Droite de Simson

On se contentera ici d'une preuve par analogie à partir de la figure proposée en illustration.

${\displaystyle {\widehat {UVM}}}$ et ${\displaystyle {\widehat {UCM}}}$ sont supplémentaires

Pour montrer l'existence de la droite de Simson, il nous faut montrer que les points U, V et W sont alignés. Cela revient à montrer que les angles ${\displaystyle {\widehat {UVM}}}$ et ${\displaystyle {\widehat {MVW}}}$ sont supplémentaires, c'est-à-dire que ${\displaystyle {\widehat {UVM}}+{\widehat {MVW}}=180^{\circ }}$. Nous cherchons donc à évaluer la somme suivante :

(i) ${\displaystyle {\widehat {UVM}}+{\widehat {MVW}}}$

Or ${\displaystyle {\widehat {MVC}}}$ et ${\displaystyle {\widehat {MUC}}}$ sont droits, donc M, V, U et C sont cocycliques et MVUC forme un quadrilatère inscriptible.

On en déduit que ${\displaystyle {\widehat {UVM}}+{\widehat {UCM}}=180^{\circ }}$ soit encore :

(ii) ${\displaystyle {\widehat {UVM}}+{\widehat {BCM}}=180^{\circ }}$

${\displaystyle {\widehat {MVW}}}$ et ${\displaystyle {\widehat {MAW}}}$ sont égaux

De même ${\displaystyle {\widehat {MVA}}}$ et ${\displaystyle {\widehat {MWA}}}$ sont droits, donc M, V, A et W sont cocycliques et MVAW forme un quadrilatère inscriptible.

On en déduit que :

(iii) ${\displaystyle {\widehat {MVW}}={\widehat {MAW}}=180^{\circ }-{\widehat {MAB}}}$

En remplaçant dans (i) ${\displaystyle {\widehat {UVM}}}$ et ${\displaystyle {\widehat {MVW}}}$ par leur valeur donnée dans (ii) et (iii) on obtient :

(iv) ${\displaystyle {\widehat {UVM}}+{\widehat {MVW}}=180^{\circ }-{\widehat {BCM}}+180^{\circ }-{\widehat {MAB}}=360^{\circ }-{\widehat {BCM}}-{\widehat {MAB}}}$

Or, par hypothèse A, B, C et M sont cocycliques et ABCM forme un quadrilatère inscriptible. Nous avons donc :

(v) ${\displaystyle {\widehat {BCM}}+{\widehat {MAB}}=180^{\circ }}$

En reportant (v) dans (iv) on obtient : ${\displaystyle {\widehat {UVM}}+{\widehat {MVW}}=180^{\circ }}$

CQFD.