Géométrie moderne du triangle

Pour un triangle ABC de centre de gravité G donné, la symédiane passant par le sommet est la symétrique de la droite AG par rapport à la bissectrice intérieure de l'angle au sommet A. Il y a trois symédianes pour un triangle passant par chaque sommet. Les trois symédianes sont concurrentes et le point de concurrence, couramment noté K, est appelé le point de Lemoine ou le point symédian ou le point de Grèbe du triangle ABC. Si les longueurs des côtés du triangle ABC sont respectivement notés a, b, c les coordonnées barycentriques du point de Lemoine sont a² : b² : c². Il a été décrit comme « l'un des joyaux de la couronne de la géométrie moderne ». Il existe plusieurs références antérieures à ce point dans la littérature mathématique dont les détails sont disponibles dans l'histoire du point symédian de John Mackay[10].

En fait, la concurrence des symédianes est un cas particulier d'un résultat plus général : pour tout point P du plan du triangle ABC, les isogonales des droites AP, BP, CP sont concourantes, l'isogonale de AP (respectivement BP, CP) étant la symétrique de la droite AP par rapport à la bissectrice de l'angle en A (respectivement B, C). Le point de concurrence est appelé le conjugué isogonal de P. Dans cette terminologie, le point de Lemoine est le conjugué isogonal du centre de gravité du triangle.

Les points d'intersection des droites passant par le point de Lemoine d'un triangle ABC parallèles aux côtés du triangle se trouvent sur un cercle appelé le premier cercle de Lemoine du triangle ABC. Le centre du premier cercle de Lemoine se situe à mi-chemin entre le centre circonscrit et le point de Lemoine du triangle.

Les points d'intersection des antiparallèles aux côtés du triangle ABC passant par le point de Lemoine d'un triangle ABC se trouvent sur un cercle appelé deuxième cercle de Lemoine ou cercle cosinus du triangle ABC. Le nom de « cercle cosinus » est dû à la propriété du deuxième cercle de Lemoine que les longueurs des segments interceptés par le cercle sur les côtés du triangle sont proportionnelles aux cosinus des angles opposés aux côtés. Le centre du deuxième cercle de Lemoine est le point de Lemoine.

Tout triangle ABC et son triangle tangentiel sont en homologie et l'axe de l'homologie est appelé axe de Lemoine du triangle ABC. C'est la polaire trilinéaire du point symédian du triangle ABC et aussi la polaire de K par rapport au cercle circonscrit du triangle ABC[11] - [12].

• 
  Un triangle avec ses médianes (noires), ses bissectrices (pointillés) et ses symédianes (rouges). Les symédianes se croisent au point symédian (désigné par L sur la figure), les bissectrices d'angle au centre du cercle inscrit I et les médianes au centre de gravité G.
• 
  Premier cercle de Lemoine du triangle ABC. Le point de Lemoine K, le centre du cercle inscrit I, le centre de gravité G et les lignes passant par K parallèles aux côtés sont également représentés.
• 
  Deuxième cercle de Lemoine du triangle ABC. Le point de Lemoine K, le centre du cercle inscrit I, le centre de gravité G et les lignes passant par K antiparallèles aux côtés sont également représentés.
• 
  Axe de Lemoine du triangle ABC. Le triangle tangentiel est également représenté.

Deux triangles sont dits poristiques s'ils ont le même cercle inscrit et le même cercle circonscrit. Étant donné un cercle de centre O et de rayon R et un autre cercle de centre I et de rayon r, il existe une infinité de triangles ABC avec le cercle O(R) comme cercle circonscrit et I(r) comme cercle si et seulement si R² – OI² = 2rR. Ces triangles forment un système poristique de triangles. Les lieux de certains points particuliers comme le centre de gravité, car le triangle de référence trace les différents triangles poristiques avec lui, se révèlent être des cercles et des points[15]. Ce résultat est un cas particulier du porisme de Poncelet.

Pour tout point P sur le cercle circonscrit du triangle ABC, les pieds des perpendiculaires de P aux côtés du triangle ABC sont colinéaires et la ligne de colinéarité est la bien connue droite de Simson de P[16].

Étant donné un point P, soit D, E, F les pieds des perpendiculaires de P aux côtés du triangle ABC. Le triangle DEF est appelé triangle pédal de P[17]. Le triangle antipédal de P est le triangle formé par les droites passant par A, B, C perpendiculaires respectivement à PA, PB, PC. Deux points P et Q sont appelés contre-points si le triangle pédal de P est homothétique au triangle antipédal de Q et le triangle pédal de Q est homothétique au triangle antipédal de P[18] - [19].

Étant donné toute droite l, soit P, Q, R les pieds des perpendiculaires des sommets A, B, C du triangle ABC à l . Les droites passant par P. Q, R perpendiculaires respectivement aux côtés BC, CA, AB sont concourantes et le point de concours est l'orthopôle de la droite l par rapport au triangle ABC. Dans la géométrie du triangle moderne, il existe un grand nombre d'ouvrages traitant des propriétés des orthopôles[20] - [21].

Soit des cercles décrits sur les côtés BC, CA, AB du triangle ABC dont les segments externes contiennent respectivement les deux triplets d'angles C, A, B et B, C, A. Chaque triplet de cercles déterminé par un triplet d'angles se croise en un point commun donnant ainsi deux de ces points. Ces points sont appelés les points de Brocard du triangle ABC et sont généralement notés ${\displaystyle \Omega ,\Omega ^{\prime }}$. Si P est le premier point de Brocard (qui est le point de Brocard déterminé par la première triade de cercles) alors les angles PBC, PCA et PAB sont égaux entre eux et l'angle commun est appelé l'angle de Brocard du triangle ABC et est communément noté par ${\displaystyle \omega }$. L'angle de Brocard est donné par

${\displaystyle \cot \omega =\cot A+\cot B+\cot C.}$

Les points de Brocard et les angles de Brocard ont plusieurs propriétés intéressantes[22].

