Série de Fourier généralisée

La série de Fourier d'une fonction périodique est une série de Fourier généralisée pour les fonctions ${\displaystyle \{\operatorname {e} ^{\mathrm {i} nx}\mid n\in \mathbb {Z} \}}$, qui forment une base hilbertienne pour le produit scalaire classique :

${\displaystyle \langle f,g\rangle _{w}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(x)\,{\overline {g}}(x)\,\mathrm {d} x}$.

Les polynômes de Legendre sont solutions du problème de Sturm-Liouville

${\displaystyle \left((1-x^{2})P_{n}'(x)\right)'+n(n+1)P_{n}(x)=0}$.

On sait que ces polynômes sont les vecteurs propres du problème et forment une famille orthogonale pour le produit scalaire classique sur l'intervalle unité. La série de Fourier généralisée associée (également appelée série de Fourier-Legendre) donne donc

${\displaystyle f(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}P_{n}(x)}$,

${\displaystyle c_{n}={\langle f,P_{n}\rangle _{w} \over \|P_{n}\|_{w}^{2}}}$

Calculons par exemple la série de Fourier-Legendre pour la fonction ƒ(x) = cos x sur [−1, 1]. Maintenant,

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{0}&={\int _{-1}^{1}\cos x\,\mathrm {d} x \over \int _{-1}^{1}(1)^{2}\,\mathrm {d} x}=\sin 1\\c_{1}&={\int _{-1}^{1}x\cos x\,\mathrm {d} x \over \int _{-1}^{1}x^{2}\,\mathrm {d} x}={0 \over 2/3}=0\\c_{2}&={\int _{-1}^{1}{3x^{2}-1 \over 2}\cos x\,\mathrm {d} x \over \int _{-1}^{1}{9x^{4}-6x^{2}+1 \over 4}\,\mathrm {d} x}={6\cos 1-4\sin 1 \over 2/5}={5 \over 2}(6\cos 1-4\sin 1)\end{aligned}}}$

et une somme utilisant ce développement en série :

${\displaystyle c_{2}P_{2}(x)+c_{1}P_{1}(x)+c_{0}P_{0}(x)={5 \over 2}(6\cos 1-4\sin 1)\left({3x^{2}-1 \over 2}\right)+\sin 1}$

${\displaystyle =\left({45 \over 2}\cos {1}-15\sin {1}\right)x^{2}+6\sin 1-{15 \over 2}\cos 1}$

qui diffère de cos(x) d'environ 0,003 pour x = 0.

Il peut être ainsi avantageux d'utiliser des séries de Fourier-Legendre plutôt que des séries de Fourier classiques puisque les vecteurs propres sont des polynômes, plus faciles à manipuler pour les calculs d'intégrales que les fonctions trigonométriques.

Pour une fonction f L² sur la droite réelle et un pas h > 0, Edmund Whittaker considère la fonction[1] - [2] - [3]:

$${\displaystyle C(x;f,h)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }f(kh)\operatorname {sinc} _{\pi }\left({\frac {x-kh}{h}}\right)}$$

où ${\displaystyle \operatorname {sinc} _{\pi }(t)={\frac {\sin(\pi t)}{\pi t}}}$ est la fonction sinus cardinal normalisée.

La base de la série est donc l'ensemble des fonctions

${\displaystyle \left\{{\frac {1}{\sqrt {h}}}\operatorname {sinc} _{\pi }\left({\frac {x-kh}{h}}\right)\right\}_{k\in \mathbb {Z} }}$

Cette décomposition est utilisée en traitement du signal, le théorème d'échantillonnage de Shannon permettant de montrer que pour un pas bien choisi, le signal d'origine f est égal à sa fonction cardinale.