cases}}}$

En substituant les expressions précédentes des harmoniques sphériques, on obtient les expressions générales suivantes :

${\displaystyle {\tilde {Y}}_{\ell m}={\begin{cases}\displaystyle {\sqrt {2}}{\sqrt {{(2\ell +1) \over 4\pi }{(\ell -|m|)! \over (\ell +|m|)!}}}P_{\ell }^{|m|}(\cos \theta )\sin |m|\varphi &{\mbox{si }}m<0,\\\displaystyle {\sqrt {(2\ell +1) \over 4\pi }}P_{\ell }^{0}(\cos \theta )&{\mbox{si }}m=0,\\\displaystyle {\sqrt {2}}{\sqrt {{(2\ell +1) \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\cos m\varphi &{\mbox{si }}m>0.\end{cases}}}$

Ces fonctions sont utilisées fréquemment en chimie quantique pour représenter les parties angulaires des différentes orbitales atomiques associées aux différents électrons du cortège électronique des atomes.

Si l'on utilise la représentation sphérique

${\displaystyle \rho =\rho _{0}+\rho _{1}\cdot Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )}$

alors la surface représentatrice est une sphère bosselée ; les bosses correspondent aux parties où Ym
l est positif, les creux aux parties où Ym
l est négatif. Lorsque θ et φ décrivent l'intervalle [0 ; 2π[, Ym
l(θ, φ) s'annule selon l cercles :

• m cercles suivant un méridien, une iso-longitude (intersection entre un plan contenant Oz et la sphère) ;
• l – m cercles suivant un parallèle, une iso-latitude (intersection entre un plan parallèle à Oxy et la sphère).

Le paramètre l est appelé le « degré », m est appelé l'« ordre azimutal ». Entre les cercles d'annulation, la fonction est alternativement positive ou négative.

Ci-dessous sont représentées quatre coupes de l'harmonique sphérique Y2
3 :

Comme précédemment, on peut représenter la fonction par la courbe en coordonnées sphériques :

${\displaystyle Y_{3}^{2}}$

${\displaystyle \rho =\rho _{0}+\rho _{1}\cdot Y_{3}^{2}(\theta ,\varphi )}$ les parties en blanc sont positives, en bleu négatives	${\displaystyle \rho =|Y_{3}^{2}(\theta ,\varphi )|^{2}}$

Les harmoniques sphériques peuvent être représentées de façon plus simple sans les ventres de vibration, en ne gardant que les nœuds, comme le montre le tableau suivant[2]. Ce sont les sphères de la figure du haut, projetées sur un plan vertical. On retrouve sur la dernière ligne les quatre sphères de la première figure ci-dessus où l = 3. Les quatre valeurs de m y varient de 0 à 3 en valeur absolue. Sur la figure ci-après, on distingue les valeurs négatives pour tenir compte de ce que la rotation peut se faire dans un sens ou dans l'autre pour m > 0. Pour montrer la concordance avec les harmoniques, leur plus simple expression est donnée sous chaque sphère.

On reconnaît les nombres quantiques secondaire l, correspondant aux sous-couches s, p, d, f et m, magnétique, de l'atome d'hydrogène. Le nombre quantique principal n n'apparaît pas car les modes radiaux sont différents selon le problème étudié, résonance acoustique, atome d'hydrogène ou autre.

Pour montrer la concordance avec la littérature, l’expression des harmoniques sphériques est donnée sous chaque sphère. Le nombre et la valeur des zéros des polynômes de Legendre associés, non normalisés, donne le nombre de parallèles et leur position sur l’axe vertical. L’exponentielle imaginaire exp(imϕ), de module unité, utilisée habituellement au lieu des sinus et cosinus, donne le nombre de méridiens. Les valeurs de l ≥ 4 ne s’observent que dans les états excités ou les atomes de Rydberg où la valeur habituelle de l est 50 et dont l'orbitale est représentée non par une sphère mais par un anneau[3].

On peut représenter les harmoniques circulaires de trois manières :

• en coordonnées cartésiennes : y = Y_l(θ) ;
• en coordonnées polaires : r = r₀ + r₁Y_l(θ)
  avec r₁ < r₀, utilisé par exemple pour un objet circulaire ; la courbe coupe le cercle de centre O et de rayon r₀ lorsque la fonction s'annule ;
• en coordonnées polaires : r = |Y_l(θ)|²
  utilisé par exemple pour les fonctions d'onde en physique quantique.