• 
  Deux triangles poristiques ABC et A'B'C' par rapport aux cercles I( r ) et O(R)
• 
  Ligne de Simson de P
• 
  Triangle pédal (DEF) et triangle antipédal (LMN) de P
• 
  Orthopole de la ligne l
• 
  Premier point de Brocard du triangle ABC

L'une des idées les plus importantes qui a émergé lors du regain d'intérêt pour la géométrie du triangle au cours des dernières années du XX^e siècle est la notion de centre du triangle. Ce concept introduit par Clark Kimberling en 1994 unifiait en une seule notion les très nombreux points particuliers et remarquables associés à un triangle[23]. Depuis l'introduction de cette idée, presque aucune discussion sur un résultat associé à un triangle n'est complète sans une discussion sur la façon dont le résultat se connecte aux centres du triangle.

Une fonction f à valeurs réelles de trois variables réelles a, b, c peut avoir les propriétés suivantes :

• Homogénéité : f (ta, tb, tc) = tⁿ f (a, b, c) pour une constante n et pour tout t > 0.
• Bisymétrie dans les deuxième et troisième variables : f (a, b, c) = f (a, c, b).

Si un f non nul a ces deux propriétés, on l'appelle une fonction centrale du triangle. Si f est une fonction centrale et a, b, c sont les longueurs des côtés d'un triangle de référence alors le point dont les coordonnées trilinéaires sont f (a, b, c) : f (b, c, a) : f (c, a, b) est appelé un centre du triangle.

Clark Kimberling maintient un site web consacré à un recueil de centres triangulaires. L'Encyclopedia of Triangle Centers contient des définitions et des descriptions de près de 52 000 centres de triangle.

Une autre notion unificatrice de la géométrie triangulaire moderne contemporaine est celle d'une droite centrale. Ce concept unifie les plusieurs lignes droites spéciales associées à un triangle. La notion de droite centrale est également liée à la notion de centre de triangle.

Soit ABC un triangle plan et soit (x : y : z) soit les coordonnées trilinéaires d'un point arbitraire dans le plan du triangle ABC.

Une droite dans le plan du triangle ABC dont l'équation en coordonnées trilinéaires a la forme

${\displaystyle f(a,b,c)x+g(a,b,c)y+h(a,b,c)z=0}$

où le point de coordonnées trilinéaires (f (a, b, c) : g (a, b, c) : h (a, b, c)) est un centre du triangle, est une droite centrale dans le plan du triangle ABC par rapport au triangle ABC[24] - [25].

Construction de la droite centrale liée à un point X pour un triangle ABC

Soit X un centre du triangle quelconque d'un triangle ABC.

• On trace les droites AX, BX et CX et leurs images par réflexions par rapport aux bissectrices internes des angles aux sommets A, B, C respectivement.
• Les droites images sont concourantes et le point de concurrence Y est le conjugué isogonal de X.
• On trace les céviennes AY, BY, CY , qui interceptent les côtés opposés du triangle ABC en A', B', C' respectivement. Le triangle A'B 'C ' est le triangle cévien de Y.
• Le triangle ABC et le triangle cévien A'B'C' sont en homologie et soit DEF l'axe d'homologie des deux triangles. La droite DEF est la polaire trilinéaire du point Y. La ligne DEF est la droite centrale associée au centre du triangle X.

Une conique du triangle est une conique dans le plan du triangle de référence et qui lui est associée d'une manière ou d'une autre. Par exemple, le cercle circonscrit et le cercle inscrit du triangle de référence sont des coniques du triangle. D'autres exemples sont l'ellipse de Steiner qui est une ellipse passant par les sommets et ayant son centre au centre de gravité du triangle de référence, l'hyperbole de Kiepert qui est une conique passant par les sommets, le centre de gravité et l'orthocentre du triangle de référence et les paraboles d'Artzt qui sont des paraboles touchant deux côtés du triangle de référence aux sommets du triangle. Certaines coniques triangulaires récemment étudiées incluent les ellipses de Hofstadter et les coniques d'Yff. Cependant, il n'existe pas de définition formelle de la terminologie du conique du triangle dans la littérature ; c'est-à-dire que les relations qu'une conique devrait avoir avec le triangle de référence pour la qualifier de conique du triangle n'ont pas été formulées avec précision.

• 
  Ellipse de Steiner
• 
  Paraboles d'Artzt
• 
  Hyperbole de Kiepert

Les courbes cubiques apparaissent naturellement dans l'étude des triangles. Par exemple, le lieu d'un point P dans le plan du triangle de référence ABC tel que, si les réflexions de P dans les côtés du triangle ABC sont P_a, P_b, P_c, alors les droites AP_a, BP_b et CP_c sont concourantes sur une courbe cubique nommée cubique de Neuberg. C'est la première cubique répertoriée dans le catalogue des cubiques triangulaires de Bernard Gilbert. Ce catalogue répertorie plus de 1200 cubiques triangulaires avec des informations sur chaque courbe telles que son équation en coordonnées barycentriques, les centres des triangles qui s'y trouvent, les propriétés du lieu géométrique de la courbe et des références à la littérature sur la courbe.

• 
  Cubique de Neuberg (K001)
• 
  Cubique de McCay avec ses trois asymptotes concourantes (K003)
• 
  Cubique de Tucker (K011)