Trois premières harmoniques circulaires

	Représentation cartésienne	Représentations polaires (tracé manuel)	Représentations polaires (tracé exact)
Y1
Y2
Y3

Dans le plan, la décomposition s'écrit :

${\displaystyle f(\theta )=\sum _{l=0}^{+\infty }C_{l}\cdot Y_{l}(\theta )}$

Y₀ est une fonction constante, la courbe représentatrice en coordonnées polaires r = Y₀(θ) est donc un cercle de rayon r₀.

Y_l est une fonction invariante par une rotation d'un angle de 1/l+1 tour, c'est-à-dire que

${\displaystyle Y_{l}\left(\theta +{\frac {2\pi }{l+1}}\right)=Y_{l}(\theta )}$

on dit que Y_l admet une symétrie d'ordre l + 1.

Lorsque l'on considère l'orientation d'un objet dans l'espace, il faut faire appel à trois angles ; on utilise en général les angles d'Euler (ψ, θ, φ).

Considérons une fonction continue de l'orientation f(ψ, θ, φ) ; comme précédemment, cette fonction peut être décomposée en harmoniques sphériques généralisées

${\displaystyle f(\psi ,\theta ,\varphi )=\sum _{l=0}^{+\infty }\sum _{m=-l}^{+l}\sum _{n=-l}^{+l}C_{l}^{mn}\cdot Y_{l}^{mn}(\psi ,\theta ,\varphi )}$

où Cmn
l est une constante. La fonction Ymn
l s'écrit :

${\displaystyle Y_{l}^{mn}(\psi ,\theta ,\varphi )=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} m\varphi }\cdot P_{l}^{mn}(\cos \theta )\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\psi }}$

Le polynôme Pmn
l est le polynôme de Legendre généralisé

${\displaystyle P_{l}^{mn}(X)={\frac {(-1)^{l-m}\cdot \mathrm {i} ^{n-m}}{2^{l}\cdot (l-m)!}}\cdot \left[{\frac {(l-m)!(l+n)!}{(l+m)!(l-n)!}}\right]^{1/2}\cdot (1-X)^{-{\frac {n-m}{2}}}}$${\displaystyle \cdot (1+X)^{-{\frac {n+m}{2}}}\cdot {\frac {\partial ^{l-n}}{\partial X^{l-n}}}\left[(1-X)^{l-m}(1+X)^{l+m}\right]}$

Quand X décrit l'intervalle [-1 ; 1], cette fonction Pmn
l est soit réelle, soit imaginaire pure. Y00
0(ψ, θ, φ) est la fonction isotrope (symétrie sphérique).

D'après la loi de composition des rotations, on a :

${\displaystyle Y_{l}^{mn}(\psi _{1}+\psi _{2},\theta _{1}+\theta _{2},\varphi _{1}+\varphi _{2})=\sum _{s=-l}^{+l}Y_{l}^{ms}(\psi _{1},\theta _{1},\varphi _{1})\cdot Y_{l}^{sn}(\psi _{2},\theta _{2},\varphi _{2})}$

et en particulier

${\displaystyle P_{l}^{mn}(\cos(\theta _{1}+\theta _{2}))=\sum _{s=-l}^{+l}P_{l}^{ms}(\cos \theta _{1})\cdot P_{l}^{sn}(\cos \theta _{2})}$

On a de manière générale :

${\displaystyle P_{l}^{mn}=P_{l}^{nm}=P_{l}^{-m-n}}$

Par exemple pour l = 1 :

${\displaystyle P_{1}^{mn}(\cos \theta )}$

m	n
	-1	0	+1
-1	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(1+\cos \theta )}$	${\displaystyle -{\frac {i}{\sqrt {2}}}\sin \theta }$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(\cos \theta -1)}$
0	${\displaystyle -{\frac {i}{\sqrt {2}}}\sin \theta }$	${\displaystyle \cos \theta }$	${\displaystyle -{\frac {i}{\sqrt {2}}}\sin \theta }$
1	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(\cos \theta -1)}$	${\displaystyle -{\frac {i}{\sqrt {2}}}\sin \theta }$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(1+\cos \theta )}$

Pour l = 2 :

${\displaystyle P_{2}^{mn}(\cos \theta )}$

m	n
	-2	-1	0	+1	+2
-2	${\displaystyle {\frac {1}{4}}(\cos \theta +1)^{2}}$	${\displaystyle -{\frac {i}{2}}\sin \theta (\cos \theta +1)}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{2}}}(1-\cos ^{2}\theta )}$	${\displaystyle -{\frac {i}{2}}\sin \theta (\cos \theta -1)}$	${\displaystyle {\frac {1}{4}}(\cos \theta -1)^{2}}$
-1	${\displaystyle -{\frac {i}{2}}\sin \theta (\cos \theta +1)}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(2\cos ^{2}\theta +\cos \theta -1)}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {3}{2}}}i\sin \theta \cos \theta }$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(2\cos ^{2}\theta -\cos \theta -1)}$	${\displaystyle -{\frac {i}{2}}\sin \theta (\cos \theta -1)}$
0	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{2}}}(1-\cos ^{2}\theta )}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {3}{2}}}i\sin \theta \cos \theta }$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(3\cos ^{2}\theta -1)}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {3}{2}}}i\sin \theta \cos \theta }$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{2}}}(1-\cos ^{2}\theta )}$
1	${\displaystyle -{\frac {i}{2}}\sin \theta (\cos \theta -1)}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(2\cos ^{2}\theta -\cos \theta -1)}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {3}{2}}}i\sin \theta \cos \theta }$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(2\cos ^{2}\theta +\cos \theta -1)}$	${\displaystyle -{\frac {i}{2}}\sin \theta (\cos \theta +1)}$
2	${\displaystyle {\frac {1}{4}}(\cos \theta -1)^{2}}$	${\displaystyle -{\frac {i}{2}}\sin \theta (\cos \theta -1)}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{2}}}(1-\cos ^{2}\theta )}$	${\displaystyle -{\frac {i}{2}}\sin \theta (\cos \theta +1)}$	${\displaystyle {\frac {1}{4}}(\cos \theta +1)^{2}}$

• Équation de Laplace
• Atome
• Mécanique quantique
• Atome d'hydrogène
• Orbitale atomique, orbitale moléculaire
• Opérateur laplacien
• Polynôme de Legendre
• Géoïde
• Ambisonie
• Fonction spéciale

• Champs géophysiques, C. Vigny, cours de l'École normale supérieure
• La prévision numérique avec le modèle ARPEGE sur le site de Météo-France rubrique Comprendre la météo > Dossiers thématiques > La prévision numérique
• Simulateur d'harmoniques sphériques (programme JavaScript), site de l'École polytechnique (X), Palaiseau, France
• Spherical Harmonic, du site Eric Weisstein's World of Mathematics
• Oscillations propres de la Terre lors d'un séisme, une des applications des harmoniques sphériques (images gif animées) ;
• Représentations 3D de fonctions d'orientation
• Autour des harmoniques sphériques, présentation de différents usages, notamment pour le rendu lumineux 3D

• Isaac Todhunter, An elementary treatise on Laplace's functions, Lame's functions and Bessel's functions, Macmillan and Co, 1875.
• Norman McLeod Ferrers, An elementary treatise on spherical harmonics and subjects connected with them, Macmillan and Co, 1877.
• William Ellwood Byerly, An elementary treatise on Fourier's series and spherical, cylindrical, and ellipsoidal harmonics with applications to problems in mathematical physics, Ginn & Co, 1893.
• René Lagrange, Polynômes et fonctions de Legendre coll. « Mémorial des sciences mathématiques », n^o 97, Gauthier-Villars, 1939.
• I.S. Gradshteyn et I.M. Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products, éd. Alan Jeffrey and Daniel Zwillinger, Academic Press (6^e édition, 2000) (ISBN 0-12-294757-6). Errata sur le site web des éditeurs : [http ://www.mathtable.com/gr/ www.mathtable.com].
• John D. Jackson, Électrodynamique classique — Cours et exercices d'électromagnétisme, Dunod, 2001) (ISBN 2-10-004411-7). Traduction française de la 3^e édition du grand classique américain.
• J. L. Basdevant et J. Dalibard, Mécanique quantique [détail des éditions].
• C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloë, Mécanique quantique [détail de l’édition].
• Albert Messiah, Mécanique quantique [détail des éditions].
• H.-J. Bunge, Texture analysis in materials science — Mathematical methods, éd. Butterworths, 1969 (1982 pour la trad. en anglais) : pour les harmoniques sphériques généralisées.
• Yvette Kosmann-Schwarzbach, Groupes et symétries : groupes finis, groupes et algèbres de Lie, représentations, éditions de l'École polytechnique, juillet 2006 ; chapitre 7, « Les harmoniques sphériques » (ISBN 978-2-7302-1257-1).